高等数学D12习题课ppt课件

1、级数的收敛、求和与展开级数的收敛、求和与展开 第十二章 )(0 xunn 求和)(xS展开(在收敛域内进行)(0 xunn基本问题：判别敛散；基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.时为数项级数;0 xx 当nnnxaxu)(当时为幂级数;一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发 散满足比值审敛法 limn1nunu根值审敛法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限13. 任意项级数审敛法为收敛级数1nnuLeibniz判别法判别法: 假设假设,01nnuu

2、且,0limnnu则交错级数nnnu1) 1(收敛 ,概念概念:且余项.1nnur1nnu假设收敛 ,1nnu称绝对收敛1nnu假设发散 ,1nnu称条件收敛 证 因为11) 1(1) 1(12nnnn 设un和vn都是正项级数, 且unkvn(k0, nN). 若级数vn收敛, 则级数un收敛; 若级数un发散, 则级数vn发散. vp级数的收敛性 证证 v比较审敛法 p级数pnn11当 p1 时收敛 当 p1 时发散 例 2 证明级数1) 1(1nnn是发散的 而级数111nn发散 故级数发散 故级数1) 1(1nnn也发散 例1v定理3(比较审敛法的极限形式) 设1nnu和1nnv都是正

3、项级数 (1)如果lvunnnlim(0l) 且1nnv收敛 则1nnu收敛 (2)如果lvunnnlim(0l) 且1nnv发散 则1nnu发散 例 3 判别级数11sinnn的收敛性 解 因为111sinlim nnn 而级数 解解 所以级数11sinnn也发散 111sinlim nnn 而级数11nn发散 例2 例 4 判别级数12)11ln(nn的收敛性 解解 解 因为11)11ln(lim 22nnn 而级数11)11ln(lim 22nnn 而级数211nn收敛 所以级数12)11ln(nn也收敛 v定理 (比较审敛法的极限形式) 设1nnu和1nnv都是正项级数 (1)如果lv

4、unnnlim(0l) 且1nnv收敛 则1nnu收敛 (2)如果lvunnnlim(0l) 且1nnv发散 则1nnu发散 例3 解 因为101lim 321) 1( 321lim lim 1 nnnuunnnnn收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散 设1nnu为正项级数 如果nnnuu1lim 则当1时级数 v定理 (比值审敛法 达朗贝尔判别法) 解解 所以 根据比值审敛法可知所给级数收敛 例4 证明级数 ) 1( 3211 3211211111 n 是收敛的 101lim 321) 1( 321lim lim 1 nnnuunnnnn101lim 321) 1( 32

5、1lim lim 1 nnnuunnnnn 所以 根据比值审敛法可知所给级数发散 下页 例 6 判别级数 10! 10321102110132 nn的收敛性 解解 解 因为101lim ! 1010)!1(lim lim 11nnnuunnnnnnn101lim ! 1010)!1(lim lim 11nnnuunnnnnnn101lim ! 1010)!1(lim lim 11nnnuunnnnnnn 收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散 设1nnu为正项级数 如果nnnuu1lim 则当1时级数 v定理 (比值审敛法 达朗贝尔判别法) 例5 例 7 判别级数nnn2)

6、12(1的收敛性 提示:1) 22() 12(2) 12(lim lim 1nnnnuunnnn所以 根据比值审敛法可知所给级数收敛 1) 22() 12(2) 12(lim lim 1nnnnuunnnn1) 22() 12(2) 12(lim lim 1nnnnuunnnn1) 22() 12(2) 12(lim lim 1nnnnuunnnn比值审敛法失效 下页 解解 解 因为212) 12(1nnn212) 12(1nnn 而级数212) 12(1nnn 而级数211nn收敛 收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散 设1nnu为正项级数 如果nnnuu1lim 则当1

7、时级数 v定理 (比值审敛法 达朗贝尔判别法) 例6v定理 (极限审敛法) 设1nnu为正项级数 (1)如果)lim( 0limnnnnnulnu或 则级数1nnu发散 (2)如果 p1 而)0 ( limllunnpn 则级数1nnu收敛 例 10 判定级数12)11ln(nn的收敛性 因为 解 1)11ln(lim)11ln(limlim22222nnnnnnnnun根据极限审敛法 知所给级数收敛 1)11ln(lim)11ln(limlim22222nnnnnnnnun1)11ln(lim)11ln(limlim22222nnnnnnnnun 下页例7v定理 (极限审敛法) 设1nnu为

8、正项级数 (1)如果)lim( 0limnnnnnulnu或 则级数1nnu发散 (2)如果 p1 而)0 ( limllunnpn 则级数1nnu收敛 例 11 判定级数)cos1 ( 11nnn的收敛性 222232321)(211lim)cos1 ( 1limlimnnnnnnnunnnnn222232321)(211lim)cos1 ( 1limlimnnnnnnnunnnnn 因为 解 根据极限审敛法 知所给级数收敛 首页例8(1)1111nnunnu(n1, 2, ) (2)这是一个交错级数. 解解 由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和su11,余项11|1nurnn 首页则级

9、数收敛, 且其和su1, 其余项rn的绝对值|rn|un1. 如果交错级数11) 1(nnnu满足条件 v定理 (莱布尼茨定理) (1)unun1(n1 2 3 ) (2)0limnnu 因为此级数满足 (n1, 2, ) (2)01limlimnunnn 例 10 证明级数 1) 1(11nnn收敛 并估计和及余项 例12 例9 三、绝对收敛与条件收敛v绝对收敛与条件收敛 若级数1|nnu收敛 则称级数1nnu绝对收敛 若级数1nnu 收敛 而级数1|nnu发散 则称级1nnu条件收敛 如果级数1nnu绝对收敛 则级数1nnu必定收敛 v定理 (绝对收敛与收敛的关系) 应注意的问题 如果级数

10、1|nnu发散 我们不能断定级数1nnu也发散 下页 解 因为|221|sinnnna 而级数 解解 下页 如果级数1nnu绝对收敛 则级数1nnu必定收敛 v定理 (绝对收敛与收敛的关系) 12|sin|nnna也收敛 从而级数221|sinnnna 而级数211nn是收敛的 所以级数 是收敛的 所以级数 从而级数12sinnnna绝对收敛 例 11 判别级数12sinnnna的收敛性 例13 例10完毕 如果级数1nnu绝对收敛 则级数1nnu必定收敛 v定理 (绝对收敛与收敛的关系) 解 由2)11 (21|nnnnu 有 解解 121)11 (lim21|limenunnnnn可知0l

11、imnnu 因此级数121)11 (lim21|limenunnnnn121)11 (lim21|limenunnnnn 0limnnu 因此级数12)11 (21) 1(nnnnn发散 例 12 判别级数12)11 (21) 1(nnnnn的收敛性 例14 例11二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论Rx 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性 .题7. 求下列级数的敛散区间:;)11 ()2(12nnnxn.2)4(21nnnxn下页 例 1 求幂级数11) 1(nnnnx的收敛半径与收敛域 当 x1

12、时幂级数成为1)1(nn是发散的 因而, 收敛域为(1, 1. 1)1(nn是发散的 当 x1 时幂级数成为111) 1(nnn是收敛的 111) 1(nnn是收敛的 解解 因为1 |lim 1nnnaa1 |lim 1nnnaa所以收敛半径1 |lim 1nnnaa所以收敛半径11R v定理 (收敛半径的求法) 如果|lim1nnnaa 则幂级数0nnnxa的收敛半径 R 为 当0 时1R 当0 时 R 当时 R0 例12 解解 因为 0)!1(!lim !1)!1(1lim |lim 1nnnnaannnnn0)!1(!lim !1)!1(1lim |lim 1nnnnaannnnn0)!

13、1(!lim !1)!1(1lim |lim 1nnnnaannnnn 所以收敛半径为R, 从而收敛域为(, ).下页 例 2 求幂级数0!1nnxn的收敛域 v定理 (收敛半径的求法) 如果|lim1nnnaa 则幂级数0nnnxa的收敛半径 R 为 当0 时1R 当0 时 R 当时 R0 例13 解解 因为 !)!1(lim |lim 1nnaannnn!)!1(lim |lim 1nnaannnn!)!1(lim |lim 1nnaannnn 所以收敛半径为R0, 即级数仅在x0处收敛.下页 例 3 求幂级数0!nnxn的收敛半径 v定理 (收敛半径的求法) 如果|lim1nnnaa 则

14、幂级数0nnnxa的收敛半径 R 为 当0 时1R 当0 时 R 当时 R0 例14提示: 此级数缺少奇次幂的项, 前述求收敛半径的方法不能直接应用.提示:2222) 1(221) 1() 12)(22() !()!2()!1()!1( 2)()(xnnnxnnxnnxuxunnnn2222) 1(221) 1() 12)(22() !()!2()!1()!1( 2)()(xnnnxnnxnnxuxunnnn 解解 这种缺项幂级数一般用比值审敛法来求收敛半径. 幂级数的一般项为nnxnnxu22) !()!2()(因为 因为21| 4 |)()(|limxxuxunnn21| 4 |)()(|

15、limxxuxunnn 当4|x|21即|x|1即|x| 时级数发散, 21下页 例 4 求幂级数022!)()!2(nnxnn的收敛半径 例15这种缺项幂级数一般用比值审敛法来求收敛半径. 幂级数的一般项为nnxnnxu22) !()!2()(因为 因为21| 4 |)()(|limxxuxunnn21| 4 |)()(|limxxuxunnn 当4|x|21即|x|1即|x| 时级数发散, 21所以收敛半径为21R 下页 解解 例 4 求幂级数022!)()!2(nnxnn的收敛半径 例16 解解 令 tx1上述级数变为12nnnnt 因为 21) 1(22 |lim 11nnaannnn

16、n21) 1(22 |lim 11nnaannnnn21) 1(22 |lim 11nnaannnnn 所以收敛半径R2. 当 t2 时级数成为11nn此级数发散 当 t2 时级数成为1) 1(nn此级数收敛 所以原级数的收敛域为1, 3). 即2x12, 或1x3, 因此收敛域为2t 例19练习练习:.) 1()4(1nnnnx;212) 1() 1(21nnnxn解解: (1) )(21121nnnx原式) 120(2x12)2(1nnxx222211xxx22xx222)2(2xx显然 x = 0 时上式也正确,. )2,2(x故和函数为而在2xx0,)2(2)(222xxxS题8. 求

17、下列幂级数的和函数：级数发散,(4)nnxnn1111原式xnntt011dxnnttx01d1ttxd110tttxxd1100 x)1ln(x)1(ln11xx)1(ln)11(1xx) 10( xttnnxd110ttxnnxd1101) 1(nnnnx, )1(ln)11(1xx显然 x = 0 时, 和为 0 ; 根据和函数的连续性 , 有)(xS110, )1(ln)11(1xxxx及0 0 x，1 1x，10 xx = 1 时,级数也收敛 . 即得00! )12() 1(! )2() 1(21nnnnnn练习练习:0! ) 12(1) 1(nnnn解解: 原式原式=0! )12() 1(nnn1cos21的和 .1) 12(n211sin题9(2). 求级数四、函数的幂级数和付式级数展开法四、函数的幂级数和付式级数展开法 直接展开法 间接展开法练习练习:1. 将函数将函数2)2(1x展开成 x 的幂级数. 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式解解:xx21)2(1221121x0221nnnx,22111nnnxn)2,2(x1. 函数的幂级数展开法5 将函数211)(xxf展开成 x 的幂级数 例例5 因为 1112 nxxxx(1x1) 解解 知 把x换成x2, 得 ) 1