高等数学1-2函数的极限ppt课件

1、北京理工大学数学系北京理工大学数学系思考题思考题北京理工大学数学系北京理工大学数学系1.2 函数的极限北京理工大学数学系北京理工大学数学系sin.xxx 观察函数当时的变化趋势播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限北京理工大学数学系北京理工大学数学系( )( );f xAf xA表示与 的距离任意小.xXx 表示的过程sin,( )0.xxf xx无限接当增大时近无限于1、通过上面演示实验的观察、通过上面演示实验的观察:问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.北京理工大学数学系北京理工大学数学系定义定义X 0 lim( )xf xA,0X,xX ,( )

2、.f xA恒有北京理工大学数学系北京理工大学数学系02 .:x 情形01 .:x 情形lim( )xf xAlim( )xf xA2、扩展两种情形、扩展两种情形:lim( )xf xA定理lim( )lim( ).xxf xf xA0 ,0X,xX,( ).f xA恒有0 ,0X,xX ,( ).f xA恒有北京理工大学数学系北京理工大学数学系xxysin 3、几何解释、几何解释: X X.2,)(,的的带带形形区区域域内内宽宽为为为为中中心心线线直直线线图图形形完完全全落落在在以以函函数数时时或或当当 AyxfyXxXxA北京理工大学数学系北京理工大学数学系xxysin 例例1. 0sinl

3、im xxx证证明明证证xxxxsin0sin x1 X1 , , 0 ,1 X取取时时恒恒有有则则当当Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故:lim( ),( ).xf xcycyf x如果则直线是函数的图定义水平的渐近线形北京理工大学数学系北京理工大学数学系二、自变量趋向有限值时函数的极限( )( );f xAf xA表示与 的接近程度.000的的过过程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻邻域域的的去去心心点点 x.0程程度度接接近近体体现现xx 北京理工大学数学系北京理工大学数学系定定义义 0 0lim( )xxf xA,00,0 xx ,( ).f xA恒

4、有北京理工大学数学系北京理工大学数学系例例2).( ,lim0为为常常数数证证明明CCCxx 证证Axf )(CC ,成立成立 , 0 任给任给0 .lim0CCxx , 0 任任取取,00时时当当 xx例例3.lim00 xxxx 证证明明证证,)(0 xxAxf , 0 任给任给, 取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 北京理工大学数学系北京理工大学数学系2、几何解释、几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo0,( ),2xxyf xyA当 在 的去心 邻域时 函数图形完全落在以直线为中心线宽为的带形区域内。注意：注意：0.( )if x

5、x函数极限与在点定义无关.ii与任意给定的正数 有关：能够根据函数图像判断函数的极限要求北京理工大学数学系北京理工大学数学系例例4. 211lim21 xxx证证明明证证211)(2 xxAxf, 0 任给任给, 只只要要取取01,x 当时函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1 x,)( Axf要要使使,2112 xx就就有有. 211lim21 xxx(1)x 北京理工大学数学系北京理工大学数学系例例5.lim00 xxxx 证证0)(xxAxf , 0 任给任给,min00 xx取取,00时时当当 xx00 xxxx ,)( Axf要要使使,0 xx就就有有,00 xxx .00且

6、不取负值且不取负值只要只要 xxx.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明北京理工大学数学系北京理工大学数学系3.单侧极限单侧极限:21,0( )1,0 xxf xxx例：两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近00 xx记作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近00 xx记作yox1xy 112 xy北京理工大学数学系北京理工大学数学系左极限左极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当右极限右极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当:函数极限存定理充在的要条件是000lim( )(0).xxf x

7、Af xA记作或000lim( )(0).xxf xAf xA记作或左右极限存在且相等。000lim( )(0)(0).xxf xAf xf xA即：北京理工大学数学系北京理工大学数学系1100 x证明：任给，取= ,时，1( ) 1f xx有: 220 x取=,时，222( ) 1f xx有: yox1xy 112 xy120 x取 =min，,时，( ) 1f x 有: 0lim( )1xf x3.单侧极限单侧极限:21,0( )1,0 xxf xxx例：北京理工大学数学系北京理工大学数学系.lim0不不存存在在验验证证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左

8、右极限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例6证证1)1(lim0 x00limlimxxxxxx11lim0 x北京理工大学数学系北京理工大学数学系三、函数极限的性质2.局部有界性局部有界性1.极限唯一性极限唯一性北京理工大学数学系北京理工大学数学系推论推论0000lim( ),lim( ),0,(, ),( )( ).xxxxf xAg xBABxUxf xg x 设且则有3.不等式性质不等式性质定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 则则有有若若设设北京理工大学数学系北京理工大学数学系00

9、0lim( )0,0,(, ),( )0.xxf xAAxUxf x已知。若则当时定理定理( (保号性保号性) )000lim( )0,(, ),( )0,0.xxf xAxUxf xA已知。若当时则推论推论北京理工大学数学系北京理工大学数学系5.夹逼定理夹逼定理,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 北京理工大学数学系北京理工大学数学系6.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)(),nxaxa设在过程中有数列定义定义.nnxa 使得时()( ).nf xf xxa则称数列为函数当时的子列( )f x

10、a：若函数在点 的某一去心邻域定理内有定义，lim( )xaf xA则的充要条件是:lim().nnnxaf xA对邻域内的任意数列，有北京理工大学数学系北京理工大学数学系例：例：xxysin sinlim0 xxxsinlim0nnnsinlim0nnn22sin1lim01nnnnn北京理工大学数学系北京理工大学数学系xy1sin 例例7.1sinlim0不不存存在在证证明明xx证证 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取 nxnnnsinlim1sinlim 而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而, 0 二者不相等二者不相等,.

11、1sinlim0不存在不存在故故xx北京理工大学数学系北京理工大学数学系四、小结极限的统一定义极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒恒有有从从此此时时刻刻以以后后时时刻刻(见下表见下表)北京理工大学数学系北京理工大学数学系过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以

12、后从此时刻以后 )(xf Axf)(北京理工大学数学系北京理工大学数学系思考题思考题1( )sinf xx北京理工大学数学系北京理工大学数学系作业 P39: 2. 5. 6. 7. 8. 北京理工大学数学系北京理工大学数学系一、自变量趋向无穷大时函数的极限sin.xxx 观察函数当时的变化趋势北京理工大学数学系北京理工大学数学系一、自变量趋向无穷大时函数的极限sin.xxx 观察函数当时的变化趋势北京理工大学数学系北京理工大学数学系一、自变量趋向无穷大时函数的极限sin.xxx 观察函数当时的变化趋势北京理工大学数学系北京理工大学数学系一、自变量趋向无穷大时函数的极限sin.xxx 观察函数当时的变化趋势北京理工大学数学系北京理工大学数学系一、自变量趋向无穷大时函数的极限sin.xxx 观察函数当时的变化趋势北京理工大学数学系北京理工大学数学系一、自变量