高数52定积分计算二ppt课件

1、 延迟评判原则：延迟评判原则： 延迟评判即不要过早地下结论，延迟评判即不要过早地下结论， 据美国心理学家梅多、教育学家据美国心理学家梅多、教育学家帕内斯研究和调查的结果，帕内斯研究和调查的结果，“延迟评判延迟评判在集体解决问题时可以多产生在集体解决问题时可以多产生 70% 70%的的设想；而在个人解决问题时可以多产生设想；而在个人解决问题时可以多产生 90% 90%的设想。的设想。一、一、 微积分学基本定理微积分学基本定理 一、变上限的定积分一、变上限的定积分 ( (积分上限函数积分上限函数) )及其导数及其导数 )x(Fxdt)t (fbaxba)t (fxa记记为为称称为为积积分分上上限限

2、函函数数。的的函函数数。是是变变动动上上限限的的积积分分，则则，上上可可积积，在在设设函函数数o oabx)x(F)t (fy XY1 1、定义：、定义：5.2 5.2 定积分的计算定积分的计算微积分基本定理微积分基本定理 （P157P157定理定理5.15.1）)x(fdt)t (f)x( Fba)x(F,ba)x(fxa上上可可导导，且且，在在则则积积分分上上限限函函数数上上连连续续，在在设设函函数数)x(FF ax x + xby = f ( t )TYO证明思路：证明思路： 根据导数的定义，根据导数的定义，“求增量、求增量、算比值、取极限算比值、取极限”xxxxxaaxxxaxadt)

3、t (fdt)t (fdt)t (fdt)t (fdt)t (f)x(F)x(F,xx 为为的的增增量量时时有有增增量量当当x)(fdt)t(f,xxxxxx 使使必必有有点点内内，在在区区间间根根据据定定积积分分的的中中值值定定理理证：证：xxx )(fxx)(fxF 算算比比值值：)x(f)x(F)x(f)(flimxFlimxxxxxxx:000即即故故：之之间间必必有有与与夹夹在在时时，取取极极限限：当当 C)x(Fdx)x(fIxa内内的的连连续续函函数数，必必定定有有区区间间babadt)t(fdx)x(f而而C)x(Fdx)x(fdx)x(fxa有有如如下下关关系系：即即：定定积

4、积分分与与不不定定积积分分重要推论：重要推论：xxx 定理说明：定理说明：FFx x是是 f (x) f (x) 的原函数的原函数)x(fdx)x(fdxdxxa关关。故故，也也可可以以写写作作：进进行行的的；与与积积分分变变量量无无）求求导导是是对对上上限限（1数数的的求求导导法法则则求求导导。的的函函数数时时，要要按按复复合合函函）当当积积分分上上限限是是（x2)x(fdt)t(fdxd)x(Fxa3 3、关于函数、关于函数 )x(adt)t (f)x(F dxdududF)x( F)x(u )u(fdt)t (fdud)u( Fuadxdudt)t (fduddxdududF)x( Fu

5、a)x( )u(f )x( )x(f 定理定理 ,x,xCtf 若若 ）内内可可导导在在（b,ax,x ）（ 1 ,xxfdttfdxd)x(c (2) ,xxfdttfdxdcx (3) ,xxfxxfdtxfdxdxx 那么：那么：课本例课本例1 1 求下列函数求下列函数 F(x) F(x) 的导数的导数dtt)x(F)(x2211522322xdtttt)x(F)(xdtttt)x(F5223222211xdtt)x(Fx课本例课本例2 2 2311xadx)x(dF,dtt)x(F求求：6321212xx)x(x解：解：解：解：解：解：2232xxx2xu 设：设：dxdudu)u(d

6、Fdx)x(dFdxdudttdudua311)x(u2311)x(dttsinlimxx30220220322x)x()xsin(limx384438220 xxsinlimx30220 xdttsinlimxx解解型型00补例补例1补例补例2求求2102xdtelimxcostx解解2102xdtelimxcostx型型00 xcostxxdtelim2102x)xsin(elimxcosx220exxsinelimxcosx2122030220 xdttsinlimxx求求补例补例3xcosxsindt)tcos(dxd2 求求)x)(sinxsincos()x)(cosxcoscos(

7、22 xcos)xsincos(xsin)xcoscos(22 )xsincos()xcosx(sin2 解：解：xcosxsindt)tcos(dxd2 xcos)xsincos(xsin)xsincos(22 xcos)xsincos(xsin)xsincos(22 2 2、微积分基本公式牛顿、微积分基本公式牛顿-莱布尼茨公式）（莱布尼茨公式）（N-LN-L公式）公式）)a(F)b(Fdx)x(fba)x(f)x(F,ba)x(fba原原函函数数。则则：上上的的一一个个，在在是是上上连连续续，在在闭闭区区间间设设：)a(F)b(FC)b(Fdt)t(f,bx*ba得得）式式中中令令（bab

8、a)a(F)b(F)x(Fdx)x(f基本公式）基本公式）莱布尼茨公式（微积分莱布尼茨公式（微积分这就是著名的牛顿这就是著名的牛顿 -1 1、P158 P158 定理定理5.25.2证：证：的的原原函函数数，（已已知知）同同是是与与)x(f)x(Fdt)t(fxa0C)a(Fdt)t(fax*aa，得得：）式式中中令令（)a(FC即即：）（所所以以，*C)x(Fdt)t (fxa2 2、N - L N - L 公式的意义公式的意义 （1 1揭示了定积分与不定积分的关系；揭示了定积分与不定积分的关系； （2 2为定积分的计算提供了方便的工具，可以利用不定积分为定积分的计算提供了方便的工具，可以利

9、用不定积分的结果，分别代入上、下限的值相减即可。的结果，分别代入上、下限的值相减即可。3 3、应用举例、应用举例12xdx22112lnlnlnxln102dxx补例补例4 计算计算解解102dxx10331x.31303133补例补例5 计算计算12xdx解解 0 xdxsinA211 0)()(xcos xsiny ,0 x补例补例6 计算计算 在在上与上与轴所围成的平面图形的面积。轴所围成的平面图形的面积。xyxsiny o图图5-9解解 0dxcosx求求： xxcosxxcosxcos220课本例课本例4 4解：解：由定积分的区间可加性由定积分的区间可加性 2200 xdxcosxd

10、xcosdxcosx211022)(xsinxsin 补例补例7 设设 ,xxxxsinxf 或或00021求求 dttfxx0 在在,内的表达式。内的表达式。解解当当0 x时，时， dttfxx0 .dtx000当当 x0时，时， dttfxx0 tdtsinx021xtcos021xcos121当当 x时，时， dttfxx0 dttfdttfx 0 xdttdtsin 0210 021tcos1 .x,x,xcosx,dttfxx 10121000 x0 0仅供参考仅供参考不作要求不作要求 dtttfdxxfba定理定理 (换元公式换元公式) ;b,a 1 满满足足条条件件若若tx,b,

11、aCxf 则有则有证证 ,C)t()t(f,b,aC)x(f.dt)t()t(fdx)x(fba 及及 ，上上具具有有连连续续导导数数，且且或或在在b,at,t 2二二 定积分的换元法定积分的换元法 xtab 仅供参考仅供参考不作要求不作要求).()(dt)t()t(f ).t()t(f)t()x(f dtdxdxdF)t( ,)t(F)t( FF .dt)t()t(f)()()a(F)b(Fdx)x(fba证毕证毕 公公式式由由L-N .aFbFdxxfba aFbF)x(F)x(f设设是是的一个原函数，那么的一个原函数，那么 ,xfxF)t ( 那么那么是是的一个原函数，的一个原函数，)t

12、()t(f ,b)(,a)( 复合而成的函数。复合而成的函数。与与看作是由看作是由)t (x)x(F)t (F)t ( 注意：注意：)()(dt)t ( )t (fdx)x(fba 用用x=(t)把积分变量把积分变量x换成新变量换成新变量t时积分限也要换成相应时积分限也要换成相应 于于t的积分限的积分限;不换元则不换限；不换元则不换限； 换元则换限，不回代。换元则换限，不回代。xtba (2) 求出求出 的一个原函数的一个原函数 不必回代为不必回代为 x 的函数的函数)t()t(f ),t ( 可以直接按可以直接按 t 的函数用的函数用 N L 公式公式计算计算).a(dxxaa0 022解解

13、 022adxxa2 022 tdtcosa2 02212 dt)tcos(a.atsinta422122202 ,tdtcosadx, tsinax则则设设补例补例2 计算计算 205 xdxsinxcos解解205 xdxsinxcos.tdttdtt616106105015设设,xdxsindt,xcost则则xta020 xt20 01换元换限换元换限 补例补例1205 xdxsinxcos或者或者205 )x(cosxdcos616106206 xcos补例补例3 计算计算 053dxxsinxsin ,x,xcosxsin023.,x,xcos;,x,xcosxcos 220 xc

14、osxsin)xsin(xsinxsinxsin2323531 053dxxsinxsin 2232023dx)xcos(xsinxdxcosxsin解：解： 不换元，不换限不换元，不换限 2232023)x(sinxdsin)x(sinxdsin.545252 22520255252xsinxsin ,x,xcosxsinxsinxsin02353 053dxxsinxsin 023xdxcosxsin 052025 xsin注意注意 如果忽略了如果忽略了 ,x,xcosxcos 2则下列计算是错误的：则下列计算是错误的：补例补例4 计算计算.dxxx40122解解,dttdx 则则dxxx

15、40122dtttt312221312321dt)t(3223321313tt,tx, tx21122补例补例5 证明：证明：,a,aC)x(f若若)x(f,)x(f,dx)x(fdx)x(faaa 0 20为偶函数为偶函数 为奇函数为奇函数 xt0413证证 aaaadx)x(fdx)x(fdx)x(f000adx)x(faadx)x(fdt)t(f000adt)t(fadx)x(f)x(f0(1) 假设假设 为偶函数为偶函数, 那么那么)x(f(2) 假设假设 为奇函数为奇函数, 那么那么)x(f.dx)x(fdx)x(faaa02.dx)x(faa0aaaadx)x(fdx)x(fdx)

16、x(f00),x(f)x(f)x(f2,)x(f)x(f0tx定积分的数值定积分的数值与积分变量的字母无关与积分变量的字母无关20201 ;dx)x(cosfdx)x(sinf)( 0022,dx)x(sinfdx)x(sinxf)(补例补例6 假设假设 ,C)x(f10证明证明并由此计算并由此计算 .dxxcosxsinx 021证证(1) 设设,dtdx, tx则则2 dttsinfdx)x(sinf02202 20 dttcosf20 .dxxcosf2020 ;dxxcosfdxxsinfxt02 2 000 td)tsin(f)t(dx)x(sinxf 0dt)t(sinf)t(2) 设设,dtdx, tx则则 00dt)t(sintfdt)t(sinf 021dxxcosxsinx从从而而.dxxcosxsin 0212 0212xcos)x(cosd.)xarctan(cos4220 002dx)x(sinfdx)x(sinxf.dx)x(sinxfdx)x(sinf 00 xt0 0 补例补例7 设设 函数函数0,1- 110 2x,xcos,x,xe)x(fx计算计算 .dx)x(f412解解,dtdx, tx则则设设221412dt)