不等式易错习题精选精讲

1、1、不等式的性质:（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减:异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减;（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘,a b、(若 a b 0,0 c d ,则一 一)； c d(3)左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方:abc .10,a b ,则一 a1心, 一.如(1)b(2)已知1 x y1,1 x(3)已知a b c,2.不等式大小比较的常用方法:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)不等式易错题练习若 a b, c d ,则 a c但不能相除；异向不等式可以相除,若 a b 0 则 an1b3 ,则3x y的取值围是c c0则一的取值围

2、是 a(答:作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;作商（常用于分数指数嘉的代数式）分析法；平方法；分子（或分母）有理化;利用函数的单调性；寻找中间量或放缩法图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）设a0且 a1,t-1t 1 ,.0 ,比较一 log a t和log a的大小22答：当a/1 .1 时，Tog at210g a(t1时取等号）；当0 a（2）设 a2,p a 六,q2 a24a（3）比较110gx 3与 210gx 2答：当0 Xb d (若 a b, c d ,则但不能相乘：若a b0,c贝U ac bd.(答:2,1时,几而；（4）若ab

3、1 3x y 7)；1 .-10gat 10g a0,a11 H则一一；右a b（t 1时取等号）;,a 2,试比较p,q的大小（答：p q）；1的大小.41或 x 鼻时,1 1ogx3 210gx 2;当13.利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到: 如（1）下列命题中正确的是“一正二定三相等,4一时，1 10gx3 210gx2;当和定积最大，积定和最小”这 43时，1 10gx3 2logx217字方针。1a、y x 一 x的最小值是2B、yx2 3的最小值是2x22C、y 2 3x4-x 0的最大值是 x2 4-3D、y 2 3xx 0的最小值是2 4百（答：C）；x(2)若 x 2

4、y 1 ,则 24y的最小值是.(答:2 2);(3)正数x, y满足x 2y1a的最小值为y（答：3 2无）;4.常用不等式有:a2 b2V 2（根据目标不等式左右的运算结构选用）；(2)a, b,c_22R,a babbcca ，（当且仅当a b c时，取等号）；(3)若 a b0,m 0,则（糖水的浓度问题）。如：如果正数a,b满足ab a3,则ab的取值围是（答：9,）5、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法（比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。）.11111常用的放缩技巧有： -n n 1 n n 1 n n

5、n 1、.k 1, k =-=. k k 1k 1 Jk 2.k ,k 1. k如（1）已知a b八一2, ,22,2,22c,求证：a b b c c a ab bc ca ;2.2.2 22 2(2) 已知 a,b,c R ,求证：a b b c c aabc a b c ；(3)已知 a, b, x, y（4）若a,b,c是不全相等的正数，求证:lgalglglg a lg b lg c(5)若 n N* ,求证：J n 1 2 1a b（7）已知a b ,求证：1 1 i a b11,12。（8）求证：1 -2 L f2232 n26.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是:（1

6、）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正;（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回;（3）根据曲线显现f X的符号变化规律，写出不等式的解集_2_1、_如（1）解不等式x 1 x 20。（答：x| x 1或x2）；（2）不等式x 2 收2x 3 0的解集是（答：x| x 3或x1）；（3）设函数f x , g x的定义域都是R,且f x0的解集为 x|1 x 2 ,g x0的解集为，则不等式f x g x 0的解集为（答：,1 U 2,；222（4）要使满足关于x的不等式2x 9x a 0 （解集非空）的每一个x的值至

7、少满足不等式 x 4x 3 0和x 6x 8 081中的一个，则实数 a的取值围是.（答：7, ）7.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母,0,再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的 但分母恒为正或恒为负时可去分母。2x(答：1,1 U 2,3 );（2）关于x的不等式ax b0的解集为1,则关于ax b -不等式0的解集为,1 U 2,8.绝对值不等式的解法:(1)分段讨论法（最后结果应取各段的并集）:如解不等式2(答:R);(2)利用绝对值的定义;(3)数形结合；如解不等式(答:U 2,(4)

8、两边平方：如若不等式 3x9、含参不等式的解法：求解的通法是 的解集是。2xR恒成立，则实数a的取值围为“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键._ (答:”注意解完之后要写上:“综上，原不等式注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集（答：a 1或0 a,2_如（1）若loga x a R ,则a的取值围是 31- 八 一x| x 一 或x 0 ; a 0 时， a2ax八（2）解不等式x a R （答：a 0时，x|x0；aax 1,1 cx| x 0或 x 0 a提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集

9、的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义围的端点值。x 2如关于x的不等式ax b 0的解集为,1，则不等式 0的解集为 ax b10.含绝对值不等式的性质：a,b同号1a b| |a| |b| |a| |b| |a b|.a,b 异号|a b| |a| |b| |a| |b | |a b|.-2一 、 一,一一_如设f x x x 13,实数a满足x a 1,求证：f x f a 2 a 1ii.不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题, 也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1） .恒成立问题若不

10、等式f xA在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f xmin A若不等式f xB在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f x Bmax如（1）设实数x, y满足x2y 1 2 1,当x y c 0时，c的取值围是（答：J2 1,）；（2）不等式x 4 x 3 a对一切实数x恒成立，数a的取值围（答：a 1）；八 /2 ,八 一一77 1 73 1（3）若不等式2x 1 m x 1对满足 m 2的所有m都成立，则x的取值围（答：, ）；22n 1n13（4）若不等式1 a 2 对于任意正整数n恒成立，则实数 a的取值围是（答：2-）；n221（5）若不等式x 2mx 2m 1 0对0 x 1的所有

11、实数x都成立，求m的取值围.（答：m 一）22） .能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式f xA成立，则等价于在区间D上f xm* A；max若在区间D上存在实数x使不等式f xB成立，则等价于在区间D上的f x min B.如已知不等式 x 4 x 3 a在实数集R上的解集不是空集，数 a的取值围（答：a 1）3） .恰成立问题若不等式f xA在区间D上恰成立，则等价于不等式f xA的解集为D；若不等式f xB在区间D上恰成立，则等价于不等式f xB的解集为D .例题选讲：一 一 2例题1已知二次函数f（x） ax bx（a 0）满足1 f（ 1） 2,2f（1） 5,求£（

12、3）的取值围。错解：Q f( 1) a bf(1) a b32127232又Q f ( 3) 9a3b3)30正解：设f(3)mf (1)nf(1),则有 9a 3b m(a b) n(af ( 3) 6f ( 1) 3f (1)f(1)f(1) 5,12 f(3) 27剖析：在多次应用不等式样性质的时候，若等号不能同时成立时,c7 2,r c 、，口例题2、已知0 x 一，求f (x) x (7 3x)的最大值。3会使所求围扩大,因此在解不等式围的题时务必要检查等号能否成立。错解：Q x2(7343 f(x)/一、1 一一1 , x 2x3x)xg2xg7 3x)(22343即f (x)的最

13、大值为。547 3x/343542，一正解 1 ： f (x) x (73x)3-x (723x)3 x4 2_93x233x13722433因此，当且仅当一x23x14时,9f (x)的最大值为1372243正解2:(用导数知识解) Q f (x)x2(73x)f (x) 14xf (x)0,得 14x 9x2 0147 ,且当314一时，9小 14、，x (0,)时,9f (x)的最大值为14 7f (x) 0；当 x (一,一)时，f (x) 9 31372243剖析：在应用均值不等式解题时，忽视了均值不等式中等号成立的条件:中取何值，等式x2x 73x都不成立。“一正、二定、三相等”中

14、的第三个条件,7因为无论x在0 x 3例题3、已知a 0且ax的不等式1的解集是xx 0 ,解关于x的不等式loga(x1一)0的解集。xw I /1、错解：loga(x -) x1；52正解：因为关于x的不等式1的解集是,，1、 clog a(x )0x1x 0x1x _ 1x1 52或 11 ,5原不等式的解集是(1,1.5、2 )。剖析：其一、忽视了所给条件的应用和对数的真数大于例题4、已知:b都是正数，且0,其1a a二、忽视了分式不等式正确解法。的最小值。错解：Qb都是正数,2,2屋2正解：Q当且仅当4,的最小值为4。b都是正数，且1 b b1一时，2(aabb)的最小值为5。aba

15、b1ab2中等号成立的条件是当且仅当剖析:2中等号成立的条件是当且仅当b 1 o这与a b 1矛盾,因此解题中忽视了条件ab 1,从而造成错误。例题5解不等式 x 1收x 20.0,解彳导x>2.x 2 0.x 1错解一：原不等式可化为2x:原不等式的解集是x|x> 2.错解二：在不等式f(x) ,g (x)，。中，按f(x)的取值情况分类,f (x) 0,，g(x) 0,f(x)0,或 I.g(x) 0x > 1时，原不等式等价于 x2 x 2 > 0,解得x > 2;x = 1时，显然qg(x)无意义，其解集为综上所述，原不等式的解集为x|x > 2.学

16、”具有相等与不相等的双错因：错解一中，当x = - 1时，原不等式也成立，漏掉了 x = - 1这个解.原因是忽略了不等式中 重性.事实上， f (x) 0,不等式 f(x) - v'g(x) >0 与 ,、 c 或 g(x) = 0 同解.g(x) 0f(x) 0,错解二中分类不全，有遗漏，应补充第三种情况g(x) 0.即当x - l < 0 ,且x2x 2 = 0时也合乎条件，即补上 x = - 1 .故原不等式的解集为x|x> 2,或x = - 1.分析一：符号是由符号“>” “=”合成的，故不等式f(x) - Jg(x) > 0可转化为f(x)、/

17、g(x) > 0或f(x) 4； g(x) = 0.正解一：原不等式可化为(i)(x-i) qx2 x 2 > 0,或(u)(x - 1) <x2 x 0 = O .x 1 0,(I)中，由 9得 x > 2;(口)中，由 x2- x- 2 = 0,或 x 1 = O,x2x 2 0.且x2 - x - 2有意义，得x = 1 ,或x = 2 .:原不等式的解集为x|>2,或x = - 1.分析二：在不等式f(x) g(x) )0中，按g(x)的取值情况分类，有两种情况：f(x) 0,(1)g(x) > 0时，等式等价于 , (2)g(x) = 0时'

18、;只须f(x)有意义即可.,g(x) 0,正解二：分两种情况讨论.x 1 0,(1)当x2 - x 2 > 0 ,即x > 2 ,或x < - 1时，原不等式等价于x2 x 2 0解彳导x > 2 .(2)当x2 x 2 = 0 ,即x = 2 ,或x = - 1时，显然有意义，是原不等式的解 综上所述.原不等式的解集是 x|x>2,或x = - 1.例题6设函数f xJx2 1 ax,其中a 0,解不等式+ 1 < (1 + ax)2 ,错解：:不等式f(x)<1, Vx21 < 1 + ax.两边平方，得x2即 x-(a2- 1)x + 2a

19、 >0, /a > 0,:当 a > 1 时，x > 0,a-12a当 0 < a < 1 时，0 < x < r .1 aax>0错因：未能从已知条件中挖掘出隐含条件:进而由a > 0可得x>0.正解：不等式f(x) & 1,即 vx21 <1 + ax .由此得101 + ax ,即ax> O,其中2x原不等式等价于不等式组x221 (1 ax)2,即 x(a20.x 0.1)x 2a 0,:当0 < a <1时，原不等式的解集为x|0< x< 一12a;当a>1时，原不等式

20、的解集为x|x>O.小结：解不等式常见的思维误区有:(1)概念模糊。变形不同解.常见于解分式不等式、对数不等式、无理不等式、指数不等式、含绝对值不等式、含排列数或组合数的不 等式等等.(2)以偏概全，未分类或分类不全，对某些含有参数的不等式，未进行分类讨论，片面认为是某种情况.如例题6.(3)忽视隐含条件，信息不能被全部挖掘出来.如例题7.例题7不等式证明的错解的成因及分析策略不等式的证明方法有很多，如:基本不等式法、比较法、综合法、分析法、反证法、判别式法、换元法、数学归纳法、放缩法、导数法、公式法 (向量公式、方差公式、斜率公式等 卜数形结合法等等.不等式的证明过程，是常规的证明方法

21、及构造性思 维在新的领域中的移植和运用，以及局部的创新.但在实际教学活动中我们发现，学生对于不等式证明上存在着一定的思维障碍，并仍有不少学生沉醉于“题海战术”之中，阻碍着创造性思维能力的发展.、用新教材中新增知识点证明不等式这一思考方法很不适应例1忽视向量不等式等号成立条件，造成围失真irr ur r向量不等式| p | | q | | p q |等号成立的条件为ur，当向量p /r ur rq且p与q方向相同时“+ ”不等式取等号；当向量urPr irq且Pr与q方向相反时“-”不等式取等号.例 2 a2 16 . (a 4)2 36 >2.29 .ir rur rir错解设 p (a

22、,4), q (a 4,6)，由 | p | |q| |pf211r、,a2 16 ,(a 4)2 36 |p| |q |ir rI p q| l(a,4) (a 4,6) | |(4, 2)| ,16 4. Ja2 16 J(a 4)2 36 > 2 V5 .irr ur r成因分析 向量不等式| p | | q | | p q |等号成立的条件是2.5irr ur rirrp / q，且向量p与q方向相反，而当p / q时，得a8，此时irrp ( 8,4), q ( 12,6)方向相同，故等号不成立，使不等式围缩小了ir rur r urr正解设 p(a,4), q(4 a,6),

23、由 | p | q| pq|,得 ur rur ra2 16 , (a 4)2 36 I p| |q| I p q|(a,4) (4 a,6) | |(4,10) | ,16 100 2 29irr 8 ur rr ur r ur r|q| I p q| I p| |q|当p / q即a 时，p,q方向相同，故等号成立. 5ur r ur rur评述 向量作为新教材中的另一个新增知识点，利用数量积不等式|p q | | p| | q |与和差不等式| p|证明不等式，有着其它方法所不能比拟的优越性，在教学中应适当推广及应用 、忽视题设条件或隐含条件有些题设条件看似平淡，但在解题中就会显示出其隐

24、蔽性，学生往往由于忽视了隐含条件，或对隐含条件的挖掘只浮于表面，而未能展示其真正的面目，从而在解题过程中误入陷阱0,n为偶数，证明bn 1nabn错解 a(an bn)(an1 (ObFbn1)n 为偶数，：(ab)nbn 1同号，bn 1na成因分析实际上，n为偶数时，1 bn1不一定同号，这里忽略了题设条件 a b0,在没有明确字母的具体值情况下，要考虑分类讨论，即需分a0,b 0和a,b有一个负值的两种情况加以分类讨论bn正解an 1 a bnbn)(an1 bn1) (ab)n当0,b0时,(ab)n0,(ann n 1b )(a当bn)(a(ab)n)>0 ,n 1 a bna

25、, b有一个负值时，不妨设a0,b0,即 a |b| .为偶数时，：(ann n 1b )(abn1卢0，且(ab)n 0bn 1nan 1a 1> nb an n n 1 n 1、a b )(a b )->0，故(ab)n综合可知，原不等式成立.、分式不等式分母较复杂时，不能灵活变形而形成思维障碍证明分式不等式需要去分母，去分母的方法有很多，如轮换法、添加分母法、添加分式法、添加和积式法等等 ，在添加代数式时需考虑 均值不等式等号成立条件，并最终利用均值不等式去掉分式或部分分母 ，但学生对于这一灵活的变形常常无法领悟 ，觉得在解题时处 处均可下手，但又无从下手，从而形成分式变形障

26、碍.例 5 已知 a,b, c 0, abc 1,1113证明 二 二 工> 一.a (b c) b (c a) c (a b) 2分析这是一道技巧性较强的分式不等式证明题，其分子与分母差别太大，学生往往不能注意其整体联系 ，而想省事处理，想一步到位地消去所有分式，从而进入了繁忙的运算程序中，最后不得结果，反而觉得此题处处都是切入点，又处处陷于被动.实际上，由1abcbc 11a3 (b c)a3(b c) a2(b c)a2 1 1b c、1 1 11可添加分式k ()，使彳寸一2b c a 1bk(b-) c2Ma由a b c 1时，不等式取等号 得k1故可考虑添加分式-)来解决问题. c1证明v :a (b c)111c，a ；b3(c a)11111-3 -( )> c (a b) 4 a b b11111111.13-+ -+ -> ( + +)> J-a (b c) b (c a) c (a b) 2 a