高等数学--D44有理函数积分ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 第四节 基本积分法 :换元积分法 ;分部积分法 初等函数求导初等函数积分一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容: 第四章 直接积分法 ;目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 有理函数的积分有理函数的积分)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函数:nm 时,)(xR为假分式;nm 时,)(xR为真分式有理函数相除多项式 + 真分 式分解其中部分分式的形式为kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,(2qpkN若干部分分式之和目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 将下列真分式分解为部分分式将下列

2、真分式分解为部分分式 :;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx.)1)(21 (1)3(2xx解解: (1) 用拼凑法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( xx目录 上页 下页 返回 结束 (2) 用赋值法6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB原式)2(xA2x233xxx5原式)3(xB3x323xxx6故25x原式36x目录 上页 下页 返回 结束 (3) 混合法)1)(21 (12xx xA2121xCBx原式)21 (xA21x54代入等式两端分别令1 ,0 xC5412

3、15461CB52B51C原式 =x214512112xx目录 上页 下页 返回 结束 四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分: CaxAln) 1( nCaxnAn1)(1xaxAd. 1xaxAnd)(. 2xqxpxNxMd. 32xqxpxNxMnd)(. 42) 1,04(2nqp变分子为 )2(2pxM2pMN 再分项积分 pxqpxx2)(2目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求求.)1)(21 (d2xxx解解: 知知)1)(21 (12xx51x214212xx211xxx21)21 ( d52原式221)1 ( d51xx21d51xxx21ln52)1 (ln5

4、12xCxarctan51例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求求.d3222xxxx解解: 原式原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxCx21arctan23考虑考虑: 如何求如何求?d)32(222xxxx提示提示: 变形方法同例3, 并利用书 P363 公式20 .目录 上页 下页 返回 结束 xxxd)4)(1(22)4() 1(22xx例例4. 求求.d4555222423xxxxxxIxxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx

5、2arctan21xCxarctan解解:说明说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法. 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求求.d)22(222xxxx解解: 原式原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1) 1(d2xx222)22()22d(xxxx) 1arctan( x2212xxC目录 上页 下页 返回 结束 常规法 例例6. 求求解解: 原式原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx(见P363 公式21)2arctan2211xx21221 ln

6、21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本题技巧注意本题技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0( x按常规方法解1d4xx第一步 令)(1224dxcxbxaxx比较系数定 a , b , c , d . 得) 12)(12(1224xxxxx第二步 化为部分分式 . 即令) 12)(12(111224xxxxx121222xxDxCxxBxA比较系数定 A , B , C , D .第三步 分项积分 .此解法较繁 !目录 上页 下页 返回 结束 二二 、可化为有理函

7、数的积分举例、可化为有理函数的积分举例设)cos,(sinxxR表示三角函数有理式 ,xxxRd)cos,(sin令2tanxt 万能代换(参考下页例7)t 的有理函数的积分1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分那么目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求求.d)cos1 (sinsin1xxxx解解: 令令,2tanxt 那么222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxdttd122目录 上页 下页 返回 结束 xxxxd)cos1 (si

8、nsin1 2121tt212tt)1 (2211ttttd212tttd122121221tt 2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln21212sinttx2211costtxttxd12d2目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 求求.)0(cossind2222baxbxax解解: 原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabaC说明说明: 通常求含通常求含xxxxcossincos,sin22及的积分时,xttan往往更方便 .的有理式用代换目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求求. )0(d)cossin

9、(12baxxbxa解法解法 1 xttan令原式 dx2)tan(bxax2cos2)(dbtatCbtaa)(1Cxbxaax)cossin(cos目录 上页 下页 返回 结束 xbxacossin例例9. 求求)0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 2 cos,sin2222babbaa令22baxbabxbaacossin2222sincos原式)(cosd1222xxbaCxba)tan(122Cbaxba)arctantan(122baarctan目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 求求.dsinsin1cos2cos423xxxxx解解: 因被积函数关于因被积函

10、数关于 cos x 为奇函数为奇函数, 可可令令,sin xt 原式xx42sinsin1xxxdcos)2(cos2xxx422sinsin1 ) 1(sin4221d) 1(ttttttttd11221213)()d(211ttttCtt3arctan311Cxxsin3cosarctan312xsind目录 上页 下页 返回 结束 2. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令., 的最小

11、公倍数为nmp目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 求求.21d3xx解解: 令令,23xu那么,23 uxuuxd3d2原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2( x323x321ln3xC目录 上页 下页 返回 结束 例例12. 求求.d3xxx解解: 为去掉被积函数分母中的根式为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数取根指数 2 , 3 的的最小公倍数 6 ,6tx 则有原式23tttt d65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令目录 上页 下页 返回 结束 例例13. 求求

12、.d11xxxx解解: 令令,1xxt那么,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 可积函数的特殊类型可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .简便 , 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习如何求下列积分更简便 ?)0(d. 1662axxa

13、xxxxcossind. 23解解: 1.23233)()(d31xax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln612. 原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlnCx2sin121目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P218 3 , 6 , 8 , 9 , 13 , 15, 17 , 18 , 20 , 24第五节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1.求不定积分解：解：.d)1 (126xxx令,1xt 那么,1tx ttxd1d2, 故xxxd)1 (126161t)11 (2tttd)1(2tttd126ttttd)111(224551t331tt