曲线的凸性及拐点函数作图

1、教案（首页）授课日期授课班级课 题4.3曲线的凸性及拐点函数作图计划 学时2课时教学目标1.熟练掌握函数拐点以及凹凸区间的定义；2.掌握函数凹凸性的判定法及拐点定理；3.熟练掌握函数草图的做法并了解一般的作图步骤；教学重点 解决措施教学重点：函数凹凸性的判定法及拐点定理 解决措施：讲授、演示教学难点 解决措施教学难点：函数草图的做法解决措施：讲授、演示教学设计 教学手段 教学法多媒体教学、板书演示板书设计 授课提纲一、复习二、新授4.3曲线的凸性及拐点函数作图（一）函数拐点以及凹凸区间的定义（二）函数凹凸性的判定法及拐点定理（三）函数草图的做法并了解一般的作图步骤三、练习四、小结五、作业Wor

2、d资料教学过程设计时间分配教师活动学生活动【复习提问】5分钟5分钟提问复习1 .柯西中值定理；2 .罗必塔法则及其应用；3 .应用罗必塔法则需要注意的问题.【新课引入】I .凸性及拐点在第一章我们讨论过函数的作图问题。但能使用的手段不多。本章第T用导数的正负判断函数的增减性及极值点，无疑是增加了作图的有效手段，但仅此有时不能掌握图形AA的形状。图4.13中中弧AB与弧CD都是上升的，但上AA升的情况不同。弧 ab是向上凸而上升，弧 CD是可下 凸而上升。因此有必要区分图形是向上凸还是对下凹。回答教学过程设计时间分配教师活动学生活动a, b是凹的，反之，若f x o,x a,b则曲线y f x交

3、代在a,b事凸的。注意定理二（拐点的必要条件）若点Xo, f Xo是曲线占八、y f x的拐点。且Xo处一阶导数存在。则f Xoo o定理三若f Xoo且f X在Xo两侧变号,则点Xo , f Xo是曲线的拐点。例1求曲线y ln 1X2的拐点。并判断曲线在什么区间上是凸的，在什么区间上是凹的？解函数的定义域是,。2x y .2 ,1 X21 X2y22 21 X令 y o,得x1, x1 0讨论如下：当X 1时，yo,曲线是凸的，当1 X 1时，yo,曲线是凹的，当1 X时，yo曲线是凸的。由止匕知拐点为教学过程设计时间分配教师活动学生活动1,ln2及1,ln2.,1,1, 为区间，1,1为

4、凹区问。，X2 1 , L，一例2讨论曲线y 的凸凹及拐点。，X解算出y 1工y22 ，X2 y F ，X函数的定义域为,00,讨论如下：当x<0时，y 0 ,曲线是凸的，当想x>时，y0,曲线是凸的，因为x=0不在定义域，所以曲线无拐点。H .函数作图作函数的图形，大致可以分为以下步骤：(1)初步研究：如讨论定义域，对称性，期性等等；(2)讨论增减区间 极值点及极值；(3)讨论凹凸区间及拐点；(4)讨论一些特殊情形，如有点%使 lim fx ，及 lim fx A.若 lim f xX X0xx x，说明曲线匕直线x X0无限接近(如图4.15),教学过程设计时间分配教师活动学生

5、活动例3作函数f x 的图形.1 x2解函数的定义域为,是奇函数，所以图形对称于原点.1 X2y2 2，1 X2X 1是驻点，它把定义域分为二段.图形变化见卜表。)<例题选解X（,1）x=-1(-1,1)X=1(1,y-0+0-图形极小值点/极大值点、，一，一1 一 ,，一1极小值为f（ 1）1,极大值为f（1）3。讨论渐近线：教学过程设计时间分配教师活动学生活动y+0-+图形/极大值占八、极大值为e01y 2(2x21)e x2“一1令y 0,得x(-1叱貌-1(飞,2)1 杀&+0一0图形凹拐点凸拐点拐点为（樵，° '),(左,_,2| lim eE=0,有

6、水平渐近线N = d根据以上讨论的情况，可大致地作出图形（图 4.18）。教师时间教学过程设计分配 活动学生活动lini Ln (x2 - 1) =- Um In (工' -i)=8. lim In (V - 1) =+ oo所以有垂直渐近线工=一1（左侧），工=1 （右侧）当“土色时，卜二。0介绍 一下 渐进 线的 由来。 利用 几直 观的 思想。补充说明注意占八、教学过程设计时间分配教师活动学生活动【课堂小结】1 .函数的凹凸性及其判别法，拐点及其求法；2 .曲线的渐近线；3 .函数图形的作法.【作业布置】课练习：概率 论中 的正 态分 布图形1、求曲线y = 3-4/+l的拐点及凹凸区间。2、求曲线Xy X的拐点及凹凸区间。y = x3、作41 4"不的图形.教学过程设计时间分配教师活动学生活动4、作5、作课外件试确定 点，且/【教学11y -1+/的图形。V = ln（l +，）的图形工业：个x的六次多项式 p （x）,已和曲线V=切x轴于原 在拐点（-1, 1）,在（1