新课标高中数学必修二第四章圆与方程-经典例题-[含答案]

1、习题精选精讲圆标准方程已知圆心C(a,b)和半径r ,即得圆的标准方程 心 C(a,b) 和半径r ,进而可解得与圆有关的任何问题 一、求圆的方程(xa)2(y b)2一，、2,、22 一一已知圆的标准方程(x a) (y b) r ,即得圆例 1 (06卷文)以点(2, 1)为圆心且与直线3x4y0相切的圆的方程为(A) (x (C)(x2)2)(y(y1)1)解已知圆心为(2,(B)(x(D)(x2)2)(y(y1)1)1),且由题意知线心距等于圆半径，即 d故选(C).点评：一般先求得圆心和半径,再代入圆的标准方程(x a)26 4 5.32 42,2,.、2;所求的圆方程为(x 2)

2、(y 1),.、22 一一(y b) r即得圆的方程.二、位置关系问题例2 (06卷文)直线x(A) (0-2 1)(C)( '.2 1, 2 1)2解化为标准方程x21与圆x2 y2(B) (, 2 1, .22ay 0 (a1)0)没有公共点，则a的取值围是(y(D)(0, 2 1)、22a) a ,即得圆心C(0,a)和半径r直线x y 1与已知圆没有公共点，：线心距d 2a.1 r a平方去分母得a2 2a 1V21 aV21,注意到 a 0点评：一般通过比较线心距 d与圆半径 圆相交.三、切线问题:0 a 氏 1,故选(A).r的大小来处理直线与圆的位置关系：d r线圆相离；

3、d r线圆相切;例 3 (06卷理)过坐标原点且与圆x22y 4x(A) y3x或y(C) y3x或y1x31x3(B) y(D) y3x或y3x或y八5八一，2y0相切的直线方程为(21x31x3解 化为标准方程(x 2)2(y 1)25-，即得圆心C(2, 1)和半径r设过坐标原点的切线方程为ykx ,即 kx y0,：线心距d 3 r-k2 1j| ,平方去分母得(3k 1)(k3) 0 ,解得1八、k 3或：所求的切线方程为3y 3x 或 y1x ,故选(A).3点评：一般通过线心距d与圆半径r相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题 四、弦长问题例4 (06卷理)设

4、直线ax y 3解由已知圆(x 1)2 (y 2)20与圆(x 1)2 (y 2)24,即得圆心 C(1,2) 和半径r4相交于A、B两点，且弦AB的长为243,则2.线心距dAB 22(v) r( a21 )21(v'3)222,即(a 1)2 a20.点评：一般在线心距d、弦长AB的一半和圆半径r所组成的直角三角形中处理弦长问题：d2 ("AB)22五、夹角问题22例5 (06全国卷一文)从圆x 2x y 2 y10外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为(A)1(B)3(C)(D) 025222解 已知圆化为(x 1) (y 1)1,即得圆心C(1,

5、1)和半径r 1. 一 ，2设由P(3,2)向这个圆作的两条切线的夹角为 ,则在切线长、半径r和PC构成的直角三角形中，cos-,2后23cos 2cos 1 一，故选(B).25点评：处理两切线夹角问题的方法是：先在切线长、半径 r和夹角问题.六、圆心角问题例6 (06全国卷二)过点(1, J2)的直线l将圆(x 2)2y222._解 由已知圆(x 2) y 4,即得圆心C(2,0)和半径rPC所构成的直角三角形中求得 一的三角函数值，再用二倍角公式解决24分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 l的斜率k 2.设 P(1, V2),则 kPC1、；2 ； PC直线l时弦最短，从而劣弧所

6、对的圆心角最小，：直线l的斜率k kPC点评：一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题：在同圆中，若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短，若弧长与弦长 最短则所对的圆心角也最小.七、最值问题例7 (06卷文)圆x2 y2 4x 4y 100上的点到直线x y 140的最大距离与最小距离的差是()(A) 30(B) 18(C) 6 , 2(D) 5 - 2解 已知圆化为(x 2)2 (y 2)218,即得圆心C(2,2)和半径r 3<2 .设线心距为d ,则圆上的点到直线x y 140的最大距离为d r ,最小距离为d r , . (d r) (d r) 2r6J2 ,故选(C)

7、.点评：圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距d与圆半径r的关系解决：圆上的点到该直线的最大距离为d r ,最小距离为d r.八、综合问题例8 (06卷理)若圆x2取值围是()y2 4x 4y 10 0上至少有三个不同的点到直线l : axby 0的距离为2y2 ,则直线l的倾斜角的r , r 5 ,(A)1，(B) -,-12 412 12解 已知圆化为(x 2)2 (y,圆上至少有三个不同的点到直线©厂，二(d)0，t 6 322)218 ,即得圆心C(2,2)和半径rl : ax by 0的距离为2亚，d3. 2 .2a 2b一 a2 b2由直线l的斜率ka 代入得 k

8、2 4k 1 0,解得 2 T3 k 2 53,又 tan 一 b12r 2亚 2z,即 a2 4ab b2 0,2 33 , tan 2 <3，.直线 l 的125倾斜角的取值围是 1 ,故选(B).12'12“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决点评：处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程，进而以 圆的方程1.确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用围(1)圆的标准方程：(xa)2 + (y b)2=r2,其中(a, b)是圆心坐标，r是圆的半径；D ED2 E2 4F(2) 圆的一般方程：x2 + y2+ Dx+Ey

9、 + F = 0 (D2+E2-4F>0),圆心坐标为( 一, ),半径为r=2222 .直线与圆的位置关系的判定方法.(1)法一：直线：Ax+By+C = 0;圆：x2+ y2 + Dx + Ey+ F=0.Ax By C 0x2 y2 Dx Ey F7肖元一元二次方程0-判别式0 相交0 相切0 相离(2)法二：直线：Ax + By+C=0;圆：(x a)2+(yb)2=r2,圆心(a, b)到直线的距离为Aa Bb Cd=.A2 B2dr相交dr相切dr相离3 .两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为。1、 。2,半径分别为ri、 r2,I O1O2 I为圆心距，则两圆位置关系

10、如下：1 O1O2 | > ri+ r2两圆外离；I O1O2 I = ri+r2两圆外切；I r一21 < I O1O21 < r1十L2两圆相父；I O1O2 I = I ri-r21两圆切；0< I O1O2 I < I ri-r2 I 两圆含.点击双基1 .方程 x2+y2 2 (t+3) x+2 (1-4t2) y+16t4+9=0 (tGR)表示圆方程，则 t 的取值围是A. -1<t<- B.1<t< I。 1 <t<1D.1<t<27271解析：由 D2+E2 4F>0,得 7t2 6t-1&l

11、t;0,即一<t<1.答案：C72.点P (5a+1, 12a)在圆(x1) 2+y2=1的部，则a的取值围是A. I a I < 1 B.av C. | a | v D. I a I v 13513解析：点 P 在圆(x1)2+y2=1 部 (5a+1 1) 2+ (12a) 2< 1|a|<1.答案：d133.已知圆的方程为(x-a) 2+ (y-b) 2=r2 (r>0),下列结论错误的是A.当a2+b2=r2时，圆必过原点B.当a=r时，圆与y轴相切C.当b=r时，圆与x轴相切D.当b<r时，圆与x轴相交解析：已知圆的圆心坐标为(a, b),半

12、径为r,当b<r时，圆心到x轴的距离为|b|,只有当|b|<r时，才有圆与x轴相交, 故D是错误的.故选D.答案：D典例剖析【例2】一圆与y轴相切，圆心在直线 x-3y=0±,且直线y=x截圆所得弦长为2”,求此圆的方程.剖析：利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形解：因圆与y轴相切，且圆心在直线 x 3y=0上，故设圆方程为(x3b) 2+ (y-b) 2=9b2又因为直线y=x截圆得弦长为2 J7 ,则有(网_") 2+ ( J7 ) 2=9b2,解得b=+ 1.故所求圆方程为.2(x3) 2+ (y1) 2=9 或(x+3) 2+ (y+1) 2

13、=9.夯实基础1. 方程x2+y2+Dx+Ey+F = 0 (D2+E2-4F>0)表示的曲线关于 x+y=0成轴对称图形，则A.D+E=0B.B.D+F=0C.E+F=0 D. D+E+F=0解析：曲线关于x+y=0成轴对称图形，即圆心在 x+y=0上.答案：A2. (2004年全国口，8)在坐标平面，与点 A (1,2)距离为1,且与点B (3, 1)距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条D.4条解析：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.答案：B3. (2005年黄冈市调研题)圆 x2+y2+x6y+3=0上两点P、Q关于直线kx- y+4=0对

14、称，则k=.1解析：圆心( 1,3)在直线上，代入 kx-y+4=0,得k=2.答案：224. (2004年全国卷W, 16)设P为圆x2+y2=1上的动点，则点 P到直线3x 4y10=0的 距离的最小值为 解析：圆心(0, 0)至ij直线3x4y10=0的距离d=L0J=2.再由dr=21=1,知最小距离为1.答案：155. (2005年启东市调研题) 设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x6y+1=0上有两点P、Q,满足关于直线x+my+4=0对称, (1)求m的值；(2)求直线PQ的方程.而b<r不能保证|b|<r,又满足OP - OQ =0.解：(1)曲线方程为(x+1)

15、2+ (y-3) 2=9表示圆心为(一1, 3),半径为3的圆.点P、Q在圆上且关于直线 x+my+4=0对称，：圆心(1,3)在直线上.代入得m=1.(2) .直线PQ与直线y=x+4垂直，:设 P (x1，y。、Q (x2, y2), PQ 方程为 y= x+b.将直线 y=x+b 代入圆方程，得 2x2+2 (4-b) x+b2 6b+1=0.A =4 (4 b)y1 . y2=b2- b2 4X2X ( b2 6b+1) >0,得 2 3,2 <b<2+3 J2 .由韦达定理得 xI+x2= (4 b), x x2=b6b_12,b2 6b 1(x什x2)+x1 x2

16、=+4b OP - OQ =0,x1x2+y1y2=0,即 b2- 6b+1+4b=0.2解彳导b=1 e (2 3j2, 2+3 J2).：所求的直线方程为y= x+1. 培养能力7.已知实数x、y满足方程x2+y2- 4x+1=0.求(1) _y的最大值和最小值；(2) y x的最小值;X(3) X2+y2的最大值和最小值.解：(1)如图，方程X2+y2- 4X+1=0表示以点(2, 0)为圆心，以 J3为半径的圆.设Y = k,即y=kx,由圆心(2, 0)至I y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值 .由12k 0| = J3 ,x. k2 1解彳导 k2=3.所以

17、kmax= 33 , kmin= <3 .(2)设y-x=b,则y=x+b,仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式，得 |2 0 1b|=/3 ,2即 b=-2± 6Q ,故(y- x) min= -2 6Q .(3)x2+y2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC,与圆交于B点，并延长交圆于C',则(x2+y2)max=| OC ' I =2+J3,(x2+y2)min= | OB |=2- <3 .8.(文)求过两点A (1, 4)、B (3,2),且圆心在直线y=0上的圆的标准方程.并判断点Mi(2, 3), M

18、2(2,4)与圆的位置关系.解：根据圆的标准方程，只要求彳I圆心坐标和圆的半径即可4 2因为圆过A、B两点，所以圆心在线段 AB的垂直平分线上.由kAB= 1, AB的中点为(2, 3),1 3故AB的垂直平分线的方程为 y-3=x-2,即xy+1=0.又圆心在直线y=0上，因此圆心坐标是方程组lx y+1=0,dy=0的解，即圆心坐标为(一1,0).&彳至f=& 1 1)2 (0 4)2 =J20,所以得所求圆的标准方程为(x+1) 2+y2=20.因为M1到圆心C ( 1 , 0)的距离为J(2 1)2(3 0)2 = J18 , |M1C|<r ,所以M1在圆C ;

19、而点M2到圆心C的距离|M2c|=/(2 1)2 (4 0)2 =J25> J20 ,所以 M2在圆 C 外.,一22_22一_一一 ._.一 一“求经过两圆x y 6x4 0和xy6y280的交点，并且圆心在直线x y 4 0上的圆的方程。”同学们普遍使用下面两种方法求解：方法一：先求出两已知圆交点a11,3, A26, 2，再设圆心坐标为B(b4,b),根据ABA2B r ,可求出圆心坐标及半径r,于是可得所求圆方程。方法二：先求出两已知圆交点A1,3, A26, 2 ,再设所求圆的方程为：x2 y2 Dx Ey F0,其圆心为 W , 3 ,代入x y 4 0 ,再将Ai,A2两点

20、坐标代入所设圆的方程，可得三个关于D,E,F的三元一次方程组，求出 D,E,F的值，这样便可得所求圆的方程。但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解，可以更加方便。经过两已知圆的交点的圆系设圆C1与C2的方程为：C1: x2 y2 D1x E1y F1 022C2: x yD2x E2 y F2 0.并且两圆相交于两点。引进一个参数，并令：22_22x yD1xE1yF1 +(x yD2xE2 yF2)=0其中 -1。引进两个参数 1/221 (x yD1xE1yF1)+不论参数取何值，方程与中的222 (x yD2x E2y F2) =0 其中 1 + 2 0x2项和y2项的系数相

21、等，方程没有 xy项，而且两已知圆的两个交点的坐标适合方程与，所以与都是经过两已知圆的交点的圆系，但是与稍有不同：(1)当 =0时，方程的曲线就是圆 C1；不论 为何值，方程的曲线都不会是圆C2。所以方程表示经过两已知圆的交点的一切圆，包括圆C1在，但不包括圆C2。1 =0时，方程的曲线就是圆 C2；当2=0时，方程的曲线就是圆C1和圆C2在。Clo所以方程表示经过两已知圆的交点的一切圆，包括圆下面应用圆系来解本文前面的问题:设经过已知两圆的交点的圆的方程为:22x y 6x22(x y6y28) 0.(-1)则其圆心坐标为所求圆的圆心在直线x0上：+ 4=01解得=-7所求圆的方程为：x2下

22、面再举两例说明圆系的应用2例1.求经过两已知圆：x6x4x4 7(6y 28)-20即：x7y324y0的交点且圆心的横坐标为3的圆的方程。解：设经过两已知圆交点的圆系的方程为:22x y 4x6其圆心的横坐标为:(x222一y 4y 6)-1)所求圆的方程为:4x112-(x34y6)6x 2y例2. 设圆方程为:(求证:4)x2 (4)y2(24)x(1240) y 48164其中证明:不论 为何值，所给圆必经过两个定点。、一,， 2把所给方程写为：4(x2一，2y x 10y 41) (x2x12y48) 0这是经过以下两个圆的交点的圆系的方程:2x2x2y2yx 10y2x 12y41

23、48所以，不论 为何值，所给圆必经过这两个圆的两个交点0直线与圆的位置关系二、例题选析例1：求由下列条件所决定圆2y4的圆的切线方程;(1)经过点 P«3,1)， 经过点Q(3,0),斜率为1解：(1)32 02设切线方程为y(V3)2 124 .点P(J3,1)在圆上，故所求切线方程为4 :点Q在圆外。k(x 3)即 kx y 3k 0<3x y 4。直线与圆相切,:圆心到直线的距离等于半径，：3klL 21 k25、5;所求切线方程为(3)设圆的切线方程为(2b)2 4;所求切线方程为x2<15(x 3)。5y x b,代入圆的方程。2(b2 4) 0 ,解得 by

24、2 近 0。整理得，2x22v12。2bx.2b 40 , 直线与圆相切判别式法求切线方程适用圆锥曲线，当然对于圆也适用。小结：利用圆心到切线的距离等于半径是解决圆的切线问题的常用方法。22例2：已知点P(X0, yo)在圆x y Dx Ey F0的外部，过P作圆的切线，切点为 M ,求证1 _22 Z Z Z-PM | Jxo yo Dxo Ey。F。证明：如图7-53-1 ,圆心C( _D E)2 ' 2半径CM 11D2 E2 4F , 2- IDT2E1CPI /X0 万)(yo -)由勾股定理得2 2222PM | jCP| CM22/D2/E2D2 E24F(X02)(y0

25、2)4x2 y： Dxo Eyo F小结：(1)此题的证明，给出了切线长公式，即将圆外一点的坐标代入圆的一般方程左端，再取算术平方根即为切线长。 - - - - -222以CP为直径的圆与圆C相交于M、N两点，则M、N为切点。若圆C的方程为x y r ,则两切点连线所在的直线方程为2XoX y°y r。例3：从圆外一点P(a,b)向圆x2 y2 r2引割线，交该圆于 A、B两点，求弦AB的中点轨迹方程。解：如图7-53-2 ,设AB的中点M (x, y),连接 OM , OM (x,y), PMOM pmOM PM(x a,y b),0,即(x, y)(x x(x a) 22x ya

26、, yy(yaxb)b) by000，(x r)小结：此题用向量法求得轨迹方程，显得简明快捷。读者可用一般方法求轨迹方程，即设出割线方程，和圆联立方程组，由韦达定理建立中点坐标的参数方程，继而求得普通方程。还可用两直线垂直的充要条件，但必须讨论斜率存在与不存在两种情况。都比向量法要麻烦。备选例题：22例 4 ：已知对于圆 x ( y 1)1 上任意一点 P (x, y ) ，不等式 x y m 0 恒成立，数 m 的取值围。解一：彳直线l ： y x,如图：7-53-3向下平移与圆相切和相离时有x y m 0恒成立, 由点到直线的距离公式m轴对称轴对称是解析几何的一个重要容，利用它不仅可以解决

27、点、线、曲线等关于直线的对称问题，而且还可以解决诸如最值、光线反射、角 平分线等问题，并且常得到意想不到的效果。本文将以数例来谈谈它的应用。例1、已知点A(4,1) , B(0,4),在直线L: y=3x-1上找一点P,求使|PA|-|PB|最大时P的坐标分析：本题的常规方法是：(1)设点(2)列出相应的函数关系式(3)求解。但本题若这样做，则就会走入死胡同。若巧妙利用轴对称的知识则可以轻松解决。解：如图，设点C(x,y)是点B关于直线L的对称点，则由1.;直线BC的万程为：y x 4,将其与直线y=3x-1联3中点，利用中点坐标公式，得 C (3,3)。显然：|PA|-|PB| =|PA|-

28、 |PC|0|AC|,当且仅当 A C、P 三点直线AC方程为：2x y 90,与L方程联立解得P的坐例2、光线由点 C (3, 3)出发射到直线 L: y=3x-1上，已知 求反射光线方程。解：设点B是点C关于L的对称点，则由光线反射的知 所求的反射光线的方程即为直线 AB所在的直线方程。由例1知点C关于L的对称点为B (0,4),3故直线 AB的万程易求得为： y -x 4。它即为反射光线4例3、已知4ABC的顶点A的坐标为(1,4)，/R /C的平分线x y 10 ,求bc所在的直线方程。分析：本题的常规思路是利用 L1到L2的角的有关知识解决问 线的有关性质，则可简捷求解。解：设/ B

29、、/C的平分线分别为Li、L2,则由角平分线的知识可kl3,得：kBc ,3.一 3 7-立，解得：D，其中D为BC2 2共线时，|PA|-|PB|最大。可求得：标为(2,5 )。其被直线L反射后经过点A(4,1),识易知：点 B在反射光线上，故BC关于L2对称，故点A关于Li、L2的对称点A1、A2都应该在直线BC上，故BC所在的直线方程即为方程。的分别方程为x 2y 0和题，但较繁，若能注意到角平分知：AB与CB关于L1对称,AC与 AA所在的直线方程。198利用对称性可求得：A1( -), a2( 3,0)(过程略)5 ' 5于是bc方程可求得为：4x 17y 120直线和圆1

30、.自点(3, 3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆 x2y2 4x 4y 7 0相切，求光线L所在直线方程.解：已知圆的标准方程是(x - 2)2+(y -2)2=1 ,它关于x轴的对称圆的方程是(x -2)2+(y+ 2)2=1o设光线L所在直线方程是：y-3 = k(x +3)o15k 51由题设知对称圆的圆心 C' (2, 2)到这条直线的距离等于1,即d | 1 ,1k2整理得12k2 25k 12 0,解彳导k 3或k 4 .故所求的直线方程是y 3-(x 3),或y 3-(x 3),4343即 3x+ 4y-3 = 0,或 4x + 3y + 3=0

31、.,一222 .已知圆C： x y 2x 4y 4 0,是否存在斜率为1的直线l,使以L被圆C截得的弦ab为直径的圆过原点，若存在求出 直线L的方程，若不存在说明理由.(14分).解：圆C化成标准方程为:(x 1)2 (y 2)2 32 假设存在以AB为直径的圆M,圆心M的坐标为(a, b)由于 CM J_ L , 1- kcM kL= 11- kcM = b 21,即 a+b+1=0 ,得 b= a 1直线 L的方程为 yb=x ,即 x y+b a=02MB CB CM 9 (b a 3)，OM|a2 b22.9 (b a 3)a2 b2 把代入得2CM= |b a 3;以AB为直径的圆2

32、2a2 a 3 0，：a |或a 1M过原点,MA MB OM当a 3时b 勺此时直线L的方程为：x- y 4=0;当a1,时b 0此时直线L的方程为：x-y+1=02，2，故这样的直线L是存在的，方程为x y4=0或x y+1=0.23 . (12分)求过点 P (6, -4)且被圆xy220截得长为6&的弦所在的直线方程.解：设弦所在的直线方程为 y 4 k(x6),即 kx y 6k则圆心(0, 0)到此直线的距离为H 16k 4|.d 1 k2因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成RtA,所以(16L4)2 (3百)2 20 1 k由止匕解得k 1或k 1 .17代入得切线方程

33、工x y 6(2) 4 0或 1717x y 6 ( 1) 4 0,即 7x 17y 26 0或x y 2. ,一.2一 24. (12分)已知圆C: x 1 y 225及直线l : 2m 1 x0.m 1 y 7m 4. m R(1)证明：不论m取什么实数 直线l与圆C恒相交；(2)求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程.解:(1)直线方程l: 2m 1 x m 1 y 7m 4,可以改写为 m 2x y 7x y 4 0,所以直线必经过直线一2x y 7 0, 2x y 7 0和x y 4 0的交点.由万程组解得x y 4 033,即两直线的交点为1A(3,1)又因为点A

34、3,1与圆心C1,2的距离dJ5 5,所以该点在C ,故不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交.连接AC，过A作AC的垂线，此时的直线与圆C相交于B、D . BD为直线被圆所截得的最短弦长.此时，AC J5, BC 5,所以BD 2,25 5 4痣.即最短弦长为4 J5 .又直线AC的斜率kAC1,所以直线BD的斜率为2.此时直线方程为：y 1 2x 3,即2x y 5 0.5 (12分)已知圆x2+y2+x6y+m=0和直线x+2y 3=0交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，数m的值.22解：由 x y X 6y m 0x 2y 3 025y 20y 12 m又 OP_LOQ,：

35、x1x2+y 1y2=0，而 x1 x2=9 6(y1+y2)+4y1 y2=y V2 4012 mV1V254m 2754m 27 12 m 八./曰.0解得 m=3.556.已知圆 C: (x+4) 2+y2=4 和点 A(-2 也值？若为定值，求出/ MAN勺弧度数;m 设圆D的方程为x2 (y b)20),圆D的圆心在若不为定值，说明理由y轴上移动，且恒与圆 C外切，设圆D与y轴交于点 M N. /MAN否为定因为圆D与圆C外切，所以2r2(r 0),那么 M(0,b r), N(0,b r).16 b2 b2 r2 4r 12.又直线MA, NA的斜率分别为kMAb r .一,kMB

36、2 3b r2 ”3tan MANb r b r2 3 2 34 . 3rb r b r 12 b2 r22x3 2 34.3r4rMAN 一.为定值3227. （14分）已知圆x y 半径长.x 6y m 0和直线x 2y 3 0交于p、Q两点，且opoq（o为坐标原点），求该圆的圆心坐标及解：将x 3 2 y代入方程x2设P x/q x2, y2 ，则2x 6y m 0,得 5y 20y 12 m 0 .m 12y1，y2满足条件：y y24,OP±OQ,x1x2 y1 y20,而 x132y1，x23 2y2,x1x26 y1V24y1y2.,1m 3,此时0,圆心坐标为（一一

37、28. （14分）求圆心'在直线 x y 0上，且过两圆3）,半径r2y 2x 10y24 02x 2y 8 0交点的圆的方程.解法一：（利用圆心到两交点的距离相等求圆心）将两圆的方程联立得方程组2x2xy2 2x 10y 24y2 2x 2y 8解这个方程组求得两圆的交点坐标0A (-4, 0), B (0, 2).因所求圆心在直线 x y 0上，故设所求圆心坐标为 （x, x）,则它到上面的两上交点(4, 0)和(0, 2)即 4x 12, x又 r ( 4 3)2 32的距离相等,3, y而，故有 （4 x）2 （0 x）2x 3 ,从而圆心坐标是（故所求圆的方程为(x3)2x2

38、(2 x)2，3,(y3).3)2 10 .解法二：（利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程）同解法一求得两交点坐标 A （4, 0）, B （0, 2）,弦AB它与直线x y 0交点（一3, 3）2,故所求圆的方程为（x 3） （y 解法三：（用待定系数法求圆的方程）就是圆心，又半径3)2同解法一求得两交点坐标为设所求圆的方程为(4程组 a2a)(3b的中垂线为阮，2x0,(xb2b)2a)22r2rA (- 4(y0)b)2故所求圆的方程为（xB （0, 2）.2r2,因两点在此圆上,r_2_ 23) (y 3)且圆心在0上，所以得方3，,10解法四：（用“圆系”方法求圆的方程.过后想想为什么

39、?设所求圆的方程为x22x 10y 24)(x22y 2x2y8)1)，即x2y22(11)x2(51-y因圆心在直线0上，所以8(315可知圆心坐标为（0,解得2.2代人所设方程并化简，求圆的方程x2 y2 6x6y9. （12分）已知一个圆截y轴所得的弦为2,被x轴分成的两段弧长的比为 圆心到直线l: x2y = 0的距离最小时，求圆的方程.3 ： 1 . （1）设圆心为（ab）,数a, b满足的关系式；（2）当设圆心P （a, b）,半径为r,（2）点P到直线x2y=0的距离所以黑a2+1,所以所以（x- 1） 2+（y-1）a= 1b= 1则1b|=左，, _|a-2b|d二也或a一

40、b=2b2= r2.又 |a|2+1=r2,所以a2+ 1 = r2,所以 2b2 = a2+ 1;5d2 = a2 4ab+ 4b2>a2+ 4b2 2 (a2+b2) =2b2a2= 1.1,1.2 = 2 或(x+ 1) 2+(y+1) 2=2.10 已知圆c与圆x2y2 2x 0相外切，并且与直线x J3y 0相切于点Q（3, J3）,求圆C的方程设圆C的圆心为（a, b）,b -,3311)2b2a <3b4成a 00 X b 4.3所以圆C的方程为11.( 1997全国文,(x25)4)24或x2(y 4,. 3)2 36已知圆满足:截 y轴所得弦长为2;被x轴分成两段

41、圆弧，其弧长的比为 3： 1;圆心到直线l:x 2y=0的距5离为"，求该圆的方程.(yb) 2=r2.令 x=0,得 y2 2by+b2+a2 r2=0.5.解：设圆的方程为(x-a) 2+|y1 y2|=v1(y1 y2)24yly22vr2 a2 =2,得 r2=a2+1令 y=o,得 x22ax+a2+b2 r2=0,X1-x2|=%/(X1x2)2又因为P (a, b)到直线4x1x22 r2 b25x-2y=0的距离为上，得542r ，得 r2=2b2d=|a 2b|.5由、，得更即 a2b=±1.52b2 a2=1综上可得2b2a 2b 1;1,或 2b 2

42、；a 2b1解得1所求圆的方程为(x+1) 2+ (y+1)2=2 或(x1) 2+ (y1)1或12=2.1于是 r2=2b2=2.112. (1997全国理，25)设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2; (2)被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为 有圆中，求圆心到直线l : x2y=0的距离最小的圆的方程.3 ： 1 .在满足条件(1)、(2)的所.解：设所求圆的圆心为 P (a, b),半径为r,则P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|. 由题设圆P截x轴所得劣弧所又圆心角为 90。，圆P截x轴所得弦长为 三r,故r2 又圆P截y轴所得弦长为2,所以有r2=a2+1,从而有2b2a2=1又点

43、P (a, b)到直线x2y=0距离为d= 1a_ ,5所以 5d2= |a2b|2= a2+ 4b2 4ab >a2+ 4b2 2 (a2 + b2) = 2b2 a2= 1当且仅当a=b时上式等号成立，此时 5d2=1,从而d取得最小值，2b2,a b由此有 c c 222b a于是所求圆的方程为(a解方程得1bx 1) 2+(y 1)1或12= 2或1由于 r2=2b2,知 r= J2 ,113. (2002 文，16)圆 x2+y2- 2x2y+1 =0 上的动点.答案：2(x+ 1) 2+(y+ 1) 2 = 2Q到直线3x + 4y + 8 = 0距离的最小值为解析：圆心到直

44、线的距离 d= 134-8|=3：动点Q到直线距离的最小值为 d-r=3-1 = 25经过两已知圆的交点的圆系及应用在高中数学第二册(上)第82页有这样一道题:22求经过两圆x y6x 4 022和x y 6y 28 0的交点，并且圆心在直线方法一：先求出两已知圆交点 A 1,3 , A2 半径r,于是可得所求圆方程。方法二：先求出两已知圆交点 A1 1,3 , A240上的圆的方程。”同学们普遍使用下面两种方法求解:6,6,2 ,再设圆心坐标为B(b 4,b),根据A1BA,B r ,可求出圆心坐标及再设所求圆的方程为：x2 y2 Dx Ey F 0,其圆心为, 1 ,代入x y 40 ,再

45、将Ai,A2两点坐标代入所设圆的方程，可得三个关于 D,E,F的三元一次方程组，求出 D,E,F的值，这样便可得所求圆的方程。但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解，可以更加方便。弦长例例题】已知直线l : x+2y-2=0与圆C : x2+y2=2相交于A、B两点，求弦长 AB.【思考与分析】一条直线和圆相交，直线被圆所截得部分的长称为弦长.下面我们将采用两种方法来求出弦长AB.解法一：设A (x1，y1)、B (x2, y2),则A、B坐标即方程组的解，从方程组中消去x可得：5y2-8y+2=0,又 A、B 在直线 l : x+2y-2=0 上，即 xi+2yi-2=0, x2

46、+2y2-2=0, A解法二：作 CMLAB于M , M为AB中点，在 RtACMA中，I AM I = I AB I , I CA I =, I CM I为原点到直线l : x+2y-2=0的距离， 即 I CM I =,所以 |/E |二2|HM |-CH M 兄丫冬二堂苧【小结】 解法一给出了已知一条直线与一条曲线相交于A、B两点，求I AB I的一般办法，设已知直线为 l ： y=kx+b,与已知曲线C的交点为 A (xi, yi)、B (x2, y2),则有 yi=kx i+b, y2=kx2+b ,即 yi-y2=k (xi-x2),AB=7丘 1/)"卜可岑Lt2y =

47、711$.同理可得m M R I = V可A = y%（ai.）4G力8这两个公式一般称为直线与曲线相交所得线段长公式，显然这个公式只与已知直线的斜率k及交点的坐标(xi, yi)、(x2, y2)有关，而与曲线C本身是什么曲线无关，因此这个公式在以后的学习中会得到普遍应用解法二针对圆本身的特点给出了简单的解法，由于解析几何本身解决的是几何图形的问题，因此对于图形本身的特点给予充分的挖掘和 运用(例如凡有关圆的弦的问题，应该注意弦心距)往往会找到解题的捷径 圆的方程例析.求圆心坐标和半径【例U 求下列各圆的圆心坐标和半径：(1) x2+y2-x=0; (2) x2+y2+2ax=0 (a，0;

48、 (3) x2+y2+2ayi=0.【思考与分析】我们先配方得标准方程，然后写出圆心坐标及半径.解：(i)配方:圆心为半径为r=.(2)配方得(x+a) 2+y2=a2,圆心为(-a, 0),半径为r=(注意：这里字母 a不知道正负，而半径为正值，所以要加绝对值)(3)配方得 x2+ (y+a) 2=i+a2,圆心为(0, -a),半径为r=【拓展】 讨论方程x2+y2+2ay+i=0 (aG R)表示曲线的形状.解：配方得 x2+ (y+a) 2=a2-i,当a<-i或a>i时，此方程表示的曲线是圆心为(0, -a),半径为r=的圆；当a=当时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为(

49、0, -a);当-i<a<i时，此方程不表示任何曲线.2 .求圆的标准方程【例2】 已知一个圆经过两点 A (2, 3)和B (2, 5),且圆心在直线l: x2y3=0上，求此圆的方程.【思考与分析】求圆的方程，需要确定圆心和半径，我们可以先设定圆心的坐标，再利用它到 A、B两点的距离相等来确定，从而求得圆的方程.解： 设点C为圆心，丁 点C在直线l: x 2y3 = 0上，可设点C的坐标为(2a+3, a).又;该圆经过A、B两点，：|CA|=|CB|.解彳导a= 2,圆心坐标为C ( i, 2),半径r =.故所求圆的方程为(x+i) 2+ (y+2) 2=i0.3 .求圆的

50、一般方程【例3】A ABC的三个顶点坐标分别为 A ( i, 5)、B (2, 2)、C (5, 5),求其外接圆的方程.【思考与分析】 本题与圆心坐标和半径没有关系，我们选用圆的一般式方程即可.三角形的三个顶点都在其外接圆上，所以可以联立方程组，从而求得圆的方程.解：设所求圆的方程为x2+y2 + Dx + Ey+F=0,由题意得方程组解彳1 D = 4, E= 2, F=-20.A ABC 的外接圆方程为 x2 + y2- 4x-2y-20=0.【小结】 通过这部分知识的学习，我们要掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，从圆的标准方程熟练地 求出它的圆心和半径；掌握

51、圆的一般方程及圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径 如何确定圆的方程已知两点Pi (4, 9)、P2 (6, 3),求以P1P2为直径的圆的方程.【思考与分析】 根据已知条件，我们需要求出圆的圆心位置，又由点PiP2的坐标已知，且 PiP2为所求圆的直径，所以圆的半径很容易求出，这是常规的解法，如下面解法i所示，另外还有一些其它的解法，我们大家一起来欣赏：解法i:设圆心为C (a, b)、半径为r.由中点坐标公式，得 a= =5, b=6.C (5, 6),再由两点间距离公式，得 所求的圆的方程为(x5) 2十(y-6) 2= 10.解法2:设P (x, V)是圆上任意一点，且圆的直径的两端点为P1 (4, 9)、P2 (6, 3), 圆的方程为(x-4) (x-