北京模拟压轴题二

1、1、(朝阳区2015届高三上学期期末)若有穷数列a1, a2, a3丄,am ( m是正整数)满足条件:aiam i i(i 1,2,3,L ,m)，则称其为“对称数列”.例如，1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”(I)若bn是25项的“对称数列”，且03,04,05丄,b25是首项为1,公比为2的等比数列.bn的所有项和S ；(D)若Cn是50项的“对称数列”，且C26, C27, C28,L , C50是首项为1,公差为2的等差数列.求 cn的前 n 项和 Sn, 1 n 50, n N.1212(I)依题意，b13 1, b14 2 ,，b25 b13 22 .则

2、b1b25 212, b2 b24211,，02 b142.12 1 12212 1(丄)则 S 2 bb2.b12121212143 .6分1 -2(n)依题意，C50 C26 24 2 49，因为Cn是50项的“对称数列”，所以C1C5049, C2 C49 47,，C25 C26 1.所以当 1 n 25时，Snn2 50n ；1 当 26 n 50时，Sn S25 (n 25) (n 25)(n 26) 2,2Sn n250n1250.2.13分，宀 tn 50n1 n 25, n N ,综上，Sn2n250n 125026 n 50, nN2、(东城区示范校2015届高三上学期综合能

3、力测试)给定正奇数 n n 5，数列 ana1 , a2 , ., an 是 1 ，2 ，n的一个排列，定义 E ( a1, a2 ,an )|a111| a22|. |an n|为数列 a. : a1, a?，a.的位差和。(l)当n 5时，求数列an : 1, 3, 4, 2, 5的位差和;（II ）若位差和E （ ai, a2，a.） =4，求满足条件的数列： a , a?，的个数;、n 1（III ）若位差和Ea1,a2,.,an，求满足条件的数列an :a1,a2,，an的个数。2解：（I） E （1, 3, 4, 2, 5） =|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-

4、5|=4 ; （3 分）（II）若数列an : ai，a2，a“的位差和E （ ai，a?，a.） =4，有如下两种情况：情况一：当 ai i 1, ai i i , aj j 1 , aj i j，且 ai, ai i aj,aji，其他项ak k （其中 k i,（5分）情况二：当ai, ai i,（其中 k i, i 1,综上，满足条件的数列n 2 n 33 n2例如：n 5时，n q n n1 1, j, j 1 ）时，有 n 3 n 42 1种可能;2ai 2分别等于i 2 , i 1, i或i 1, i 2, i或i 2 , i 1,其他项ak ki 2 ）时，有3 n 2种可能；

5、（7分）an :印，a2,，an的个数为2 n 2 n 3。（ 8 分）2情况一：形如 2, 1, 4, 3, 5，共有 2+1=3 种：2, 1, 4, 3, 5; 2, 1, 3, 5, 4; 1, 3, 2, 5,4；情况二：形如 3, 2, 1, 4, 5,共有 5-2=3 种：3, 2, 1 , 4 , 5; 1 , 4 , 3 , 2 , 5; 1 , 2 , 5 , 4 , 3;形如 2 , 3 , 1, 4 , 5,共有 5-2=3 种：2 , 3 , 1 , 4 , 5; 1, 3 , 4 , 2 , 5; 1, 2 , 4 , 5 , 3;形如 3 , 1 , 2 , 4

6、, 5,共有 5-2=3 种：3 , 1 , 2 , 4 , 5; 1, 4 , 2 , 3 , 5; 1, 2 , 5 , 3 , 4。（III ）将|印11 |a22| . |an n |去绝对值符号后，所得结果为112233n n的形式，其中恰好有n个数前面为减号,这表明E ai , a2 , ann|ai i|i 12 n n 1n 3 n 1n 1c n 12 122 222cn 1,n 3n3 ,n212 nn 1 -1（10 分）2222此不等式成立是因为前面为减号的n个数最小为：2个1, 2个2,，2个_n_1和1个_n一1。(112 2上面的讨论表明,分)题中所求的数列 3n

7、 : 31, 32, 3n是使得E( 31, 32, 3n)最大的数列,这样的数列在n2k 1 时,要求从1, 2,，n中任选一个数作为 3k 1 ,将剩余数中较大的 k个数的排列作为a1,32，3k的对应值，较小的k个数的排列作为3k 2,3k 3 ,，32k 1的对应值，于是所求数列的个数为2k21 k!。综上，满足条件的数列的个数为2（14 分）例如：n 5时,E（ 31,a2, a3, a4 ,a5）5|3i i |。i 112每组之差5 12组数此不等式成立是因为前面为减号的5个数最小为：2个1, 2个2和1个3。若 E（印，a2, a3, a4, a5）=12，n 2k 15，此时

8、k 2时，要求从1，2，3，4，5中任选一个数作为a3，将剩余数中较大的2个数的排列作为31，a2的对应值，较小的 2个数的排列作为34, 35的对应值，于是所求数列的个数为2! 220。4, 5, 1 , 2, 3； 4, 5, 1, 3, 2；5,4,1，2,3； 5,1,3,2；4 , 5 , 2 , 1 , 3； 4 , 5 , 2 , 3 , 1 ；5,4,2, 1,3； 5,2,3,1；4 , 5 , 3 , 1 , 2； 4 , 5 , 3 , 2 , 1 ； 5 , 4 , 3 , 1 , 2； 5 , 4 , 3 , 2 , 1；3, 5, 4, 1, 2; 3, 5, 4,

9、 2, 1 ; 5, 3, 4, 1, 2; 5, 3, 4, 2, 1;3, 4, 5, 1, 2; 3, 4, 5, 2, 1 ; 4, 3, 5, 1, 2; 4, 3, 5, 2, 1。题目背景：假设现在有 n种物品，已经按照某种标准排列，并依次确定编号为1, 2,，n，鉴别师事先不知道物品的标准排列编号，而是根据自己的判断，对这n种物品进行排列依次编号为a1, a2, an ,其中a?, a.是1, 2，n的一个排列，那么可以用数列a.:a?, an的位差和E ( a1, a2, a.) =6 11 a 2| a. n |,来评判鉴别师的能力。当E ( a1, a2, , an)越小

10、，说明鉴别师能力越强；反之越大，说明鉴别师能力越弱；当E ( a1, a2, an) =0，说明鉴别师给出的排列编号与标准排列编号一致，判断完全正确；第二问，位差和E(印，a2, a.) =4时，给出数列 an : a1, a?, , a“的情况；n2 1第三问，说明位差和 E ( a1, a2, an)最大值为，且给出取得最大值时，数列an :2a1, a2, an 的情况。3 .已知数集A ®,a2丄an(0 a： Lan,n 3)具有性质P :对任意的i, j(1 i j n) , aj a, aj a,两数中至少有一个属于 A.(I)分别判断数集0,1,3与0,2,4,6是否

11、具有性质P，并说明理由；(n)证明：a1 0,且 a2 a3 . annan;2(川)证明：n=5时，an成等差数列.解(I)Q3 14,312都不在0,1,3,故0,1,3不具备性质P; 1分Q 0 00,0 22,046,066,224,246,624,440,642,660 均在集合0,2,4,6中，故0,2,4,6具有性质 P. 3(n) Qan an 2an A, a“ a“0 A, a10,Q an akan(k 2,3,4, .n)A,Q an ananSn 1anan 2ana2ana10,a2a? 832(a2a3a2a3anan 1, a3anSn (Sn Sn 1) .a

12、n)na*nanan2an 2,., an 1 a n a 2 .(anan 2 ). (an a2) an8 分由(n)知数列的项为a4-a3=a3-a2= a2-a1 即可.由(n)知 a2+a4=a5,故 a3+a4>a5,所以 a4-a3 A,Q 0 a4 as a5 as a5 a2 a5所以a4-a3= a2= a2-a1。n=5时，an成等差数列。13分4、设集合S 1,2,3,L , n (n N*,n 2) , A,B是S的两个非空子集，且满足集合A中的(出)所以,0, a5-a4, a5-a3, a5-a2, a5.显然 a4-a3=a3-a2, a5-a4=a2-a

13、i.故只要证明最大数小于集合B中的最小数，记满足条件的集合对（A,B）的个数为P.(1)求F2,P的值;（2）求巳的表达式.解.【答案】（I） p 1, P35(n)Pn(n 2) 2n 1 1【解析】试题分析：（I）根据具体数值,结合新定义，列举满足条件的数对：当n 2时，即S 1,2，此1, 当 n 3 时，即 S 1,2,3，若 A1，则 B 2，或 B 3 ,1,2，则 B3 ；所以P35C°1由定义知,A,B无共同元素，分别在两部分取相应子集：当集合A中的最大元素为“ k ”时,A的其余元素可在1,2丄，k 1中任取若干个（包含不取）,所以集合A共有C；1 C'1

14、L C：；2 k 12 种情况，此时，集合B的元素只能在k1,k 2丄，n中任取若干个（至少取1个），所以集合B共有Cn kC：k Cn kLC： k1种情况，集合对（A,B）k 1 n k共有2(2n 1 k 11) 2 2对,再求和pn （nn 101) 2 (2n 2、/2) (nn 12) 2试题解析：（1）当n 2时，即S 1,2此时A 1 ,，所以P21 ,当n3时，即S123，若 A1，则B2 或B 3 或B2,3 ；A右2或A1,2，则 B3 ;所以A5(2)当集合A中的最大兀素为“ k”时，集合A的其余兀素可在1,2丄，k1中任取若干个(包含不取)，所以集合A 共有 Ck01

15、 Ck 1C k 1Lk 1k 1Ck 12 种情况，6分此时，集合B的兀素只能在k 1,k2丄，n中任取若十个(至少取1个)，所以集合B共有亠1亠23n kn kCn kCn kCn k LCn k21种情况，所以，当集合A中的最大兀素为“ k”时，kinkn 1 k 1集合对(A, B)共有2(21)22对，当k依次取1,2,3，L，n 1时，可分别得到集合对(A，B)的个数，求和可得 Pn (n 1) 2n1(2°2122L 2n 2)(n 2) 2n 11.考点：归纳找规律5 .对于数集X 1, X1, X2, , Xn，其中0 X1 X2Xn , n 2，定义向量集Y a

16、I a (s,t),s X,t X，若对任意a1 Y，存在a2 Y，使得a1 a2 0，则称X具有 性质P .(I)判断 1,1,2是否具有性质P ；(n)若x 2，且 1,1,2,x具有性质P，求x的值；(川)若X具有性质P，求证：1 X，且当xn 1时，X1 1.答案：(I) 1,1,2具有性质P (n) 4 (川)略解析：(I) 1,1,2具有性质P.2分irir(n)选取& (x,2) , y中与a1垂直的元素必有形式1,b .所以x=2b，从而x=45分LTUULT LU(ill)证明：取 a1 (洛，为)Y 设a2 (s,t) Y 满足 a1 a2 0.由s+t为 0得s+

17、t 0，所以s、t异号.因为1是X中唯一的负数，所以 s、t中之一为 1，另一为1 ,故1 X.8分假设xk1，其中1 k n，则 0X11Xn .u选取b|(Xi,Xn)urur urY，并设 b,(p,q) Y 满足 b b2 0,即 px-qXn 0 ,则p,q异号，从而p,q之中恰有一个为110分qxn,显然矛盾;1，则 XnPX1PXn，矛盾.13分 1,X1, X2, Xn，其中 0X1X2Xn , n 2，定义向量集丫 a | a (s,t),s X,t X，若对任意 a1 Y，存在a2Y，使得4d.a?0，则称X具有所以X1 =1 .性质P .判断 1,1,2是否具有性质p ；

18、若x 2，且 1,1,2,x具有性质p，求x的值;(出)若X具有性质P，求证:1 X，且当Xn 1时,X1答案:(I) 1,1,2具有性质P (n) 4 (川)略解析:(I) 1,1,2具有性质P.ir选取a-ir(x,2) , y中与a1垂直的元素必有形式1,b所以X=2b，从而x=45分uuir(ill)证明：取 a1(x1, X-) 丫 .设a2 (s,t) 丫 满足 a1ura20.由s+t X-,0得s+t 0,所以s、t异号.因为1是X中唯一的负数，所以 s、t中之一为 1，另一为1 ,故1 X.8分假设 xk 1，其中 1 k n，则 0 x-i 1 xn.uurur iu选取

19、b (x1,xn) 丫，并设 b> (p,q) 丫 满足 b b> 0,即px1 qxn 0,则p,q异号，从而p,q之中恰有一个为 1.10分若p 1 ,则X1 qXn，显然矛盾;若 q 1，则 Xnpxi p Xn ,矛盾.13分所以Xi=1 .an7.已知数列an的首项ai a,其中a Nan 13, an3,1an 1 ,an3l,lN ,令集合*N .A x|x an, n N .(I)若a4是数列an中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项;(n)求证:1,2,3 A ；(川)当a 2014时，求集合 A中元素个数Card (A)的最大值20.解：(I) 27,9,3

20、; 8,9,3; 6,2,3.(II )若ak被3除余1,则由已知可得ak 1ak1 , ak2ak2,ak 3(ak2)；若ak被3除余2,则由已知可得ah 1<%1, ak 2丄31) , ak 31(ak1) 1 ；若ak被3除余0,则由已知可得ak 11ak,ak 31 ak2 ;33所以ak3 3ak 2，3)所以 ak ak 3 ak (ak 2) (ak3 3所以，对于数列an中的任意一项ak右ak3，则 akak 3因为akN ,所以ak ak 31 所以数列an中必存在某一项am 3(否则会与上述结论矛盾！)2,am 23,若 am 3,则 am 11,am 22 ；若

21、 am2,则 am 1 3,am2 1,若 am 1,则 am 1由递推关系易得1,2,3 A.(Ill )集合A中元素个数Card (A)的最大值为21.由已知递推关系可推得数列an满足：当am 1,2,3时，总有an an 3成立，其中n m,m 1,m 2丄下面考虑当ai a 2014时，数列可中大于3的各项：按逆序排列各项，构成的数列记为g，由(I)可得b 6或9,由(II)的证明过程可知数列bn的项满足：b, 3 0,且当bn是3的倍数时，若使bn 3 0最小，需使0 2 6 1 1山2，所以，满足bn3bn最小的数列bn中，b34或7,且b3k3bsk3 2，所以b3k 1 3&#

22、169;屮1) 1)，所以数列b3k 1是首项为4 1或7 1的公比为3的等比数列，所以 b3k1(41) 3k 1 或b3k1(71)3k 1，即b3k3k1 或b3k23k1，因为36 2014 37，所以，当a 2014时，k的最大值是6，所以a1 b18，所以集合 A重元素个数Card(A)的最大值为21.8.已知 Sn A A 盘忌L ,an)，4 0 或 1，i 1,2,L , n (n 2)，对于 U ,V Sn， d(U,V)表示U和V中对应位置的元素不同的个数.(I)令U (0,0,0,0,0)，求所有满足V S5，且d(U,V) 2的V的个数；(U)令 W(0坠43

23、6;)， 若 U,V Sn，求证：d(U ,W) d(V,W) d(U ,V)；n个 0(川)给定 U (a1,a2,a3,L a)，U Sn，若V Sn，求所有 d(U,V)之和.解：(I) C；10 ;4 分(U)证明：令 u (aa2,a3a.)，v (d,b2,b3bn) ai 0 或 1，b 0 或 1;ai0，bi0时，|ai |Ibl0labi 1ai0，bi1时，|ai |lb 11|ai bh lai1，bi0时，|ai |山l1|ai b"lai1，bi1时，|ai |lb l2|ai b门0故lail |bi | |a b |d(u,w) d(v,w) (a1

24、a2 a3+L +an) (bi b2 b3+L +bn)g| &| |a+L +| an |) g| 4| |b+ L +| bn |)(| ai bi | | a2 b21 & b3|+ L +| an bn |) d(u,v)9 分(川)解：易知Sn中共有2n个元素，分别记为Vk(k 1,2,L ,2n)V (D,b2,b3bn) bi 0的Vk共有2n 1个，bi 1的Vk共有2n1个.2nd(u,Vk)k 1n 1n 1n 1n 1n 1n 1=(2|a10| 2|a11| 2| a?0| 2| a? 1+ L +2| an0| +2| an1|)n= ng214分2

25、n n 1 d(u,Vk)= ng2法二：根据(I)知使d(u,Vk)r的Vk共有Cn个2n012nd (U, Vk) =0gCn 1gCn 2gCn L ngCnk 12nd(u,Vk) = ngC1 (n 1)gp； 1 (n 2)gCn 2 LOcC0k 12n两式相加得d(u,Vk) = nggn 1k 19.设满足以下两个条件的有穷数列 aa2, an为n (n =2, 3, 4, 阶 期待数列” a1a2a3 L an 0 ； a1a2a3Lan1.(2)若某2015阶 期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式;(3)记n阶期待数列”的前k项和为Sk(k 1,2,3丄,n)，试证:

26、Sk解：(I)数列,0,1为三阶期待数列2 23数列8,1 1 38, 8, *为四阶期待数列，(n)设该2013阶“期待数列”的公差为 d ,因为 a-a2 a3 La201302013( a-ia20i3)0,a1a 20130 ,即 a10070 ,a1008 d ,当d=0时，与期待数列的条件矛盾,当d>0时，据期待数列的条件可得a1008a1009a20131006 d 1006 1005 d 丄，即 d一 211006 1007ana1007(nn 10071007) d . n1006 1007N*且 n 2013 ,当d<0时，同理可得an-.n N*且n 2013

27、 .10061007【注】只写一种的扣一分n 的范围未写的扣一分10分(川)当k=n时，显然Sn 当k<n时，根据条件得Ska1a2L ak(ak1ak 2an)，即Ska1 a 2akak 1 akan对每个2 a*a2S.2(k 1,2,3,L ,n).ak 1ak 2 L anak 2Lan1,10正数列an的前n项和Sn满足：rSn anan 1（I）求证:（n）若数列周期;（川）若数列解：（I）14分an 2 an为定值;an是一个周期数列（即存在非零常数an是一个各项为有理数的等差数列，求证明：rSnan an 1(1),1, a1a 0，常数 rT，使 anT an恒成立）

28、，求该数列的最小正Sn.rSn 1(2) ( 1): ra n 1(n)计算 n 1,raan 1 an 2an 1 (anaa2(2)an)根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项:-an1 ar1r -a1a, r ,aaan当r 0时，奇数项和偶数项都是单调递增的,1111列的前几项：a, - ,a, -,a, -,a,-,a a a a所以当a 0且a 1时，该数列的周期是（川）因为数列an是一个有理数等差数列,r .16 r22a是有理数.设r 1640 时，a 1,an1, Sn n0时(k2，an解法二ana 1,r0,anr)(k r)16 2 8k2,3n 12,Snna1,S

29、nn(3n 5)4因为数列1,a a所以不可能是周期数列，所以r ,2r2r,3r2,当a 1时，该数列的周期是1 2 所以a a r 2（r）化简2a2ar , k均是非负整数4 4可以分解成8组，其中只有ann 或 a 2,r3, an11 已知数列，“ - <是一个有理等差数列，r3n 1h'Snn(3n 5)4竝乳.甸）都有冋-口心卜2或3，则称凡为H数列.a0时，写出数ar 20 ,3，符合要求，此512(a)a1, 2, 3, n的一个全排列若（I）写出满足 = 5的所有H数列4 ；（n）写出一个满足 瓠=羽仗=I2f4U3）的R数列血丄的通项公式；（川）在H数列二匚

30、中，记 厂、' 丨., I-.若数列；是公差为d的等差数列，求证：£ = 5或一壬.解：（I）满足条件的数列有两个:门八（）由（1）知数列满足厲，把各项分别加5后，所得各数依次排在后，因为叫叫 *，所得数列显然满足%-叫丄2或气，屮八i叫，即得H数列41卫"二t）.其中匹、，知 山.如此下去即可得到一个满足 沧叫* 1几，叫的H数列仏为:n+l,n = 5k-4» + 2,.«-5-3=t n= 5A1 2 （其中 fc 1,2>,03 ）Jilx=5t-L5fc«+2,» = 5Jt-4（写出此通项也可以耳（川）由题意

31、知川肚厂疗,Yyr戸，且 H*W=5* 气有解：（卜）（叮小 （C），了，川= ±15 ,则 '规加恥刪俐，这与1 - -应心是矛盾的. X）Q旳 时，与类似可得不成立. （丄丿）（i“）时，厂4斗710，则纭卄术加不可能成立. 卩M时，若卜丿F -川或丄），则可=5或-5 .若（l）（4）或 ，则叫ll ,类似于可知不成立.3* （川丿时，若同号，则廿 ，由上面的讨论可知不可能；若（上勺或（/ J'j，则"=一5或5 ; U广®时，若异号y应=0，不行；若同号，则/17，同样由前面的讨论可知与 耳匕 剜亠矛盾.综上，E只能为5或-5，且（2）中的

32、数列是d = 5的情形，将（2）中的数列倒 过来就是，所以E为f或-5 .12.已知实数数列an满足：办2丨an 1丨an（n 1,2, ） , aia,a2 b，记集合M an |n N .(i)若 a 1,b2，用列举法写出集合 M ;(n)若 a 0,b0,判断数列an是否为周期数列，并说明理由（川）若 a 0,b0，且 a b0,求集合M的元素个数的最小值所以广(x) = eVd+(加一黄2)x+些二一 1=一斗厂(x+l)2ar-(3a-l) ? «.13-1因为"0广=一广("1)2负一(丸一 1)=你"(x+lX-)因为a>|.侨以&

33、gt;-1.52a令/Xx)«-ae-J(X4-lXx-)>0得.-lvxvzl：2a2a站一 13a-l令fr(x) = 一ae'(x+l)(x一 )<0得.x<l或x> 2a2a3/>-i3j-i所以®ft/(x)在(T丄一)上单iflil增.在(yo,-1)和(三一+8)上 2a2a3匕一1 若1. Wa> 1时.«tt/(x)SK何-111单口邇增2a所以Stt /(x)在区间一1.1上的最大值为/(l)=l(a +警+ l) = 4e e 8e'-3Se2-3Pe2-解得0 = 飞一匕然符合題意.此时

34、= t b§二3/7-11 若< 1 -即一<a< 1时2a5V? 一 13a 1西数/(*)在(-1,)上单谒遡增递减.lala所以函敷/(X)在区何1-1,|±的最大值为/(*)写 匸晋又闪为|<a<l.所以|<?y<4所以 e-l<e3rT<e 所以不満足函数/(x)在区同-14上的最大值为4e.8e' -3i?e2 -2综上所述.a = ±丄.b= § _为所求.14分20.本小18満分14分W： < I ) 3/ = L2.-L02 分(II)因为a<0.<0. J

35、,-ja |-心(丹12)所IU術场 a巩i 氏 A又周为Tm*|Tj.5 = 12 )所以列中至九依壷董复叫至.以此类推.于足*灯任蠢正豐數陷 有总士=皿卫*«=丐Hi，嘶直9足数列佃的HM-便场二孤r碍吗屮成立的flt小r«9 ,-*i甘<w)对厲上分情况讨论.<1)WJ 5.b -a.-aa- b 中至4 项互不招冋；Q)«u>fr>0< 剧救列的前4 ia.b,b-ara-2bt a-2b0时* 摊列的II五、六项为la-a-b- o-2i<0H-数利的第九、六顼为bf-a + 3b易知独列中至少有4顶互不楷同|*阳at

36、fl>oh&-o- s£cr-03>o.则由列的前7顼可知*敷列中至少右4项0.-O, a.2a 或 ",b.2*厘柚同.侏上，*frAf的阮索亍載不小于4”瓷由 可知.(7 -l.fr-llbf.播汁柑的元黑亍竝为4.所以.求集合M的元索并麹的煨小位是丄14#13.给定正奇数nn 5，数列ana，a?, ，an是1,，n的一个排列，疋乂 E( a，a?，an)|务1|1 a2 2 | | an n |为数列an : a1, a?，a“的位差和。(I )当当n 5时，求数列 an:1, 3, 4, 2, 5的位差和；(II)若位差和E(a1 , a2 ,

37、，an) =4，求满足条件的数列 an :a , a2，,an的个数;(III)若位差和E a1, a2，n2 1,ann 1，求满足条件的数列an:a1, a2, , an 的个数。2解：（I） E （1, 3, 4, 2, 5） =|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4 ; （3 分）（Il）若数列an :印,a2, 情况一：当ai i 1 ak k （其中 k i,（5分）情况二：当ai, ai i,（其中 k i, i 1, i，ai 1 i ，i 1, j, jai 2分别等于i2 ）时，有3 n,an的位差和E （ ai , a2, a j j 1 ， aj

38、 1 j，且 ai,1 ）时，有 n 3 n 4,an） =4，有如下两种情况：ai 1a j , a j 1，其他项n 2 n 3斗2 1种可能;22， i 1, i或i 1, i 2，2种可能；（7分）i或i 2 , i 1,其他项akk综上，满足条件的数列an : a-i, a2,an的个数为n 2 n 3。（8 分）2例如：n 5时,情况一：形如 2, 1, 4, 3, 5，共有 2+1=3 种：2, 1, 4, 3, 5； 2, 1, 3, 5, 4； 1, 3, 2, 5,4；情况二：形如 3, 2, 1, 4,5,共有 5-2=3 种：3, 2 , 1 , 4 , 5；1 , 4

39、 , 3 ,2 , 5； 1 , 2 , 5 ,4 , 3；形如 2 , 3 , 1, 4 , 5,共有5-2=3 种：2 , 3 , 1 , 4 , 5； 1, 3 , 4 ,2 , 5； 1, 2 , 4 , 5 , 3；形如 3 , 1 , 2 , 4 , 5,共有5-2=3 种：3 , 1 , 2 , 4 , 5； 1, 4 , 2 ,3 , 5； 1, 2 , 5 , 3 , 4。（III ）将| a1 1 | | a2 2 | . I an n 1去绝对值符号后，所得结果为E a1 , a2 , ann|ai i|i 1n 3n 1n 1 小 n 12 n n 1221222 2c

40、n 1,n3n 3n212 nn 11（10 分）的形式，其中恰好有n个数前面为减号，这表明2 2 2 2此不等式成立是因为前面为减号的n个数最小为：2个1, 2个2,，2个丄和1个-1 o （11分）4,5,1 ,2, 3* 4,5,1,3, 2；5 ,4,1 ,2, 35,4,1,3,4,5,2,1, 3* 4,5,2,3 , 1；5 ,4,2,1, 35,4,2,3,4,5,3,1, 2!； 4,5,3,2 , 1；5,4,3,1, 2:;5,4,3,2,3,5,4,1, 2!； 3,5,4,2 , 1；5,3,4,1, 2:;5,3,4,2,2；1；1；3, 4, 5, 1, 2； 3

41、, 4, 5, 2, 1 ； 4, 3, 5, 1, 2； 4, 3, 5, 2, 1。上面的讨论表明，题中所求的数列 an : a1, a2,an是使得E（ ai, a2an）最大的数列,这样的数列在n 2k 1时,要求从1, 2,，n中任选一个数作为 ak 1，将剩余数中较大的 k个数的排列作为a1, a2,ak的对应值，较小的k个数的排列作为ak 2, ak 3,，a?k 1的对应值，于是所求数列的个数为2k21 k!。综上，满足条件的数列的个数为2（14 分）例如：n 5时,E （ ai,a2, a3, a4 , a5）5|ai i |。i 112每组之差5 12组数52 1212此不

42、等式成立是因为前面为减号的5个数最小为：2个1，2个2和1个3。若 E （印，a2, a3, a4, a5）=12，n 2k 15，此时k 2时，要求从1，2，3, 4，5中任选一个数作为a3，将剩余数中较大的2个数的排列作为a1，a2的对应值，较小的 2个数的排列作为a4, a5的对应值,于是所求数列的个数为2! 220。1, 2，n，鉴别题目背景：假设现在有 n种物品，已经按照某种标准排列，并依次确定编号为师事先不知道物品的标准排列编号，而是根据自己的判断，对这n种物品进行排列依次编号为ai, a2, , an，其中a?, 是1, 2，n的一个排列，那么可以用数列a.ai, a2, an的

43、位差和E ( ai, a2, a.) =|ai 11 |a? 2| a. n |,来评判鉴别师的能力。当E ( ai, a2, , an)越小，说明鉴别师能力越强；反之越大，说明鉴别师能力越弱；当E ( ai, a?, a*) =0，说明鉴别师给出的排列编号与标准排列编号一致，判断完全正确；第二问，位差和E(ai,a2,a.)=4时，给出数列a“ : a“a?,a“的情况；n2 i第三问，说明位差和 E ( ai, a2, an)最大值为，且给出取得最大值时，数列an2ai, a2, an 的情况。i4.已知集合 S ai,a2, a3,L ,an( n 3),集合 T ( x, y) | x

44、 S, y S, x y且满足：ai , ajS(i, j i,2,3丄，n ,i j), (a©) T与(aj, a) T恰-有一个成立.对于T定义dgb)i, (a,b) T,0, (b,a) T,T(ai)dT (ai ,ai)dT (ai , a2)dT (ai,aii )dT(ai , a i )dT(ai , an )( i i,2,3,L ,n )(i)若 n 4 , (ai,a2),(a3, a2),(a2,a4) T，求 1丁心2)的值及的最大值；()从|丁佝),1丁心2), ,b(an)中任意删去两个数，记剩下的n 2个数的和为 M .求证:i M 丁 5) 3

45、；(川)对于满足lT(aJ n i ( i i,2,3,L ,n)的每一个集合T ,集合S中是否都存在三个不同的元素e, f,g，使得 dT (e, f) dT (f, g) dT (g,e) 3恒成立，并说明理由.解:(【)因为(ai, a2),( a3, a2),( a2, a4)T ,所以 dT (a2, ai) 0 , dT (a2, a3) 0 , dT(a2,a4) 1，故 lT ( a2) 1 .1分因为(a?, a4)T，所以 dT(a4,a2)0 .所以 1t (a4) dT(a4,ai) dT(a4,a2)dT (a4 , a3)1012 .所以当(a2,a4),(a4,a1),(a4,a3)T时，1品)取得最大值2. 3分(n)由 dT(a,b)的定义可知：dT(a,b) dT(b,a) 1.n所以 lT (ai ) dT (a1, a2 )