计数原理综合习题

1、选修 2-3 第一章计数原理单元质量检测时间：120分钟总分：150分第I卷(选择题，共60分)一、选择题 (每小题 5分，共 60分)1小王打算用 70元购买面值分别为 20元和 30元的两种 IC 电话卡 若他至少买一张，则不同的买法一共有()A 7 种 B 8 种 C 6 种 D 9 种2 设某班有男生30 人， 女生 24 人， 现要从中选出男、 女生各一名代表班级参加比赛，则不同的选法种数是()A 360 B 480 C 720D 2403 .设 P= 1 + 5(x+1) + 10(x+1)2+10(x+1)3+5(x+1)4 + (x+1)5,贝UP 等于 ()A x5B (x

2、2) 5C (x 1) 5 D (x 1)55 的展开式中x2y3 的系数是()A 20 B 5 C 5D 205 20 个不同的小球平均分装在10 个格子中，现从中拿出 5 个球，要求没有两个球取自同一个格子中，则不同的拿法一共有()A. C50种B . &种 C . C50C2种D. C502 5种6 .在(1*)”=20+2及+22*2 + 3+2门*“中，若 2a2+an-5=0,则 n 的值是()A 7 B 8 C 9 D 107 7 人站成一排照相，甲站在正中间，乙、丙与甲相邻且站在甲的两边的排法共有()A 120 种 B 240 种 C 48 种 D 24 种8 .(也+3/3)

3、100的展开式中，无理项的个数是()A. 83 B . 84 C . 85 D . 869 .某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类 节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A. 72 B . 120 C . 144D. 16810. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A. 144 B . 120 C . 72 D . 2411 .在(1+x)6(1+y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(簿n),则f(3,0)+ f(2,1) +f(1,2) +f(0,3)=()A. 45 B . 60 C . 120 D . 21012 .设m为正

4、整数，(x + y)2m展开式的二项式系数的最大值为 a, (x + y)2展开式的二项式系数的最大值为 b.若13a=7b,则m=()A. 5 B . 6 C .7 D . 8第n卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13 .某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从 中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有f中(用数字作答).14 .(6+a)6的展开式中含 x2项的系数为 60,则实数a =15 .在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将 这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 中(用 数字作答). Xc16 .设a

5、?0, n是大于1的自然数，1+的展开式为a0+aix+ a2X2 + anxn.若点A(i , a)( i =0,1,2)的位置如图所示,则a=三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共 70 分)17 . (10分)4位学生与2位教师坐在一起合影留念，根据下列条 件，求各有多少种不同的坐法：(1)教师必须坐在中间；(2)教师不能坐在两端，但要坐在一起；(3)教师不能坐在两端，且不能相邻.18 . (12分)从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使 它的和大于100,则不同的取法有多少种19 .(12分)已知2版i+n, i是虚数单位，x0, n N.(1)如果展开式的倒

6、数第三项的系数是180,求n的值；(2)对(1)中的n,求展开式中的系数为正实数的项.20 .(12分)若x2 1n的展开式中含x的项为第6项，设(13x)n x= a0 + ax+a2X2+ anxn, 求 a + a2+ a的值.21 .(12分)已知(a2 + 1)n的展开式中的各项系数之和等于 果2+t5的展开式的常数项，而(a2+1)n的展开式的系数最大的项 等于54,求a的值.22 .(12分)用0,1,2,3,4,5这六个数字:(1)可组成多少个无重复数字的自然数(2)可组成多少个无重复数字的四位偶数(3)组成无重复数字的四位数中比 4 023大的数有多少答案1. C要完成“至少

7、买一张IC电话卡”这件事，可分三类：第一 类是买1张IC卡；第二类是买2张IC卡；第三类是买3张IC卡.而 每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事.买1张IC卡 有2种方法，买2张IC卡有3种方法，买3张IC卡有1种方法.不 同的买法共有2+3+1=6(种).2. C由分步乘法计数原理，得 N= 30X24= 720(种).3. B P= 1 +(x+1) 5 = (x + 2)5,故选 B.r 1 一r r 1 4. A 由已知，得 Tr+1=G2x” (2y) =Q2” - ( - 2) x5 ryr(0r0,所以an 5=-Cn,所以2d= d且n为偶数，将各选项 代入验证知n

8、 = 8,故选B.7. C由题意知，甲的位置确定，而乙、丙的位置有2种排法，再排其他4人，有A4种不同的排法，故不同的排法总数为A4- 2 =48(种).100 r8. B 先求展开式中的有理项.: 1 + 1 = Cr00( y2) 100 r - ( yJ3) f = Cr00 , 2 .要使展开式中的项为有理项，r必为6的倍数.又0wrwi00,且 r 6 N, .r的取值为0,6,12 ,，96,它构成了以0为首项，6为公差, 96为末项的等差数列，设它有 n项，则96= 6(n-1). 二 n= 17. 展开式中共有101项，其中有17项是有理项， 无理项有84项.9. B解决该问题

9、分为两类：第一类分两步，先排歌舞类6,然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空，故不同排法有 A 2A3 = 72.第二类也分两步，先排歌舞类 A 然后将剩余3个节目放 入中间两空排法有 CA2A2,故不同的排法有 A3AA2CU48,故共有120 种不同排法，故选B.10. D插空法.在已排好的三把椅子产生的4个空当中选出3个插入3人即可.故排法种数为A4=24.故选D.11. C因为(1 +x)6展开式的通项公式为Tr+1 = C6xr, (1 +y)4展开 式的通项公式为Th+ 1 = Cyh,所以(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为 CCxryh.所以 f(n n)=CC

10、n.所以 f(3,0) +f (2,1) +f(1,2) +f(0,3) = C3 + dC4 + C1C4+C4= 20+ 60+ 36+ 4=120.故选 C.12. B由题意可知，a= Cm, b=*1,又因为13a= 7b,所以13 2m !2m 1 !13 2mu 1即7= 彳.解得nn= 6.故选B. 7 rirr 113. 30解析：方法1：可分以下两种情况：（1）A类选修课选1门，B类 选修课选2门，有C3G4种不同的选法；（2）A类选修课选2门，B类选 修课选1门，有G3G4种不同的选法.所以不同的选法共有 G3d + G2d= 18+12 = 30（种）.方法 2: G3C

11、3 G3=30（种）.14. 2解析：通项1+1=点（由），=以83 令 3 ； = 2,得 r = 2.故 a2G2= 60,解得 a= 士 2.15. 60解析：不同的获奖情况分为两种，一是一人获两张奖券一人获一 张奖券，共有C2A2=36（种）；二是有三人各获得一张奖券，共有a3=24（种）.因此不同的获奖情况有36+24= 60（种）.11 n 解析：由题息得a1 = a，Cn= a=3,所以n = 3a；n 1 2a2=4,所以 n2 n=8a2.将 n = 3a 代入 n2 n= 8a2得 9a2 3a=8a2,即a23a=0,解得a=3或a=0（舍去）.所以a=3.17.解：（1

12、）分步完成：教师先坐中间，有A2种方法，学生再坐其 余位置，有a4种方法.根据分步乘法计数原理，不同的坐法共有 A A： = 48（种）.2 2） 将 2 名教师看作一个元素，问题变为5 个元素排列的问题先将教师排好，有a3A 2种方法，再排学生，有 A4种方法，故不 同的坐法共有A3 A2 a4= 144（种）.（3）插空法：先排学生，有 A4种方法，教师从4名学生之间的3 个空位选2个进行排列，有 A2种方法，故不同的坐法共有 A A2= 144（种） 18 .解：若从 1,2,3 ,97,98,99,100 中取出 1,有 1+100100, 有 1 种取法；若取出 2，有 2 1001

13、00,2 99100，有2种取法；取出3,有3种取法；若取出 50,有 50+ 51100,50 + 52100,，50+100100,有 50 种取法；所以取出数字1至50,共有不同的取法NI = 1+2+3+ - + 50=1 275（种）若取出 51,有 51 + 52100,51 +53100,，51 + 100100,有 49 种取法；若取出52,则有48种取法；若取出99,只有1种取法.所以取出数字51至100（N中取过的不再取），有不同取法N = 49 + 48+ 2+ 1 = 1 225（种）.故总的取法共有Nl= N1 + N2=2 500（种）.19 .解：（1）由已知，得

14、 Cn 2（2i） 2=180,即 4a=180,化简得 n n 90= 0,又 n 6 Nk,解得 n= 10.(2) 2也1+310展开式的通项为 xTr i=Cro(2 /xi) 10 rx 2r = G0(2i) 10 rx10 2 5r,;展开式中的系数为正实数，且r 6 0,1,2 ,，10,.r的取值为10,6,2 ,故所求的项为T11 =x 2, 丁7= 3 360x 10, 丁3= 11 520.20 .解：T6=cn(x2)n 5 -5=-cnx2n 15, x令 2n15=1,贝U n=8,令 x = 1,则 a。+ a + + an= (- 2)8 = 256,令 x = 0,则 a0= 1,以 a + a2+ an= 255.21 .解：156x2 + x 5的展开式的通项是工+1=以拳25 r Wr = 165 rr20-5rC5 x2,令 20 5r = 0,解得 r=4,16故常数项T5 = GXg=16,又(a2 + 1)n的展开式的各项系数之和等于2n,由题意得2n=16,解得n = 4,由二项式系数的性质可知，(a2+1)4的展开式中系数最大的项是 中间项，即第三项,由da4= 54,解得a= 士小.22 解： （1） 组成