多元函数微分法及其应用

1、第八章多元函数微分法及其应用教学与考试基本要求1 理解多元函数、多元函数偏导数的概念，会求多元函数的定义域、二重极限；2 会求多元函数的偏导数、全微分、全导数等；3 会求空间曲线的切线及法平面、空间曲面的切平面及法线方程；4 会用多元函数微分法解决简单的最大值最小值问题8.1多元函数的概念一、主要内容回顾二元函数定义设有变量和，如果当变量在一定范围内任取一组值时，变量按照一定的法则总有确定的值和它们对应，则称变量是变量的二元函数记作 或 其中变量称为自变量，称为因变量，自变量的取值范围称为函数的定义域二元及二元以上的函数统称为多元函数邻域（1）点集称为点的邻域，记为称为该邻域的中心，称为该邻域

2、的半径（2）点集称为点的去心邻域，记为内点是平面上的点集，为一点，若存在，使，则称是的内点边界点是平面上的点集，为一点，如果对于任意，内既有中的点，又有不属于的点，则称是的边界点的边界点的全体，称为的边界注：边界点可以属于也可以不属于开集如果点集中的点都是的内点，则称为开集连通集如果内的任意两点都可用中的折线连接起来，则称为连通集开区域连通的开集闭区域开区域加上它的边界有界区域如果一个区域内的任意两点的距离都不超过某一常数，则称它为有界区域，否则称为无界区域二重极限设二元函数在点的某一去心邻域内有定义，如果动点沿任意方式趋近于时，对应的函数值总是趋近于一个确定的常数，则称为函数当时的极限，或称

3、函数在点处收敛于，记为注意：如果点只是沿某一条或几条特殊路径趋向于，函数趋向于某一确定的值，不能判断函数的极限存在；反过来，如果当沿不同的路径趋于时， 趋于不同的值，就可判定在的极限不存在注：二重极限的运算与一元函数极限的运算完全一致连续（1）设二元函数在点的某邻域内的定义，如果，则称函数在处连续，并称为的连续点（2）设二元函数在点的某邻域内的定义，如果，则称函数在处连续其中称为在处的全增量（3）若函数在内每一点都连续，称函数在内连续（4）函数的不连续点称为函数的间断点连续函数的性质（1）有界闭区域上的连续函数必为有界函数（2）有界闭区域上的连续函数必最大值和最小值（3）有界闭区域上的连续函数

4、必取得介于函数最大值和最小值之间的任何值二、基本考试题型及配套例题题型I判断题（1）若，则（ ）（2）若存在，都不存在，则不存在（ ）解（1）错（2）对题型II填空题（1）函数的定义域是_（2）解（），所以（）题型III计算题（1）求；（2）求解（1）（2）因为，且由夹逼法则知，题型IV证明题（1） 证明不存在（2） 证明函数在的连续性证（1）因为，所以不存在（2）因为，所以，函数在处连续三、习题选解（习题81） 4确定下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）解（1）即，函数的定义域为（2），函数的定义域为（3），函数的定义域为（4），即或由知，而无解所

5、以，函数的定义域为（5），函数定义域为（6），函数定义域为（7），即，函数定义域为（8），函数的定义域为5求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解（1）（2）（3）（4）（5）（6）因为，所以6证明下列极限不存在：（1）；（2）证 (1)因为，所以不存在（2）因为，所以不存在8.2 偏导数与全微分一、主要内容回顾增量设函数在点的某邻域内有定义，（）当固定在而有增量时，称为在处对的偏增量；（）当固定在而有增量时， 称为在处对的偏增量；（）称为在处的全增量一阶偏导数设函数在点的某邻域内有定义，（）若存在，则称此极限为在处对的偏导数，记作，或（）若存在，则称此极限为在处对的偏导数

6、，记作，或（）若在区域内的每一点处对（或）的偏导数都存在，则这个偏导数为的函数，此函数称为对（或）的偏导函数，记为（或）不致混淆时也称偏导函数为偏导数几何意义（）表示空间曲线在点的切线对轴的斜率；（）表示空间曲线在点的切线对轴的斜率二阶偏导数若在区域内的偏导函数仍在内可导，则它们的偏导函数是的二阶偏导数，分别是：，其中称为的二阶混合偏导数同理可定义三阶及三阶以上的偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数注意：混合偏导数与求导顺序有关，但当在内连续时，全微分设函数在点的某邻域内有定义，如果全增量可表示为其中不依赖于，仅与有关，则称函数在点处可微，称为在点的全微分，记作，即若函数在内的每一点处

7、可微，称函数的内可微可微的性质（）可微的必要条件：若在处可微，则在处可导，且（）可微的充分条件：若的偏导数在连续，则函数在该点必可微（）记，则二、基本考试题型及配套例题题型I判断题（1）若在点处连续，则偏导数一定存在（）（2）若在点处可微，则偏导数一定连续（）解（）错（）错题型II计算题（1） 设，求及（2） 讨论函数在点处的可导性，连续性与可微性解（1）（3） 因为，所以在处两个偏导数都存在又，故在处的极限不存在，从而在处不连续而当时，上式极限不存在，因而不是的高阶无穷小，故在处不可微三、习题选解（习题82）1 求下列函数的偏导数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8

8、） 解（1），（2），（3），（4），（5），（6）为求，方程两边取对数，得，两边对求导，得，所以（7），（8） ，2 设，求解，3 曲线在处的切线与轴正向所成的倾斜角是多少？解，设切线与轴正向的倾斜角为， 则，4 ，求解因为，所以5 证明函数满足方程：证，求下列函数的二阶偏导数：（1）；（2）解（1），（2）， ，（1）设，求；（2）设，求解（1），（2）， 求函数在点(10,8)处当时的全增量及全微分解，求函数当时在点(1,1)处的全微分解，11求函数在点(2,1)处的全微分解，12求下列函数的全微分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）解（1），（2）（3）（4），（5）

9、（6）13计算的近似值解设，取则，故8.3多元复合函数求导法则一、主要内容回顾复合函数的偏导数（）若函数在点处对及对的偏导数存在，在对应点对及对有连续的偏导数，则复合函数在点处对及对的偏导数存在，且有公式； （）对亦有； （）对有； 全导数设，则复合函数是的一元函数，且，称为关于的全导数隐函数的偏导数（）设函数在的某邻域内具有连续偏导数，且，则方程在点的某邻域内可惟一确定一个具有连续导数的函数，满足，且（）设函数在的某邻域内具有连续偏导数，且则方程在的某邻域内可惟一确定一个具有连续偏导数的函数，满足，且；二、基本考试题型及配套例题题型I计算题（1）设，其中由方程确定，求（2）设是由方程确定，求

10、（3）设，其中具有二阶连续导数，求解（1）方程两边对求导，,得故（2）设，则，（3），题型II证明题设，而为可导函数，证明证，所以三、习题选解（习题83 ）1 求下列函数的偏导数：（1），其中；（2），其中；（3），其中；（4）解（1）（）（3）（4）设，则，2 求下列函数的全导数：（1），其中； （2），其中；（3），其中解（1）（2）（3）3 设，证明证，4证明证 ，5求由下列方程确定的函数的导数： （1）；（2）解（1）设，则，从而（2）设， 则，故6求由下列方程确定的函数的偏导数：（1）；（2）解（1）设，则，从而（2）设，则同理，从而8.4偏导数的几何应用一、主要内容回顾空间曲线的切

11、线及法平面（）设的参数方程为，其中都是的可导函数，当时，对应曲线上的定点，不全为零，则在的切向量为，切线方程为法平面方程为（）若的方程为，都是的可导函数，则在的切向量为，切线方程为：法平面方程为：空间曲面的切平面及法线（）隐式方程情形：设曲面的方程为，为上的一点，在的偏导数连续且不全为零，则在的法向量为，切平面方程为：法线方程为：（）显式方程情形：设曲面的方程为，为上的一点，在处有连续偏导数，则在的法向量为切平面方程为：法线方程为：二、基本考试题型及配套例题题型I计算题（1）求空间曲线上相应于处的切线及法平面方程（2）求曲面在(2,1,0)处的切平面及法线方程解（1），切向量为，切点为，切线方

12、程为法平面方程为，即（2）设，则，法向量为1,2,0，切平面方程为，即法线方程为三、习题选解（习题84） 1求下列各曲线在指定点处的切线方程和法平面方程：（1），在时；（2），在时；（3），在时解（1），切点坐标为，切线的方向向量为， 切线方程为法平面方程为，即（2），切点坐标为，切向量为，切线方程为法平面方程为，即（3），切点坐标为，切线的方向向量为，切线方程为法平面方程为即2求下列各曲面在指定点处的切平面与法线方程：（1）在点(3,1,1)处；（2）在点处；（3）在点处解（1）设，则，在处，切平面方程为，即法线方程为（） 设，则在处，切平面方程为，即法线方程为（3），则切平面方程为，即法线

13、方程为3 在曲线上求出使该点的切线平行于平面的点解，设在参数为处的点的切线的方向向量与平面的法线向量垂直，则，解得，切点为和4 求曲线在点处的切线与法平面方程解设，则为曲线在切点的切向量，为球面在的法向量，为平面的法向量，切线方程为，法平面方程为，即5 求曲面上平行于平面的切平面方程解 设曲面上处的切平面平行于平面，令，则切平面的法向量为，且，而在曲面上，从而，解之得，此时切点为，将及代入中，得切平面方程为6求旋转椭球面上点处的切平面与面的夹角的余弦解 设，则，7求曲面在点处的法向量与坐标轴的夹角解 ，法向量为，8试证曲面上作一点处的切平面在各坐标轴上截距之和等于证设，则，切平面方程为即它在三

14、坐标轴上的截距分别为从而8.5多元函数的极值及应用一、主要内容回顾极值设函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内不同于的任意点，总有，则称为函数的一个极大值（或极小值），点称为极大值点（或极小值点）极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点驻点使的点称为函数的驻点极值的必要条件设函数在点处的两个偏导数存在，且在点处取得极值，则极值的充分条件设函数在点的某邻域内有连续的一阶和二阶偏导数，为函数的驻点，令，（1）若，则点是的极值点，且当时，点为极大值点，当时，点为极小值点；（2）若，则点不是的极值点；（3）若， 可能是的极值点，也可能不是的极值点函数的最大值与最小值在实际问题中，根据问

15、题的实际意义，可以判断函数在区域上存在最大值或最小值，且一定在区域的内部取得，而区域内仅有一个驻点，则函数必在该驻点处取得最大值或最小值二、基本考试题型及配套例题题型I选择题（1）满足且的点一定是（）A驻点B极值点C最大值点D最小值点（2）二元函数的极小值点是（ ）A (0,0) B (2,2) C (0,2) D (2,0)解：（）（）的驻点为，在点，极大值点，在点，非极值点，在点，极小值点，在点，非极值点题型II应用题（1）设长方体内接于半径为R的半球，问长方体各边长是多少时其体积最大？最大体积是多少？（2）求函数的极值解（1）设球心在原点，长方体在第一卦限的顶点为，则长方体的长、宽、高分

16、别为，其体积为，而，故令解之得，此时即当长方体的长、宽、高分别为时，体积最大，最大体积为（2）令，解之得驻点，所以函数在取得极小值三、习题选解（习题85 ）1求下列函数的极值：（1）；（2）；（3）；（4）解（1）令，解得驻点为(0,1),，函数的极小值为（2）令，解得驻点为(1,0)，函数有极小值（3）令，解得驻点为(0,0)和(1,1)，对(0,0)，不是极值点；对(1,1), ,为函数的极大值 （4）令，解得驻点为 (5,2)，为函数的极小值2将给定的正数分为三个正数之和，问这三个数各为多少时，它们的乘积最大？解（1）设分成的三个正数为，则积为，令得，即当分成的三个数相等时积最大3求内接

17、于半径为的球且有最大体积的长方体解设长方体在第一卦限的顶点坐标为，则，解联立方程得驻点，此时即边长均为的立方体体积最大4从斜边长为的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形解 设直角三角形的一条直角边为，则另一条直角边为，此时周长为，得，即为等腰直角三角形时周长最大5制作一个容积为的无盖圆柱形容器，容器的高和底半径各为多少时，所用材料最省？解 设容器的高为，底半径为，则，得，此时当高和底半径相等时，所用材料最少6有一宽为24cm的长方形铁板，把它的两边折起来，做成一个断面为等腰梯形的水槽，问折起来的各面的宽及其倾斜角为多少时，才能使水槽断面积最大？解 设折起来的边长为，倾角为，则梯形的下底长为，上底长为，高为，断面面积为，令解之得依题意知面积的最大值一定存在，又函数在定义区域内只有一个驻点，所以当时断面面积最大复习题八3计算下列各题：（1）设，求（2）设，求（3）已知，求（4）设，其中有一阶偏导数，求（5）设，求（6）求曲面在点处的切平面方程解（1）；（2）设，则，（3）令，则，从而（4）设，（5），（6）设，切平面方程为，即4应用题：（2）已知矩形的周长为，将它绕其一边旋转而构成一圆柱体，求所得圆柱体体积为最大的矩形解（2）设矩形的一边为，则另一边为，绕边旋转构成的圆柱体积为，即矩形的边长分别为，且绕短边旋