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文档简介
1、1、不等式的性质:(1)同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减;(2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,a b、(若 a b 0,0 c d ,则一 一); c d(3)左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:abc .10,a b ,则一 a1心, 一.如(1)b(2)已知1 x y1,1 x(3)已知a b c,2.不等式大小比较的常用方法:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)不等式易错题练习若 a b, c d ,则 a c但不能相除;异向不等式可以相除,若 a b 0 则 an1b3 ,则3x y的取值围是c c0则一的取值围
2、是 a(答:作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;作商(常用于分数指数嘉的代数式)分析法;平方法;分子(或分母)有理化;利用函数的单调性;寻找中间量或放缩法图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。如(1)设a0且 a1,t-1t 1 ,.0 ,比较一 log a t和log a的大小22答:当a/1 .1 时,Tog at210g a(t1时取等号);当0 a(2)设 a2,p a 六,q2 a24a(3)比较110gx 3与 210gx 2答:当0 Xb d (若 a b, c d ,则但不能相乘:若a b0,c贝U ac bd.(答:2,1时,几而;(4)若ab
3、1 3x y 7);1 .-10gat 10g a0,a11 H则一一;右a b(t 1时取等号);,a 2,试比较p,q的大小(答:p q);1的大小.41或 x 鼻时,1 1ogx3 210gx 2;当13.利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到: 如(1)下列命题中正确的是“一正二定三相等,4一时,1 10gx3 210gx2;当和定积最大,积定和最小”这 43时,1 10gx3 2logx217字方针。1a、y x 一 x的最小值是2B、yx2 3的最小值是2x22C、y 2 3x4-x 0的最大值是 x2 4-3D、y 2 3xx 0的最小值是2 4百(答:C);x(2)若 x 2
4、y 1 ,则 24y的最小值是.(答:2 2);(3)正数x, y满足x 2y1a的最小值为y(答:3 2无);4.常用不等式有:a2 b2V 2(根据目标不等式左右的运算结构选用);(2)a, b,c_22R,a babbcca ,(当且仅当a b c时,取等号);(3)若 a b0,m 0,则(糖水的浓度问题)。如:如果正数a,b满足ab a3,则ab的取值围是(答:9,)5、证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是:作差(商)后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小,然后作出结论。).11111常用的放缩技巧有: -n n 1 n n 1 n n
5、n 1、.k 1, k =-=. k k 1k 1 Jk 2.k ,k 1. k如(1)已知a b八一2, ,22,2,22c,求证:a b b c c a ab bc ca ;2.2.2 22 2(2) 已知 a,b,c R ,求证:a b b c c aabc a b c ;(3)已知 a, b, x, y(4)若a,b,c是不全相等的正数,求证:lgalglglg a lg b lg c(5)若 n N* ,求证:J n 1 2 1a b(7)已知a b ,求证:1 1 i a b11,12。(8)求证:1 -2 L f2232 n26.简单的一元高次不等式的解法:标根法:其步骤是:(1
6、)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;(2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回;(3)根据曲线显现f X的符号变化规律,写出不等式的解集_2_1、_如(1)解不等式x 1 x 20。(答:x| x 1或x2);(2)不等式x 2 收2x 3 0的解集是(答:x| x 3或x1);(3)设函数f x , g x的定义域都是R,且f x0的解集为 x|1 x 2 ,g x0的解集为,则不等式f x g x 0的解集为(答:,1 U 2,;222(4)要使满足关于x的不等式2x 9x a 0 (解集非空)的每一个x的值至
7、少满足不等式 x 4x 3 0和x 6x 8 081中的一个,则实数 a的取值围是.(答:7, )7.分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,一般不能去分母,0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的 但分母恒为正或恒为负时可去分母。2x(答:1,1 U 2,3 );(2)关于x的不等式ax b0的解集为1,则关于ax b -不等式0的解集为,1 U 2,8.绝对值不等式的解法:(1)分段讨论法(最后结果应取各段的并集):如解不等式2(答:R);(2)利用绝对值的定义;(3)数形结合;如解不等式(答:U 2,(4)
8、两边平方:如若不等式 3x9、含参不等式的解法:求解的通法是 的解集是。2xR恒成立,则实数a的取值围为“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键._ (答:”注意解完之后要写上:“综上,原不等式注意:按参数讨论,最后应按参数取值分别说明其解集;但若按未知数讨论,最后应求并集(答:a 1或0 a,2_如(1)若loga x a R ,则a的取值围是 31- 八 一x| x 一 或x 0 ; a 0 时, a2ax八(2)解不等式x a R (答:a 0时,x|x0;aax 1,1 cx| x 0或 x 0 a提醒:(1)解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示;(2)不等式解集
9、的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义围的端点值。x 2如关于x的不等式ax b 0的解集为,1,则不等式 0的解集为 ax b10.含绝对值不等式的性质:a,b同号1a b| |a| |b| |a| |b| |a b|.a,b 异号|a b| |a| |b| |a| |b | |a b|.-2一 、 一,一一_如设f x x x 13,实数a满足x a 1,求证:f x f a 2 a 1ii.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题:不等式恒成立问题的常规处理方式?(常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题, 也可抓住所给不等式的结构特征,利用数形结合法)1) .恒成立问题若不
10、等式f xA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f xmin A若不等式f xB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f x Bmax如(1)设实数x, y满足x2y 1 2 1,当x y c 0时,c的取值围是(答:J2 1,);(2)不等式x 4 x 3 a对一切实数x恒成立,数a的取值围(答:a 1);八 /2 ,八 一一77 1 73 1(3)若不等式2x 1 m x 1对满足 m 2的所有m都成立,则x的取值围(答:, );22n 1n13(4)若不等式1 a 2 对于任意正整数n恒成立,则实数 a的取值围是(答:2-);n221(5)若不等式x 2mx 2m 1 0对0 x 1的所有
11、实数x都成立,求m的取值围.(答:m 一)22) .能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式f xA成立,则等价于在区间D上f xm* A;max若在区间D上存在实数x使不等式f xB成立,则等价于在区间D上的f x min B.如已知不等式 x 4 x 3 a在实数集R上的解集不是空集,数 a的取值围(答:a 1)3) .恰成立问题若不等式f xA在区间D上恰成立,则等价于不等式f xA的解集为D;若不等式f xB在区间D上恰成立,则等价于不等式f xB的解集为D .例题选讲:一 一 2例题1已知二次函数f(x) ax bx(a 0)满足1 f( 1) 2,2f(1) 5,求£(
12、3)的取值围。错解:Q f( 1) a bf(1) a b32127232又Q f ( 3) 9a3b3)30正解:设f(3)mf (1)nf(1),则有 9a 3b m(a b) n(af ( 3) 6f ( 1) 3f (1)f(1)f(1) 5,12 f(3) 27剖析:在多次应用不等式样性质的时候,若等号不能同时成立时,c7 2,r c 、,口例题2、已知0 x 一,求f (x) x (7 3x)的最大值。3会使所求围扩大,因此在解不等式围的题时务必要检查等号能否成立。错解:Q x2(7343 f(x)/一、1 一一1 , x 2x3x)xg2xg7 3x)(22343即f (x)的最
13、大值为。547 3x/343542,一正解 1 : f (x) x (73x)3-x (723x)3 x4 2_93x233x13722433因此,当且仅当一x23x14时,9f (x)的最大值为1372243正解2:(用导数知识解) Q f (x)x2(73x)f (x) 14xf (x)0,得 14x 9x2 0147 ,且当314一时,9小 14、,x (0,)时,9f (x)的最大值为14 7f (x) 0;当 x (一,一)时,f (x) 9 31372243剖析:在应用均值不等式解题时,忽视了均值不等式中等号成立的条件:中取何值,等式x2x 73x都不成立。“一正、二定、三相等”中
14、的第三个条件,7因为无论x在0 x 3例题3、已知a 0且ax的不等式1的解集是xx 0 ,解关于x的不等式loga(x1一)0的解集。xw I /1、错解:loga(x -) x1;52正解:因为关于x的不等式1的解集是,,1、 clog a(x )0x1x 0x1x _ 1x1 52或 11 ,5原不等式的解集是(1,1.5、2 )。剖析:其一、忽视了所给条件的应用和对数的真数大于例题4、已知:b都是正数,且0,其1a a二、忽视了分式不等式正确解法。的最小值。错解:Qb都是正数,2,2屋2正解:Q当且仅当4,的最小值为4。b都是正数,且1 b b1一时,2(aabb)的最小值为5。aba
15、b1ab2中等号成立的条件是当且仅当剖析:2中等号成立的条件是当且仅当b 1 o这与a b 1矛盾,因此解题中忽视了条件ab 1,从而造成错误。例题5解不等式 x 1收x 20.0,解彳导x>2.x 2 0.x 1错解一:原不等式可化为2x:原不等式的解集是x|x> 2.错解二:在不等式f(x) ,g (x),。中,按f(x)的取值情况分类,f (x) 0,,g(x) 0,f(x)0,或 I.g(x) 0x > 1时,原不等式等价于 x2 x 2 > 0,解得x > 2;x = 1时,显然qg(x)无意义,其解集为综上所述,原不等式的解集为x|x > 2.学
16、”具有相等与不相等的双错因:错解一中,当x = - 1时,原不等式也成立,漏掉了 x = - 1这个解.原因是忽略了不等式中 重性.事实上, f (x) 0,不等式 f(x) - v'g(x) >0 与 ,、 c 或 g(x) = 0 同解.g(x) 0f(x) 0,错解二中分类不全,有遗漏,应补充第三种情况g(x) 0.即当x - l < 0 ,且x2x 2 = 0时也合乎条件,即补上 x = - 1 .故原不等式的解集为x|x> 2,或x = - 1.分析一:符号是由符号“>” “=”合成的,故不等式f(x) - Jg(x) > 0可转化为f(x)、/
17、g(x) > 0或f(x) 4; g(x) = 0.正解一:原不等式可化为(i)(x-i) qx2 x 2 > 0,或(u)(x - 1) <x2 x 0 = O .x 1 0,(I)中,由 9得 x > 2;(口)中,由 x2- x- 2 = 0,或 x 1 = O,x2x 2 0.且x2 - x - 2有意义,得x = 1 ,或x = 2 .:原不等式的解集为x|>2,或x = - 1.分析二:在不等式f(x) g(x) )0中,按g(x)的取值情况分类,有两种情况:f(x) 0,(1)g(x) > 0时,等式等价于 , (2)g(x) = 0时'
18、;只须f(x)有意义即可.,g(x) 0,正解二:分两种情况讨论.x 1 0,(1)当x2 - x 2 > 0 ,即x > 2 ,或x < - 1时,原不等式等价于x2 x 2 0解彳导x > 2 .(2)当x2 x 2 = 0 ,即x = 2 ,或x = - 1时,显然有意义,是原不等式的解 综上所述.原不等式的解集是 x|x>2,或x = - 1.例题6设函数f xJx2 1 ax,其中a 0,解不等式+ 1 < (1 + ax)2 ,错解::不等式f(x)<1, Vx21 < 1 + ax.两边平方,得x2即 x-(a2- 1)x + 2a
19、 >0, /a > 0,:当 a > 1 时,x > 0,a-12a当 0 < a < 1 时,0 < x < r .1 aax>0错因:未能从已知条件中挖掘出隐含条件:进而由a > 0可得x>0.正解:不等式f(x) & 1,即 vx21 <1 + ax .由此得101 + ax ,即ax> O,其中2x原不等式等价于不等式组x221 (1 ax)2,即 x(a20.x 0.1)x 2a 0,:当0 < a <1时,原不等式的解集为x|0< x< 一12a;当a>1时,原不等式
20、的解集为x|x>O.小结:解不等式常见的思维误区有:(1)概念模糊。变形不同解.常见于解分式不等式、对数不等式、无理不等式、指数不等式、含绝对值不等式、含排列数或组合数的不 等式等等.(2)以偏概全,未分类或分类不全,对某些含有参数的不等式,未进行分类讨论,片面认为是某种情况.如例题6.(3)忽视隐含条件,信息不能被全部挖掘出来.如例题7.例题7不等式证明的错解的成因及分析策略不等式的证明方法有很多,如:基本不等式法、比较法、综合法、分析法、反证法、判别式法、换元法、数学归纳法、放缩法、导数法、公式法 (向量公式、方差公式、斜率公式等 卜数形结合法等等.不等式的证明过程,是常规的证明方法
21、及构造性思 维在新的领域中的移植和运用,以及局部的创新.但在实际教学活动中我们发现,学生对于不等式证明上存在着一定的思维障碍,并仍有不少学生沉醉于“题海战术”之中,阻碍着创造性思维能力的发展.、用新教材中新增知识点证明不等式这一思考方法很不适应例1忽视向量不等式等号成立条件,造成围失真irr ur r向量不等式| p | | q | | p q |等号成立的条件为ur,当向量p /r ur rq且p与q方向相同时“+ ”不等式取等号;当向量urPr irq且Pr与q方向相反时“-”不等式取等号.例 2 a2 16 . (a 4)2 36 >2.29 .ir rur rir错解设 p (a
22、,4), q (a 4,6),由 | p | |q| |pf211r、,a2 16 ,(a 4)2 36 |p| |q |ir rI p q| l(a,4) (a 4,6) | |(4, 2)| ,16 4. Ja2 16 J(a 4)2 36 > 2 V5 .irr ur r成因分析 向量不等式| p | | q | | p q |等号成立的条件是2.5irr ur rirrp / q,且向量p与q方向相反,而当p / q时,得a8,此时irrp ( 8,4), q ( 12,6)方向相同,故等号不成立,使不等式围缩小了ir rur r urr正解设 p(a,4), q(4 a,6),
23、由 | p | q| pq|,得 ur rur ra2 16 , (a 4)2 36 I p| |q| I p q|(a,4) (4 a,6) | |(4,10) | ,16 100 2 29irr 8 ur rr ur r ur r|q| I p q| I p| |q|当p / q即a 时,p,q方向相同,故等号成立. 5ur r ur rur评述 向量作为新教材中的另一个新增知识点,利用数量积不等式|p q | | p| | q |与和差不等式| p|证明不等式,有着其它方法所不能比拟的优越性,在教学中应适当推广及应用 、忽视题设条件或隐含条件有些题设条件看似平淡,但在解题中就会显示出其隐
24、蔽性,学生往往由于忽视了隐含条件,或对隐含条件的挖掘只浮于表面,而未能展示其真正的面目,从而在解题过程中误入陷阱0,n为偶数,证明bn 1nabn错解 a(an bn)(an1 (ObFbn1)n 为偶数,:(ab)nbn 1同号,bn 1na成因分析实际上,n为偶数时,1 bn1不一定同号,这里忽略了题设条件 a b0,在没有明确字母的具体值情况下,要考虑分类讨论,即需分a0,b 0和a,b有一个负值的两种情况加以分类讨论bn正解an 1 a bnbn)(an1 bn1) (ab)n当0,b0时,(ab)n0,(ann n 1b )(a当bn)(a(ab)n)>0 ,n 1 a bna
25、, b有一个负值时,不妨设a0,b0,即 a |b| .为偶数时,:(ann n 1b )(abn1卢0,且(ab)n 0bn 1nan 1a 1> nb an n n 1 n 1、a b )(a b )->0,故(ab)n综合可知,原不等式成立.、分式不等式分母较复杂时,不能灵活变形而形成思维障碍证明分式不等式需要去分母,去分母的方法有很多,如轮换法、添加分母法、添加分式法、添加和积式法等等 ,在添加代数式时需考虑 均值不等式等号成立条件,并最终利用均值不等式去掉分式或部分分母 ,但学生对于这一灵活的变形常常无法领悟 ,觉得在解题时处 处均可下手,但又无从下手,从而形成分式变形障
26、碍.例 5 已知 a,b, c 0, abc 1,1113证明 二 二 工> 一.a (b c) b (c a) c (a b) 2分析这是一道技巧性较强的分式不等式证明题,其分子与分母差别太大,学生往往不能注意其整体联系 ,而想省事处理,想一步到位地消去所有分式,从而进入了繁忙的运算程序中,最后不得结果,反而觉得此题处处都是切入点,又处处陷于被动.实际上,由1abcbc 11a3 (b c)a3(b c) a2(b c)a2 1 1b c、1 1 11可添加分式k (),使彳寸一2b c a 1bk(b-) c2Ma由a b c 1时,不等式取等号 得k1故可考虑添加分式-)来解决问题. c1证明v :a (b c)111c,a ;b3(c a)11111-3 -( )> c (a b) 4 a b b11111111.13-+ -+ -> ( + +)> J-a (b c) b (c a) c (a b) 2 a
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