2017年全国高考理科数学试题及答案-全国1卷

1、绝密启用前AP1, P3B. P1,P4C.P2, P3D. P2, P42017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题 卡右上角“条形码粘贴处”。2 .作答选择题时，选出每小题答案后， 用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答 案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能 答在试卷上。3 .非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

2、位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4 .考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的。1 .已知集合 A=x|x<1, B=x|3x<1,则A. ApB =x|x ：二0B. AljB =RC. AUB =x|x 1D. AB =-2 .如图，正方形 ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是1二. 4

3、8n43 .设有下面四个命题P1 :若复数z满足1 w R ,则zw R ;zP2：若复数z满足z2w R ,则zW R;P4：若复数ze R ,则2w R .P3：若复数z1,z2满足中2亡R，则乙=22 ；其中的真命题为4 .记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24, S6=48,则 an的公差为A. 1B. 2C. 45.函数f(x)在(,依)单调递减，且为奇函数.若D. 8f (1) = _1,则满足1w f(x-2) <1的x的取值范围是A -2,2B. -1,1C 0,46 . (1+12)(1+x)6展开式中x2的系数为 xA 15B. 20C. 30D. 1,3

4、D. 357 .某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A 10B. 12C. 14D. 168.右面程序框图是为了求出满足 3n -2n >1000的最小偶 数n ,那么在 O和u 两个空白框中，可以分别填入A人1000和口=门十1B.人1000和口=门十2C A <1000 n = n+1D.人£1000和门=门+22 二9-已知曲线 C1 : y =cosx,C2: y =sin(2x +),则下 3面结论正确的是A.把G上各点的横坐标伸长到

5、原来的兀*2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 一个6单位长度，得到曲线C2B.把Ci上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移花12个单位长度，得到曲线 C2C.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个 26单位长度，得到曲线C2_ ,一1 、 ，一一一一、. 此D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的一倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移一212个单位长度，得到曲线 C2210 .已知F为抛物线C : y =4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线li,l2,直线li与C交 于A、B两点，直线12与C交于D、E两点，则|AB+| D

6、E的最小值为A 16B. 14C. 12D. 1011 .设xyz为正数，且2x =3y =5z,贝UA. 2x ： 3y ： 5zB. 5z ： 2x ： 3yC. 3y ： 5z ： 2xD. 3y ： 2x :二 5z12 .几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了 “解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16,，其中第一项是2°,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是 20,21,22,依此类推。求满足

7、如下条 件的最小整数N : N A100且该数列的前N项和为2的整数哥。那么该款软件的激活码是A 440B, 330C. 220D. 110二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。13 .已知向量 a, b 的夹角为 60° , |a|=2, | b|=1，则 | a +2 b |=.x 2y -114.设x,y满足约束条件2x + y之一1,则z = 3x2y的最小值为.x - y < 0x2 y215. 已知双曲线 C :二%=1(a >0,b >0)的右顶点为 A以A为圆心，b为半径做圆A, a b圆A与双曲线 C的一条渐近线交于 M N两点。若/M

8、AN =60° ,则C的离心率为O16. 如图，圆形纸片的圆心为Q半彳仝为5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC勺中心为 Q DE F为圆O上的点， DBC AEC/A 4FAB分别是以BC CA AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC CA AB为折痕折起 DBC EC/A FAEB使得 D E、F重合，得到三棱锥。当 ABCW边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。a217. （1

9、2分） ABC勺内角 A B, C的对边分别为 a, b, c,已知 ABC勺面积为 3sin A（1）求 sin Bsin C;（2）若 6cos BcosC =1,a=3,求 ABC勺周长.18. （12 分）如图，在四棱锥 P-ABC珅，AB/CD,且. BAP =. CDP =90”（1）证明：平面 PABL平面PAD（2）若 PA=PD=AB=DC NAPD=90,，求二面角 A-PBC的余弦值.19. （12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺

10、寸服从正态分布N（N,。2）.（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（N-3仃，卜+3。）之外的零件数，求 P（X之1）及X的数学期望；（2） 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（R-»,以+跛）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.（i ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ii）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.951 16经计算得x xi =9.9

11、716 i4sit""1162_2 2(E x2 -16x2)2 之 0.212,16其中Xi为抽取的第i个零件的尺寸,1,2,116.用样本平均数X作为N的估计值?,用样本标准差s作为仃的估计值W,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(耳3夕,1？ + 3c?)之外的数据，用剩下的数据估计R和仃(精确到0.01).附：若随机变量 Z服从正态分布 N(N,。2),则P(N3仃<Z <N + 3cr)=0.997 4,0.997 416 =0.959 2, J0.008 % 0.09 .20. (12 分)已知椭圆 C：0+ 4 = 1(a>b

12、>0),四点 R (1,1 ), P2 (0,1 ), R (T, ), P4 (1, a b2)中恰有三点在椭圆C上.2(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.21. (12 分)已知函数f (x)二 ae2x (a -2)ex - x(1)讨论f (X)的单调性;(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第题计分。22.选彳44:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为卜=3coS"

13、;( 0为参数)，直线l的参数方y =sin n,(1)当a=1时，求不等式f (x) >g(x)的解集；(2)若不等式f (x) >g (x)的解集包含-1, 1,求a的取值范围2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的。1. A2. B 3. B 4. C 5. D 6. C7. B8. D 9. D10. A 11. D 12. A二、填空题:本题共 4小题，每小题5分，共20分。13. 2,314. -515.2.316. 4715cm31721题为必考题,三、解答题

14、：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。2a17. （12分）ABC勺内角A, B, C的对边分别为 a, b, c,已知 ABC勺面积为 a一 3sin A11）求 sin Bsin C;（2）若 6cosBcosC=1, a=3,求 ABC勺周长.解：（1）1 aa2._由题设得 一 bcsinA =,即bc = 8 3sin A由余弦定理得 b2 +c2 -bc =9,即（b + c）2 3bc = 9 ,得 b+c =底故AABC的周长为3+V3318. （12 分）解:1a由题

15、设得一acsin B =,即csin B =2 3sin A23sin A一 1sin A由正弦定理得1sinCsinB ="snA23sin A2故sin BsinC =-。31即 cos（B C）-由题设及（1）得 cosBcosC -sin Bsin C =2 二二所以B +C =，故A=一 33(1)由已知 /BAP =/CDP =90',得 AB _L AP , CD _L PD由于AB/CD，故AB_LPD ,从而AB_L平面PAD又AB u平面PAB ,所以平面PAB _L平面PAD(2)在平面PAD内作PF _L AD ,垂足为F由(1)可知，AB _L平面

16、PAD，故 AB _L PF ,可彳导PF，平面ABCD以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F -xyz由(1)及已知可得 A(-2,0,0), P(0,0, -2), B(-2,1,0), C(-2 ,1,0)2222,CB'=(',' 2,0,0), PA =所以PC =(-/2 1,0, 2-), AB =(0,1,0)设n=(x, y, z)是平面PCB的法向量，则5n CB = 022 n即一万x yz = 0,y =0可取 n =(0, -1,-、2)设m=(x, y, z)是平面PAB的法向量，则m PA

17、= 0,2 x - -2 Z = 0(T ，即 2 x 2,m AB =0y =0可取 m = (1,0,1)贝U cos : n, m =n m _ 3|n|m|3.3所以二面角A-PB-C的余弦值为-X3319.(12分)解:(1)抽取的一个零件的尺寸在伍-3仃，口+3仃)之内的概率为0.9974 ,从而零件的尺寸在(N 3。，N +3。)之外的概率为 0.0026，故 X B(16,0.0026),因此 P(X _1)=1-P(X =0)= 1 -0.997416 ： 0.0408 X的数学期望为 EX = 16父0.0026= 0.0416(2) (i )如果生产状态正常，一个零件尺寸

18、在(N -3o,N +3。)之外的概率只有 0.0026 ,一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(N-35卜+3仃)之外的零件的概率只有 0.0408 ,发生的概率很小。因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在 这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上 述监控生产过程的方法是合理的。(ii)由x=9.97,s上0.212,得N的估计值为博=9.97,仃的估计值为出= 0.212, 由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(F? - 3夕，田+ 3夕)之外，因此需对当天的生产过程进行检查。剔除(-3, ? +3夕)之外的数据9.22 ,剩下数据的平均数为1(16

19、9.97-9.22)=10.02 15因此N的估计值为10.0216一 222、Xi =16 0.21216 9.97 ： 1591.134i 1剔除(口 -3夕,J? +3夕)之外的数据9.22 ,剩下数据的样本方差为-(1591.134-9.222 -15 10.022) : 0.00815因此灯的估计值为J0.008定0.0920. (12 分)解:(1)由于P3,P4两点关于y轴对称，故由题设知 C经过P3,P4两点一 ,1113一一又由=+方> =知，C不经过点所以点P2在C上a 故C的方程为人十y2 =1 (2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为 匕*2如果l与x轴垂直，设

20、l:x=t,由题设知t00,且|t|<2 ,可得A,B的坐标分别为 b2 a2 4b2因此a2 4b2解得a2 =4=1 b2=14 -t24 -t2储丁心-)则 k1k2 =4 -t2 一2、. 4 -t2 2八=-1 ,得t = 2 ,不符合题设2t2t2x 2从而可设 l :y=kx+m(m01),将 y=kx + m 代入 一 + y = 1 得 4, 2,、 22-(4k1)x 8kmx 4m -4 = 0由题设可知：=16(4k2 - m2 1) . 0设 A(xh yi), Bd, y2),则 x1 +x?=8 km2, x1x2 =24k 1 4k 1kiXiX2kx1m

21、 -1kx2m -1=十x1又22 kxix2 (m -1)(x1 x2)x1x2由题设k1 +k2 = -1 ,故(2k 1)x1x2 (m -1)(x1 x2) = 0即(2k 1)-8km2- (m -1) 2 =04k2 14k2 1m "1 解得k = -m2当且仅当m >1时， >0,于所以l过定点(2, 1)21. (12 分)解:(1) f(x)的定义域为(，)，f'(x)=2ae2x(a -2)ex-1 =(aex-1)(2ex1)(i)若aW0,则f'(x) <0,所以f(x)在(血，收)单调递减 (ii )若 a a 0 ,则由

22、 f '(x) = 0 的 x = Tn a当 x w (-00, In a)时，f '(x) < 0 ； 当 x w ( In a,)时，f '(x) > 0所以f(x)在(_oo,n a)单调递减，在(n a,依c)单调递增。(2) (i)若a M0,由(1)知，f(x)至多有一个零点(ii )若a>0,由(1)知，当x = lna时，f(x)取得最小值，最小值为,1f (-ln a) =1 ln aa 当a=1时，由于f(lna)=0,故f(x)只有一个零点；1一 当 aw(1,+%)时，由于 1+lna >0,即 f (-ln a) >0 ,故 f(x)没有零 a八、,1 当 aw(0,1)时，1+lna<0,即 f(ln a)<0又a又 f (2)=ae、+(a2把2+2>23二+2>0 ,故 f (x)在(-«,lna)有一个零点。3设正整数n0满足n0 >ln(-1),a则 f (n0)= en0 (aen0- a-2) - n0en0-n0-2n0- n00，一 .3,一由于ln(1) aln a ,因此f (x)在(ln a,十比)有一个零点 a综上，a的取值范围为(0,1)22 .解：(1)曲线C的普通方程