高等数学第五节函数的极值与最大最小值ppt课件

1、第五节 函数极值与最大最小值152P.定义,)()(都成立0 xfxf,)()(的一个极大值是则称xfxf0.是极值点0 x,极小值)()(0 xfxf,都成立,)(时当0 xUx的一个是则称)()(xfxf0.是极值点0 x, )(, )(, )(:,531xfxfxf极大值右图中. )(, )(, )(:642xfxfxf极小值. )()(41xfxf注意.注区间性质单调性局部性质极值654321xxxxxx函数的极值及其求法一.,)(时当0 xUx,)(,)(.点可导在的极值点是定理001xxfxfx.)(00 xf则必有.,0必为极值点的导数若存在:. 极小值情形证.)()()(000

2、 xfxfxUx有)(,)()(lim)(000000分母则xxxfxfxfxx)(,)()(lim)(000000分母xxxfxfxfxx.)(,)(000 xfxf存在.同理可证极大值的情形:)(,的极值点只可能是函数根据定理xf1,)(. )的实根01 xf)(驻点. )2.不可导的点+ + +.,极值点但临界点并不一定都是这些点统称临界点:,求极值的步骤因此,)(.的全部临界点找出xf1,.别对每一个临界点进行判2判别,)(的一个临界点是设xfx0,. )的左侧变到右侧时由当0 xxA:方法如下,)(. )由单调增变为单调减xf1,)(由正变负或xf .)(为极大值则0 xf,)(.

3、)由单调减变为单调增xf2,)(由负变正或xf .)(为极小值则0 xf,)(,)(. )的符号不变或的增减性不变xfxf3.不是极值点则0 x.结合图形使用,)(. )的一个驻点是设xfxB0,)(.010 xf.)(为极小值则0 xf+,)(.020 xf.)(为极大值则0 xf0000 xxxfxfxfxx )()(lim)(.证,)(lim000 xxxfxx,)(,)(000 xxxfxU内则在.)(,00 xfxx时当;)(,00 xfxx时当+.)(是极小值0 xf.)(,)(,)(,是极大值时同理可证00000 xfxfxf 00)(xf.,)(.求极值例5421234551x

4、xxxxxf4434234xxxxxf)(.解.)()()(2211xxx.,:)(2110320 xxxxf得驻点由.)(4612423 xxxxf,)(0181 f.)(为极大值881 f,)(021 f.)(为极小值231 f,)(02 f,)(,),(),(03221xfx都有时和但当.不是极值点所以23x.无法用二阶导数判定., )()(.求极值例xxfabs2)(.xf解01x01x0 x不存在,)(,连续点在xfx00010100)(,)(,xfxxfx右侧在左侧在.)(是极小值00 f.)(.的极值求出函数例593323xxxxf9632xxxf)(.解)()(313xx，令0

5、)(xf.,3121xx得驻点:列表讨论x),(11),(313),(3)(xf )(xf00值大极值小极)( 1f极大值,10)(3f极小值.22.,思路清晰列表讨论,.为何值时试问例a4xxaxf331sinsin)(?处取得极值在3 x.? 并求此极值它是极大值还是极小值.),()(,coscos)(.可导在解xfxxaxf3 ,coscos01233aaf .2 a.sinsin)(xxxf332 .sinsin033323 f .为极大值3 f33132 sinsin.,)(.3230235ababaxxxf其中设例.),(八复习指导 43P.)(有三个实根方程试证0 xf,)(.在

6、全实轴连续可导证xf.,:)(axaxxf210得驻点由xaa)(xf )(xf00值大极值小极baaaf22)(极大值)|(aaab30 baaaf22)(极小值)|(aab 0.)(lim( ,)(xfaxfx内有一个根在a,内有一个根在aaaa,.)(lim( .,xfax内有一个根在,a,)(axxf332二 最大值和最小值问题Mbaxfbaxf上一定有最大值在则上连续在,)(,)(.m和最小值:在下列点上取得最大值和最小值只可能.,mnnnxxxxba11不可导的点驻点端点,的函数值然后比较大小筛选的方法是计算它们., 最小者就是最小值其中最大者就是最大值,.1516xxxy例,.上

7、连续在解15y.xy1211.),15043xy得驻点由,)(655f ,45214343f.)(11 f ,4543fM.)(655 fm),15x?)(.在何处取最小值问函数例05472xxxy.,),(.25420 xxyy连续在解.30 xy得驻点由,),(时当3x., 函数单调减少0 y,),(时当03x., 函数单调增加0 y.),(,上的最小值它是为极小值0273xy.)(.的增减性题通常要研究在开区间内讨论最值问按xf,.现往里加水水的正圆锥形容器内盛有顶角为例kg28b ,kg02tatt时刻的加水量为开始到从 增问水深h?加的速度何时最快.),(常数0bah4 r.,.Vh

8、贮水量为时水深解hhV2431 tan.33h .323htab . )(:)(,thht athht22 注意求导关于.)()(22htathtvh 增加的速度:),()(内的驻点在下面求0tv)()(thhtahatv32222 2322222htahtaha 2322222htahtahatv )(.322412htaha :)(求驻点由0 tv,324hta 233tabh 前页有等式,22334tabta,bta32.abt3,),()(内的唯一驻点在是03tvabt实际问题的,唯一驻点一定是极值点.,增加的速度最快水深时当所以habt3.)(的最大值点即为tv.凹凸区间和拐点,)(.的单调区间求函数例12923xxxxf,极值1223xxxxf)(.解1432xxxf)(, )()(113xx.,:13121xx驻点,)(46 xxf.0323 fx使x3132131,3231,132, 1)(xf )(xf )(xf000值大极值小极点拐,),(连续在x3132131,3231,132, 1)(xf )(xf )(xf000值大极值小极点拐. )(, )(, )(,:增减增单调区间113131 .)(:,:11