复变函数与积分变换修订版复旦大学课后的习题答案

1、习题 七1.证明：如果f(t)满足傅里叶变换的条件，当f(t)为奇函数时，则有其中当f(t)为偶函数时，则有其中证明：因为其中为f(t)的傅里叶变换当f(t)为奇函数时，为奇函数，从而为偶函数，从而故 有为奇数。 =所以，当f(t)为奇函数时，有同理，当f(t)为偶函数时，有.其中 2.在上一题中，设.计算的值.解:3.计算函数.解:4.求下列函数的傅里叶变换解：(2)解：因为所以根据傅里叶变换的微分性质可得(3)解：(4)解:令，则在上半平面有两个一级极点.故.(5) 解:同(4).利用留数在积分中的应用,令则.5.设函数F(t)是解析函数，而且在带形区域内有界.定义函数为证明当时，有 对所

2、有的实数t成立.(书上有推理过程)6.求符号函数 的傅里叶变换.解:因为把函数.不难看出 故：7.已知函数的傅里叶变换求解:8.设函数f(t)的傅里叶变换，a为一常数. 证明F当a0时,令u=at.则当a0时,令u=at,则.故原命题成立.9.设证明.证明：10.设，证明：以及证明：同理：11.设计算.解：当时，若则故=0.若则若则故12.设为单位阶跃函数，求下列函数的傅里叶变换.习题八1.求下列函数的拉普拉斯变换.(1)， (2)， (3)(4)， (5) 解: (1) (2) (3) (4) (5) 2.求下列函数的拉普拉斯变换.（1） (2)解: (1) (2) 3.设函数,其中函数为阶

3、跃函数, 求的拉普拉斯变换.解: 4.求图8.5所表示的周期函数的拉普拉斯变换解：5. 求下列函数的拉普拉斯变换.(1) (2) (3) (4) (5 (6 (7) (8) 解:(1) (2)(4)(5) (6)(7)(8)6.记，对常数，若，证明证明: 7 记，证明:证明：当n=1时,所以，当n=1时, 显然成立。假设，当n=k-1时, 有现证当n=k时8. 记，如果a为常数,证明:证明：设，由定义9. 记，证明:,即证明：10.计算下列函数的卷积(1) (2) (3) (4) (5) (6 解：(1) (2) (3) (4)(5) (6)11.设函数f, g, h均满足当t0时恒为零，证明

4、以及证明：12.利用卷积定理证明证明：设，则，则，所以13. 求下列函数的拉普拉斯逆变换.(1) (2) (3)(4) (5) (6 解：(1)(2)(3故(4)因为所以(5)其中所以(6)所以14.利用卷积定理证明证明：又因为所以，根据卷积定理15.利用卷积定理证明证明：因为所以，根据卷积定理有16. 求下列函数的拉普拉斯逆变换.(1) (2) (3)(4)解:(1)故(2)：(3)故(4)故且所以17.求下列微分方程的解(1) (2) (3) (4) (5) 解: (1)设方程两边取拉氏变换,得为Y(s)的三个一级极点,则(2) 方程两边同时取拉氏变换,得(3)方程两边取拉氏变换,得因为由拉氏变换的微分性质知，若Lf(t)=F(s),则即因为所以故有(4)方程两边取拉氏变换,设Ly(t)=Y(s),得故(5)设Ly(t)=Y(s),则方程两边取拉氏变换,得故18.求下列微分方程组的解(1) (2) 解:(1) 设微分方程组两式的两边同时取拉氏变换,得得(2)代入(1)，得(3)代入(1)，得(2)设 方程两边取拉氏变换,得(3)代入(1)：所以故19