电动力学5教案

1、第五章电磁波的辐射本章重点：1、电磁场的矢势和标势的引入、规范不变性；2、达郎伯方程及推迟势的物理意义；3、矢势的展开和偶极辐射；4、电磁场的动量守恒。本章难点：1、矢势的展开和偶极辐射公式的导出；2、电磁场的动量密度张量的引入和意义。引言一.电磁辐射不稳定的电荷、电流激发的电磁场随时间变化。 有一部分电磁场以波的形式脱离场源向 外运动，这被称为电磁波的辐射。本章主要研究高频交变电流产生的电磁辐射。二.引入矢势和标势可以更方便的求解电磁辐射问题与静电场引入电势、静磁场引入标势相似，为了便于求解普适的场方程，在变化情况下 仍然可以引入势的概念。 但是，由于电场的旋度不为零， 这里引入的失势、 标

2、势与静电场情 况有很大的不同。三.辐射问题的本质也是边值问题变化电荷、电流分布激发电磁场，电磁场又反过来影响电荷、电流分布。空间电磁场的分布就在这一对矛盾相互制约下形成的。变化的电荷、电流分布一般具有边界， 因此在求解时要考虑它们的边界条件和边值关系。但是，一般情况下这种的边界情况很复杂，使得电荷、电流分布无法确定，因此使得求解问题无法进行。在本章我们仅讨论电荷、电流分布为已知 的辐射问题。§ 5.1 磁场的矢势和标势一.用势描述电磁场本节使用最普遍的电磁场方程引入矢势然后讨论电磁辐射问题(仅讨论均匀介质)。(1)矢势的引入由于 B 0 (与静电场相同)，可以引入矢势 A,使得B A

3、注意： 与静电场不同的是，这里引入的矢势与时间相关； 矢势的意义与静电场情况相同，即：、A dl B dSLS(2)标势的引入 B在变化电磁场f#况，E 0 ,不能象静电场那样直接引入标量势函数。但t是，由B A和电场的旋度方程可以得到:移项并一, A、 一合并得：(E ) 0t因此可以引入标量势函数，使得AE t,引入后电场强度:.规范变换和规范不变性1 .失势和标势的不唯一性同静电场相同，这里引入的矢势和标势也不唯一,但是矢势和标势在变化电磁场情况相互间有一定的关系。2 .规范变换规范：给定一组(A,)称为一种规范;两种规范间的变换关系式规范变换：不同规范之间满足的变换关系称为规范变换。证

4、明：由于A和A没有改变电场和磁场强度，所以B A A 0 AA , 即 A A。又r)规范不变性：在规范变换下电磁场的强度、方程保持不变的性质。规范场：运动方程具有规范不变性的场称为规范场。3 .两种规范A值选要使势函数减少任意TIe,必须给出A ,它的值被称为规范的辅助条件。择是任意的，但若选择的好，可使电磁场的解简单，基本方程对称或物理意义明显。库仑规范规范条件：A 0 （即定义A为无源场）。在这一条件下的（A,）称为库仑规范。在库仑规范下，A为横场， 纵场。因此，电场的横场部分完全有 A决定，而纵场部分完全有决定。在这种情况下，由电荷、电流的瞬时分布求解，与静电场的电势类似，因此称为库仑

5、场。2满足的方程：0| （即满足拉普拉斯方程）证明：A A0,20。洛仑兹规范1规范条件：A 0。c2 t后面将看到在洛仑兹规范下，A, 所满足的方程具有高度的对称性，这种对称性将满足相对论的协变性，有很重要的理论意义。满足的方程：212c2 t20满足波动方程）证明:Jc2 tj_2_c2 t2达朗贝尔方程1.真空中的达朗贝尔方程-)0J(A)A证明：将B A, E 代入麦克斯韦方程:B 0 00J，E 并利用:02(A)(A) A得到达朗贝尔方程。(详细证明过程由学生自己补齐)2 .库仑规范下的达朗贝尔方程2at2_1_c2 t可见满足泊松方程,与静电情况类似，即空间某处的在t时刻的值由电

6、荷在t时刻的分布(X , t)给出，不能直观的反映电磁相互作用传播是非超距的特性。3 .洛仑兹规范下的达朗贝尔方程t22t2(A,)及任,B)反映了电磁场的波动性洛仑兹规范下的达朗贝尔方程是两个波动方程，因此由它们求出的 均为波动形式，反映了电磁场的波动性。两个方程具有高度的对称性且相互独立求出一个解，另一个解就迎任而解。在下一节我们将看到，洛仑兹条件下达朗贝尔方程的解直接反映出电磁相互作用需要时间。基于这些考虑，在研究辐射问题时， 一般都是采用 洛仑兹条件下的达朗贝尔方程。4 .用两种规范求解平面电磁波(1)用库仑规范求解因为是在自由空间讨论问题，考虑解的唯一性,=0是唯一的解。库仑规范下的

7、达朗贝尔方程化为:2A0J ，其解为：AA0ei(k r t) ,由 A 0可推出EA 0 0因此得到：AE0ei(krt)A B0ei(k r t)(2)用洛仑兹规范求解从洛仑兹规范下的达朗伯方程直接可以得到矢势和标势的平面波解：A0ei(k rt)0ei(k rt)B0ei(krt);A ik A1-1 0 得到:c2 ti(k 0e的。A, E0这一条件,则得A一得:tE ,与上一章的解完全一致。如果加上0,两种规范就完全一致了。在这种情况下,A是唯一确定1§ 5.2 推迟势本节讨论空间存在电荷和电流分布情况下洛仑兹达朗伯方程的解。标势的达朗伯方程的解标势方程中(x,t)为已知

8、。若(x,t)较复杂，直接得到一般解比较困难。本节先从一个点电荷出发，然后由迭加原理得到解。1 .点电荷Q(t)在空间激发的标势设点电荷处于原点，(x,t)Q(t) (x),考虑对称性取球坐标且(r,t)与，无关。标势的达朗伯方程化为:-(r2) r r tQ(t) (r)当r 0时,c2 t2”272 .2C t2-0令(r,t) 曳叱r2u1 2u 0这个类似于一维波动方程的解可以表示为:u(r,t)f(t-)g(t -)则：(r,t)U)X(r 0) ，f(trc) 代表向外传播的球面波,g(t r )工代表向内收敛的球面波。由于是讨论辐射问题可令:, r、g(t -) 0,然后与点电

9、c荷的电势类比有：(r,t)Q(t rc)4 or若点电荷不在原点而在空间 x点，则(x,t)Q(x ,t4 or连续的电荷分布在空间产生的电势(x,t)(x ,tdVV 4 0r.矢势A的解1.矢势A的解由于A满足的方程形式上与满足的方程一样，所以 A的解应当是:A(x,t)2. A、满足洛仑兹条件0。推迟势及其物理意义1 .推迟势势函数在空间x点，t时刻的值依赖于t时刻的电荷、电流分布，即空间势的建立与场源相比推迟了力。具有这样特性的势称为推迟势。2 .电磁相互作用需要时间空间x点，t时刻的电磁场由t时刻的电荷、电流分布决定。也就是说电荷、电流产生的物理作用是经历了 t /时间后才到达观察

10、点，即场的建立需要时间，而相互作用的传 播速度在真空中为 Co5. 3电偶极辐射电磁波是从变化的电荷、电流系统辐射出来的。宏观上，主要是利用载有高频交变电流 的天线产生辐射，微观上，一个做变速运动的带电粒子即可产生辐射。为了简单，本节仅讨论电荷分布以一定频率做周期运动，且电荷体系线度远远小于电荷到观测点的距离的情况。一.计算辐射场的一般公式设电荷、电流分布为随时间做正弦或余弦变化，即：J(x,t) J(x)e i t (x ,t) (x)e i t 将此式代入推迟势 A的公式后得到(k /)：A(x,t)J(x，t r/c)dV 1 Jxdvieit 4r4 rA(x,t) A(x)e i t

11、ikr 令 A(x) -0 上。dV ，则： 4 r上式表示一种时谐波，这是计算辐射场矢势的一般公式。与稳恒电流磁场相比这里A附加了一个因子eikr ,称为推迟相因子。(r ) ikr用同样方法可以得到：(t)( x)e dV e i t = (x)e i t。4 orr ic2 r r ,根据洛仑兹条件可以得到矢势与标势的关系：(x)2 ax),因此只要求出矢势即可得到标势。由上面的结果得到的电磁场也是时谐电磁场，即必然有：B(x,t) A(x,t) B(x)eit,.一,. iC如果讨论J 0的区域有关系式：E(x,t) - B(x,t)。k矢势的展开1. A在小电荷、电流区域的级数展开设

12、场点到小区域电荷、电流中某源点x的距离r l (小区域的线度)，则有R r ( R为坐标原点到场点的距离)。_11将 一1一在x 0点展开：r x x1111 R x 1 n xx.r R RR R3R R2其中n为R方向单位矢量。因为R x,所以仅取前两项而舍去高次项得至U：R2R n xR(1 n x /R)R(1 - x) R n xR所以A(x)J(x)eik(R nx)dV4 R n x2.求解A(x)的一般公式因为R xn x ,所以分母中的n x可以舍去。但是要注意，相因子中的能轻易舍去。主要原因是:ikn xi2 n x /,相位2nx相对2不一定是小量。利用 ex 1 x x

13、2 .,ne>kRA(x) -0 J(x)(1 ikn x .)dV 4 R上式即为在J(x,t) J(x)e i t,(x,t) (x)e i t的条件下辐射场的一般公式。.一，,2 n x _当l x 时，kn x 2 ,上式可以仅取积分中的第一项，有:eikRA(x) 0 r J(x)dV ,此式代表的是偶极辐射。3. R与的关系在满足lR, l的前提下，按与的关系还可分为三种情况：(1) R(近区)2R .R ,eikR 1，传播时间t T (辐射场的周期)。在这一区域内变化电磁场与 kc静场性质类似。(2) R(感应区)过度区域，电磁场的行为很复杂，本教材不涉及这方面的内容。(

14、3) R (远区)电磁波在脱离了场源后的传播区域，也是我们主要讨论的内容。三.偶极辐射1 .用p表木偶极辐射矢势公式ikR由 A(x) -0e J(x)dV，考虑 p x (x,t)dV ,ikRA(x，t)4 R p4 Rdp x (x ,t)dV得到偶极辐射矢势公式: dt2 .偶极辐射的电场强度和磁感应强度zeikR -(JP 0)0 ,eikR、. eikR()P (一4 RRikR因为： J ( l)eikR 工 eikR旦eikRikeikRR R RR3 R(ik)eikR (其中用到ik , k kn),RR11r1考虑选区条件R ,-'，即k-,RRikR所以有： R

15、7 ikRikeRn ,于是 B(x,t)ikR0 iken p。利用 p4 Rx (x , t)dV可以得到&-&&O由此我们得到在lR条件下偶极辐射的磁感应强度:ikRB(x,t)电 n4 0C3Ric利用E(x,t) B(x,t)得到偶极辐射的磁感应强度：kikRE(x,t)(专n)n若选球坐标，让 p沿z轴，则:B(x,t) 1peikRsin e4 0C3RE(x,t) 1p eikR sin e4 0C2R讨论：(1)电场沿经线振荡，磁场沿纬线振荡，传播方向、电场方向、磁场方向相互正交构成右手螺旋关系;(2)电场、磁场正比于1R因此它是空间传播的球面波,且为

16、横电磁波(TEM波)，在R 时可以近似为平面波；一、一E11(3)要注意如果 R ( -1)不能被满足，可以证明电场不再与传播方向垂直，即电力线不再闭合，但是磁力线仍闭合。这时传播的是横磁波( TM波)陶能232 2 0c3R2四.辐射能流、角分布和辐射功率r1r*r、平均能流密度矢量： S1 Re( EH)22角分布：sin2平均功率：P=0 SR2d =p- 4 ,与电磁波的频率 4次方成正比。112 oc3§ 5.7 磁场的动量电磁场与带电物质之间存在相互作用，带电物质在受到电磁场作用时动量会发生变化。 由于动量守恒，电磁场必然也具有动量。一.电磁场的动量密度和动量流密度矢量1

17、 .带电物体受到的电磁力已知洛仑兹力公式：f E J B ,则带电物体受到的电磁力为：F EdV J BdV令Gm代表带电物体的动量，根据牛顿第二定律有:dGmm F fdV。 dt2 .电磁场的动量守恒定律设在区域V电磁场的动量为Gq。 e考虑全空间动量守恒，则在全空间带电物体动量的增加率应该与电磁场动量的减少率相等，即：dGm + dGe 0 dt dt若对于有限区间，则在区域V内dGm+dGe- 0,考虑电磁场通过界面发生动量转dt dt移，则单位时间流入界面的动量应该等于区域内总动量的变化率，即：单位时间流入V内的动量=dGm +迫。 dt dt3 .用电磁场量表示洛仑兹力公式B =0

18、和将麦氏方程代入洛仑兹力公式并考虑E =0 f ( D)E ( H ) BttDB二(D)E ( B)H ( H ) B ( E ) DD B 二(D)E ( E) D ( B)H ( H) B B D上式中:1)2)(DBB D (D B), tttL，L、i1D)E(E)D=( D)E (D )E) 3(E D)1 t 一 1t= (DE) - I (E D) = DE - I (ED) 其中用到(考虑均匀介质)：(E D) E (D) (E )D D (E) (D )E2 E ( E) (E )E= 2D (E) (D )E1(E) D = (D )E 2 (E D),t(ED) I (E D)（B H ）（E D B H ）g D B ,则洛仑兹力公式化为:-13)同理：(B)H ( H) B= BH - I1由此得：f (D B)+ (DE BH) - I4.动量密度与动量流密度张量 -_1_ _令：T (DE BH) - I (E D B H ),tg对带电体系所在区域 V积分得:dfdVgdVodS TVdt vS2而根据动量守恒有：dGm + dGe。dS T ,dt dt s因为电磁场在 V内的动量 Ge