湖南师范大学高等数学24隐函数和由ppt课件

1、2.4隐函数和由参数方程所确定隐函数和由参数方程所确定的函数的导数的函数的导数 相关变化率相关变化率 2.4.1隐函数的导数隐函数的导数 2.4.2由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数 2.4. 3 相关变化率相关变化率 基本内容基本内容基本要求基本要求1.1.会求隐函数的导数会求隐函数的导数 2.2.掌握对数求导法掌握对数求导法 3.3.会求参数方程所确定的函数的导数会求参数方程所确定的函数的导数 4.了解相关变化率的概念，会求相关变化率了解相关变化率的概念，会求相关变化率2.4.1隐函数的导数隐函数的导数用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两

2、边求导.隐函数求导法则：隐函数求导法则：求求y的步骤为的步骤为: : 利用复合函数求导法则，在等式两边同时对利用复合函数求导法则，在等式两边同时对 求求x导导 ，然后从中解出，然后从中解出y。把等式把等式0),(yxFyx的函数，的函数，中的中的看成看成设方程设方程0),(yxF),(xyy 确定了隐函数确定了隐函数例例1 1求由方程求由方程2xyeeyx所确定的隐函数所确定的隐函数0dxdyxydxdyeeyx.xeeydxdyyx解得解得. 1000yxyxxxeeydxdyy0 x.0 xdxdy在在处的导数处的导数解解 方程两边方程两边对对x求导求导, ,得得，所以，所以因为当因为当0

3、 x0y时，由原方程得时，由原方程得例例2 2 求由方程求由方程0sin21yyxy.22dxyd的二阶导数的二阶导数 所确定的隐藏函数所确定的隐藏函数解解 应用隐函数的求导方法，得应用隐函数的求导方法，得, 0cos211dxdyydxdy.cos22ydxdy于是于是 .)cos2(sin4)cos2(sin23222yyydxdyydxyd上式两边再对上式两边再对x求导，得求导，得处的切线方程处的切线方程. .例例3 3 求曲求曲线线0233xyyx 1 , 10M在点在点解解 方程两边分别对方程两边分别对x x求导，得求导，得. 0223322dxdyxydxdyyx. 1233211

4、22yxxyxydxdy解得解得于是所求切线方程为于是所求切线方程为),1(1xy. 02 yx即即对数求导法对数求导法先将方程先将方程)(xfy 两边取对数，然后再利用两边取对数，然后再利用例例4 4 求求 )0(sinxxyx的导数。的导数。解解 方程两边取对数，得方程两边取对数，得xxylnsinlnxxxxyy1sinlncos1).sinln(cos)sinln(cossinxxxxxxxxxyyx于是于是y的导数。的导数。隐函数的求导方法求出隐函数的求导方法求出上式两边对上式两边对x求导，得求导，得另解另解xxxxeexyxlnsinlnsinsin)ln(sin)(lnsinln

5、sinxxeeyxxxx).sinln(cossinxxxxxx对一般形式的幂指函数对一般形式的幂指函数 )()(xvxuy ),0)(xu可利用对数求导法求导数：可利用对数求导法求导数： uvylnlnuuvuvyy 1ln1两边求导两边求导法法1：取对数：取对数).ln()ln(uuvuvuuuvuvyyv 解得解得vuuyvlnuuvv1按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:).ln()ln(lnuuvuvuuuvuveyvuv 直接求导得直接求导得 .ln uvey将幂指函数表示为将幂指函数表示为 法法2：对数求导法同时适用于积与商的函数求导数：对数求导法同时适用于积与商的函数求

6、导数：例例5 5 求求xexxxy2)4(1) 1() 1( x的导数。的导数。xxxxy)4ln(2) 1ln(21) 1ln(ln解解 两边取对数，得两边取对数，得, 142) 1(21111xxxyyxexxxy2)4(1) 1().142) 1(2111(xxx于是于是两边对两边对x求导，得求导，得2.4.2由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数)(),(tytx若参数方程若参数方程为由参数方程所确定的函数。为由参数方程所确定的函数。).(1xy确定确定yx的函数，则称此函数关系所表达的函数的函数，则称此函数关系所表达的函数为为如果函数如果函数)(tx)(1xt具有单

7、调连续反函数具有单调连续反函数且此反函数能与函数且此反函数能与函数 ty构成复合函数构成复合函数下面求下面求.dxdy)()(1ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy.)()(ttdxdy.)()(tty即即或或上式也可写成上式也可写成.dtdxdtdydxdy 假设函数假设函数)(),(tytx. 0)( t都可导，且都可导，且由复合函数的求导法则与反函数的导数公式，得由复合函数的求导法则与反函数的导数公式，得,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322

8、tttttdxyd 即即那那么么)(,)()(txtty或由新的参数方程组或由新的参数方程组及上述求导公式，得及上述求导公式，得.)()()()() )(ttttxtyy .)()()()()(3ttttt )1ln(,arctan2tytx.,22dxyddxdy例例7 设设求求ttttttdxdy21112)(arctan)1ln(222解解).1 ( 2112)(arctan)2()() )(2222tttttxtydxyd.sin,costbytax例例8 已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为,224cos0aax.224sin0bby4t求椭圆在相应的点求椭圆在相应的点处的切线方

9、程处的切线方程.解解 当当4t0M的坐标是：的坐标是：时时, ,椭圆上的相应点椭圆上的相应点.2222axabby. 02abaybx或或曲线在曲线在0M.sincos)cos()sin(444abtatbtatbdxdyttt的切线斜率为：的切线斜率为：即得椭圆在即得椭圆在0M点的切线方程点的切线方程处的切线方程。处的切线方程。 解解 曲线的参数方程为曲线的参数方程为sin)cos1 (sincos)cos1 (cosaryarx例例9 9 求心形求心形线线)cos1 ( ar2在在对应点对应点提示：先将曲线的极坐标方程写成参数方程形式，提示：先将曲线的极坐标方程写成参数方程形式，再按例再按

10、例8的方法求之。的方法求之。), 0(2aP所对应的点为得所求切线的斜率为得所求切线的斜率为, 12sinsin2coscos222ddxddydxdy于是所求切线方程为于是所求切线方程为xayayx即即sin)cos1 (sincos)cos1 (cosaryarx由由2.4. 3 相关变化率相关变化率 两个相互依赖的变化率两个相互依赖的变化率 dtdx与与 dtdy称为相关变化率。称为相关变化率。 设设)(tx)(ty而变量而变量都是可导函数，都是可导函数，及及与与xy间存在某种关系，间存在某种关系，时时, 其水面上升速率是多少？其水面上升速率是多少？解解 如下图如下图, ,设在时刻设在时刻t t容器中水深为容器中水深为 )(th，水，水 ,84hr.2)()(thtr或或从而得从而得 例例9 设正圆锥形容器高设正圆锥形容器高m8m8,顶面直径亦为顶面直径亦为3mm5现以每分钟现以每分钟4的速率将水注入的速率将水注入,问当水深为问当水深为0h8)(tr)(th， 那， 那么么)(trV面半经为面半经为,锥内水的体积为锥内水的体积为)(12)()(3)(32ththtrtV)(12)()(3)(32ththtrtV.)(42dtdhthdtdV知知 min),/(43mdtdVmth5)(0代入上式得代入上式得 min)./(204. 025160mdtdhtt两