新人教版七年级数学下第八章二元一次方程组教案

1、8.1二元一次方程组教学目标：使学生掌握二元一次方程、二元一次方程组的概念，会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。使学生了解二元一次方程、二元一次方程组的解的含义，会检验一对数是不 是它们的解。教学重点难点重点：是学生认识到一对数必须同时满足两个二元一次方程，才是相应的二元一次方程组的解。掌 握检验一对数是否是某个二元一次方程的解的书写格式。难点：理解二元一次方程组的解的含义。课时安排1课时教与学互动设计（一）创设情境，导入新课鸡兔同笼问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问鸡兔各几何？学生思考自行解答，教师巡视。最后集体讨论解决方案。设有x只鸡，则有（35

2、 x）只兔子。根据题意得：2x 4（35 x） 94 交流 此时复习一元一次方程的有关概念 ，“元”指什么？ “次”指什么？教师：上面的问题还有其他的方法求解吗？（引入新课）（二）合作交流，解读探究自主探索放学生独立看书、自学教材。想一想上面的问题还有其他的方法求解吗？（若学生想不到，教师要引导学生，要求的是两个未知数，能否设两个未知数列方程求解呢？让学生自己设未知数列方程。）设有x只鸡，有y只兔，根据题意得：x y 352x 4y 941.针对学生列出的这两个方程，引入二元一次方程和二元一次方程组2.二元一次方程、二元一次方程组的解探究 满足x y 35的值有哪些？请填入表中：xy教师：那么

3、什么是二元一次方程组的解呢？学生讨论达成共识：二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的两个方程。即：既是方程的解 又是方程的解.教师：二元一次方程的两个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解。例如：从方案一中我们知道 x 23, y 12能使方程组中的每一个方程成立，所以我们把 x 23叫y 12x y 35次方程组的解是成对出现的，要用大括号连接起做二元一次方程组， 的解。（注意：二元2x 4y 94来，表示“且”。）议一议 将上面“鸡兔同笼”问题的各种方案进行对比，你有哪些想法？（三）应用迁移，巩固提高四在方程2x 3y 6中，（1）用含x的代数式表示y; （2）用含y的代数式表示x。 点

4、拨本题要求学生把二元一次方程化为用意个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，为今后 的代入消元打下基础。一2 一3斛：（1） y -x 2；（2） x 3 - y32逗方程x 3y 10在正整数范围内的解有 组，它们是 点拨本题考察方程组的解，方程组的解有无数个，但在特殊的情况下，有时也就是几组。x 7,备选例题写出一个二元一次方程，使它的一个解为这样的万程唯一吗?y 1,点拨本题考查学生的发散思维能力，答案不唯一。解：不唯一；x y 8（2x y 13, x y 6 等）（四） 总结反思，拓展升华归纳二元一次方程定义：二元一次方程组定义：二元一次方程组的解的定义：（五）课堂跟踪反馈夯实基础

5、32一1 .方程2x 3y 5, xy 3, x 1,3x y 2z 0,x y 6中是二兀一次方程的有（）A. 1 个 B.2 个 C.3 个 yD.4 个1-x21 x3()4, y2 .下列方程组中，是二元一次方程组的是（）x 3 0, 2x y 3,x y 3,A .B.C.D.1,3x 2y 7, 3xy 8,x z 5,3 .下列说法正确的是A.二元一次方程只有一个解B.二元一次方程组有无数个解C.二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解D.二元一次方程组一定有解4 .已知代数式x2 bx c,当x 1时，它的值是2；当x 1时，它的值是8,则b、c的值是 （）A. b 3,

6、c4 B. b 3,c 4 C. b 2, c 5 D. b 2,c 55 .给出两个问题：（1）两数之和为6,求这两个数？ （ 2）两个房间共住 6人，每个房间各住几人？ 这两问题的解的情况是（）A.都有无数解B.有只有唯一解C.都有有限解D. （1）无数解；（2）有限解6.已知x 0,和x 1,是方程2ax by y 2; y 7;4的两组解，则下列各组未知数的值中，是这个方程的解的是x 2,A .B.y 8；x 1, C.y 7;x 2, D.y 8；5 x 2, y 0;7 .二元一次方程2x 5y 2的解的个数是个3x 1.ax 2y 58 .若,是方程组y ,的解，则a ， b y

7、 1;3x by 5;提升能力 22 .9 .已知 m n 35,m n 15,则式子 2(m n ) 450 .10 .已知 |2x 1 (3y 1)2 0,则 x2 ym 1 m 12m n n m 011 .若3x y 与 4 y是同类项，则m , n .开放探究12 .求出方程2x y 9在正整数范围内的解。8.2消元8.2.1代入消元法教学目标：用代入法解二元一次方程组；了解解二元一次方程组是的“消元思想”；“化未知数为已知”的化归思想。教学重点难点重点：灵活地用代入法解二元一次方程组。难点：探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程。课时安排2课时教与学互动设计第1课时（1

8、） 创设情境，导入新课篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部20场比赛中得到38分，那么这个队胜负场数分别是多少？解：设这个队胜x场，根据题意得2x （20 x） 38交流本题我们能否用二元一次方程组来解决？（引入新课）（2） 合作交流，解读探究自主探索 学生自学课本，教师适当加以指导，可以用二元一次方程来解决。在上述问题中，我们可以设出来年感个未知数，列出二元一次方程组，设胜的场数是x场，负的场数是y,x y 202x y 38那么怎么样解二元一次方程组呢？（引入代入消元法概念）（三）应用迁移，巩固提高阿彳|把下列方程写成用含 x的

9、式子表示y的形式：（1）2x y 3;（2） 3x y 1 0解：（1） y 2x 3;（2）y 1 3x.砒2用代入法解方程组:x y 20 y, 2x y 38点拨从题目的结构特征上来看，把（1）式作一个变形。.3x y 12叵口元一次方程组的解中x与y互为相反数，求a的值。4x ay 2点拨：互为相反数的和为零（四）总结反思，拓展升华归纳用代入消元法接二元一次方程组的步骤：（学生自行总结，教师点评）（五）课堂跟踪反馈x 2, x 3,1 .,是方程ax by 30的两组解，贝U a= b=y 3; y 52 .用代入法解下列方程组：y 2x 3,2x y 5,（1） y3x 2y 8;3

10、x 4y 2.3.二元一次方程组x y 5ky的解也是方程2x 3yx y 9k6的解，那么k的值应为3 .有一个两位数，它的十位上与个位上的数的和为5,则符合条件的两位数有 个。4 .小明在解方程组时，遇到了 “做不下去”的题目，你能根据他的解题过程，帮他找出原因吗？解方程组:104x 3y 7, 6x y 1.3x5.若方程组4x1 （由于x消失，无法继续）解：由得y 1 6x, 将代入得6x 1 6xy 12有无数组解，则k与m的值分别为多少?ay 26 .已知方程组y 1 6x和y 1 6x有相同的解，求 y 1 6x的值.7 .已知关于x、y的方程组y 1 6x的解是y 1 6x求y

11、 1 6x的值.第2课时2x1.方程组x（1） 创设情景，导入新课5y 2,，八y如何求解？关键是什么？解题步骤是什么?8 3y2. 把方程2x 7y 8（1）写成用含x的代数式表示y的形式；（2）写成用含y的代数式表示x 的形式.交流教师提出问题，学生独立思考、独立解题 .（引入新课）（2） 合作交流，解读探究自主探索 学生自探课本，教师适当加以指导，可以用二元一次方程组来解决交流你清楚用代入法解二元一次方程呢改组的一般步骤吗？在解题时，我们要熟练的写成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式.（3） 应用迁移，巩固提高例1用代入法解方程组x 2y 03x 2y 8点拨从题目的结构特征上

12、来看，把（1）式作一个变形.回顾这里是消去x,得关于y的一元一次方程，能否消去 y呢？让学生试一试，然后通过比较, 使学生明白本题消 x较简单.例1解方程组2x 7y 8, 3x 8y 10 0点拨本题着两个方程中未知数的系数都不是1,那么如何求解呢？消哪一个未知数呢？如果将（1）写成用一个未知数来表示另一个未知数，那么用x表示y,还是用y来表示x较好.（4） 总结反思，拓展升华归纳对于一般形式的二元一次方程用代入法求解关键是选择哪一贯俄方程变形，消什么元，选取 的恰当往往回使计算简单，而且不易出错，选取的原则是：1、 选择未知数的系数是 1或-1的方程；2、 若未知数的系数都不是 1或-1,

13、选系数的绝对值较小的方程，将要消的元用含另一个未知数的 代数式表示，再把它代入没有变形的方程中去。这样就把二元一次方程组转化为一元一次方程了。对运算的结果养成检验的习惯。ax 2by 2c, 3ax 5by 9c拓展 若关于x、y的方程组y 与y的解相同，且abc 0则a： b：2x y 7 3x y 11c=.（5） 课堂跟踪反馈1 .把方程2x y 5 0化成含y的代数式表示x的形式x=x 3 口2 .在方程3x ay 8中，如果 是它的一个解，那么 a的值为y 13 .已知二元一次方程 2x y 1,若x 2 ,则y=,若y=0,则x=4 .方程x y 2的正整数是x y 1 口5 .方

14、程组的解是2x y 5xA.y1,2B.2,x 1,C.y 2x 2,D.y 12(y 3) 67、若 3xn 2y2 m和(2)x4 myn 1是同类项,x 5y 03x 2y 17贝 U m=, n=7.若 x 2y 1 x y 5 0,则 x=，y=ax by 5,n x 4,8.已知的解是，则bx ay 2 y 3,a2,a2,A.B.b1b 1C.a 2, b 1aD.b2,18.2.2加减消元法教学目标：用加减法解二元一次方程组，解二元一次方程组时的“消元思想”，“化未知为已知”的化归思想。教学重点难点重点：用加减法解二元一次方程组。难点：灵活得对方程进行恒等变形使之便于加减消元。

15、课时安排1课时教与学互动设计（1） 创设情景，导入新课甲、乙、丙三位同学是好朋友，平时互相帮助。甲借给乙10元钱，乙借给丙 8元钱，丙又给甲12元钱，如果允许转帐，最后甲、乙、丙三位同学最终谁欠谁的钱，欠多少？交流教师提出问题，学生独立思考、独立解题.我们知道，对于方程组x y 22可以用代入消元法求解.2x y 40这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？（引入新课）（2） 合作交流，解读探究自主探索 学生自看课本，教师适当加以知道.上面的两个方程中未知数 y的系数相同，-可消去 未知数v,得（2x y） （x y） 40 22 ,即x 18,把x 1

16、8代入得y=4.另外，由-也能消 去未知数y,得（x y） （2x y） 22 40即 x 18把x=18代入得y=4.想一想联系上面的解法，想一想应怎样解方程组4x 10y 3.615x 10y 8分析这两个方程中未知数y的系数互为相反数，因此由+可消去未知数y ,从而求出未知数x 的值 .加减消元法的概念.从上面两个方程组的揭发可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行加减，就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。（3） 应用迁移

17、，巩固提高例 1 用加减法解方程组（1）3x 4y 165x 6y 3314x 3y 842)10x 3y 48 点拨 这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，试一试，能否对方程变形，使得来年感个方程中某个未知数的系数相反或相同。想一想 本题如果用加减法消去x 应如何解？解得结果与上面一样吗？（由学生完成） 练习 xy7解方程组2x y 8（4） 总结反思，拓展升华小结 本节课，我们主要是学习了二元一次方程组的另一解法加减法 .通过把方程组中的两个方 程进行相加减，消去一个未知数，化“二元”为“一元” .（ 1 ）加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么？（

18、2 ）用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？ 师生共析 （ 1 ）加减消元法解二元一次方程组的基本思想是“消元” .（ 2 ）用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：第一步：在所解的方程组中的两个方程中，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数； 如果未知数的系数相等， 可以直接把两个方程两边相减，消去这个未知数 .第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数（选最小公倍数较小的一组系数） ，求出它们的最小公倍数（如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数） ，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值

19、相等 （都等于原系数的最小公倍数） ， 再加减消元 .第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简（去分母，去括号，合并同类项等） ，通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作如上加减消元的考虑.（五）课堂跟踪反馈1. 用加减法解下列方程组：3x 2y 53)4x 3y 14x y 23x 2y 161 )( 2)4x 3y6x 4y7ax 2y bx 12. 已知方程组 的解是求 a 与 b 的值 .x y 2a 1 y 13x y 123. 二元一次方程组的解中 x 与 y 互为相反数，求a 的值 .4x ay 23x 7y 93x y 14. 用加减法

20、解下列方程组：（1）（2）4x 7y 5x 2y 9,. m n 1n 1 3m 2n 5 匚5. 已知x y与 2x y是同类项，求m和n的值.x y 7 一 一 _ 一6. 已知方程组选才i a和c的值，使方程：（1）有一个解；（2）有无数个解；（3）无ax 2y c解.8.3再探实际问题与二元一次方程组教学目标：使学生会探索事物之间的数量，通过方程（组）这个数学模型解决简单的实际问题。教学重点难点重点：能根据题意列二元一次方程组；根据题意找出等量关系；运用二元一次方程解决有关配套与 设计的应用题。难点：正确找出问题中的两个等量关系。课时安排3课时教与学互动设计第1课时（一）创设情景，导入

21、新课养牛场原有30只母牛和15只小牛，1天约需用饲料675kg; 一周后又购进12只母牛和5只小牛，这时 1天约需用饲料940kg.饲养员李大叔估计平均每只牛1天约需饲料1820kg,每只小牛1天约需饲料88kg，你能否通过计算检验他的估计？（二）合作交流，解读探究1 .题中有哪些已知量？哪些未知量？2 .题中（三）应用迁移，巩固提高（四）总结反思，拓展升华小结 用二元一次方程组解实际问题的思路与用一元一次方程组解实际问题是一样的，包括：（1）审题，分析题目中的以知与未知；（2）找出数量关系；（3）设未知数列方程组；（4）求解方程组；（5）检验；（6）写出答案.拓展 在“五.一”黄金周期间，小

22、明、小亮等同学随家人一同到象鼻山游玩，收费标准是：成人35元/张，学生票按成人票五折优惠，团体票（16人以上含16人）按成人票6折优惠。下面是购票时小明与他爸爸的对话。爸爸：大人门票每张 35元学生门票对折优惠，我们共有 12人，共需350元.小 明：爸爸，等一下，让我算算，换一种方式买票是否可以更省钱。（1）小明他们一共去了几个成人？几个学生？（2）请你帮小明算算，用哪种方式买票更省钱？并说明理由（五）课堂跟踪反馈1 .班上有男女同学 32人，女生人数的一半比男生总数少10人，若设男生人数为 x人，女生人数为y人，则可列方程为 2 .甲乙两数的和为10,其差为2,若设甲数为x,乙数为y,则可

23、列方程组为 3 .有甲乙两种电饭锅原来的单价之和为200元，现因市场销售情况的变化.甲商品单价降价15%,乙商品单价提高了 40% ， 调价后， 两种电饭锅的单价和比原来的单价和提高了 12.5% ， 求甲乙两种商品原来的单价各是多少元？第 2 课时（1） 创设情景，导入新课据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1 ： 1.5，现在在一块长200m ，宽 100m的长方形土地上种这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量的比是3 ： 4（结果取整数）？交流在这个题目中，你认为有哪些问题。（2） 合作交流，解读探究问题1. “甲、乙两种作物的单位面积产量比是1

24、： 1.5”是什么意思？2 . “甲、乙两种作物的总产量的比是3 ： 4”是什么意思？3 .本题有哪些等量关系？点拨若甲种作物单位产量是a,那么乙种作物单位产量是多少？分析 如图 8-3-1 所示， 一种种植方案为： 甲、 乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD 和 BCFE.设 AE=x m ， BE=y m ， 根据问题中涉及长度、产量的数量关系， 列方程组x y 200(100xa): (100y 1.5a)3:4解这个方程组得x 106 y 94答：这两个长方形是在长方形ABCD 读地的长边上高 A 约 106 米处把这块地分为两个长方形，较大一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物 .

25、思考 这块地还可以怎样分？练一练 根据市场调查， 某种消毒液的大瓶装（ 500g） 和小瓶装 （ 250g ） 两种产品的销售数量比 （按瓶计算） 为 2： 5.某厂每天生产这种消毒液22.5 瓶， 这些消毒液应该分装大、 小瓶装两种产品各多少瓶？（三） 应用迁移，巩固提高例 1 两种枕木共 300根， 甲种枕木的总重量比乙种枕木的总重量轻1 吨.如果每根枕木甲种重46 千克，乙种重28 千克，两种枕木个多少根？点拨 已知量未知量枕木总根数300甲种枕木每根重46 千克甲种枕木的根数乙种枕木每根重28 千克乙种枕木的根数等量关系：甲种枕木数+乙种枕木数=枕木总数 300乙种枕木总重量-甲种枕木

26、总重量=1000解：设甲种枕木x 根，乙种枕木y 根，根据题意得x y 300, 28y 46x 1000解这个方程组得x 100y 200答：略 .例 2 蔬菜批发站有一批青菜分给两个学校的食堂，甲校食堂分得的 5 倍比乙校食堂分得的 6 倍少10 kg ；甲校食堂分得的 3 倍与乙校食堂分得的 2倍的和是 470 kg. 甲、乙两校食堂分得青菜多少？点拨 题中有两个未知数甲食堂分得的青菜数与乙食堂分得的青菜数.题中有两个相等关系：（ 1）乙校食堂分得的 6 倍-甲校食堂分得的 5 倍=10 kg； （2）乙校食堂分得的2 倍+甲校食堂分得的 3 倍=470 kg.例3某单位外出参观.若每辆

27、汽车坐45人，那么15人没有座位；若每辆汽车坐 60人，则空出一辆 汽车，问共需几辆汽车，该单位有几个人？点拨1.题目中的已知条件是什么？2.“有人没有座位” 是指什么意思？“有空座位”是什么意思？3.基于上述分析，那么已知条件“每辆汽车坐45人，那么15人没有座位”可理解什么？ “每辆汽车坐60人，则空出一辆汽车”又可理解成什么？（由学生通过上述分析，自己设未知数，列方程组求解）备选例题为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍、建 新校舍.拆除旧校舍每平方米需 80元，建造新校舍每平方米需 700元.计划在年内拆除旧校舍与建新校舍 共7200平方米，在实施中为

28、扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的 80%,而拆除校舍则超过了 10%,结果恰好完成了原计划的拆、除的总面积.（1）求原计划拆建面积各多少平方米？ （2）若绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米（四） 总结反思，拓展升华小结 用二元一次方程组解实际问题的步骤是什么？拓展 为了解决农民工子女入学难的问题，重庆市建立了一套进城农民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”.根据统计， 秋季有5000名农民工子女进入主城区中小学学习，预测 秋季 进入主城区中小学学习的农民该子女将比有所增加，其小学增加 20%,中学增加30%,这样， 秋季将新增

29、1160名农民子女在主城区中小学学习 .（1）如果按小学每生每年收“借读费”500元，中学每生每年收“借读费”1000元计算.求 新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”？（2）如果按小学每40名学生配备2名教师，中学每 40名学生配备3名教师，若按 秋季入学后， 农民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需要配备多少名中小学教师？（五）课堂跟踪反馈1 .学校购买35张电影票共用250元，其中甲种票每张 8元，乙种票每张6元，设甲种票x张，乙种 票y张，则列方程组 ,方程组的解是 2 .一根木棒长8米，分成两段，其中一段比另一段长1米，求这两段的长时，设其中一段为x米，另一段为y米，

30、那么列的二元一次方程组为 L3 .一个矩形周长为20cm,且长比宽大2cm,则矩形的长为 cm,宽为 cm.第3课时（一）创设情景，导入新课七年级（5）班在上体育课时，进行、投篮比赛，体育老师做好记录，并统计了在规定时间内投进n个球的人数分布情况，体育委员在看统计表时，不慎将墨水沾到表格上（如下表）进球数n012345投进球的人数127.2同时，已知进球3个和3个以上的人平均每人进 3.5个球； 3 个和4个以下的人平均每人投进 2.5 个球，你能把表格中投进 3个球和4个球对应的人数补上吗？交流 你能不能用二元一次方程组，帮助体育委员把表格中的两个数字补上呢？（引入新课）（二）合作交流，解读

31、探究自主探索学生讨论交流（三）应用迁移，巩固提高例1两台大收割机和五台小收割机，两小时收割3.6公顷，三台大收割机和两台小收割机，五小时收割8公顷，1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？点拨如果1台大收割机和1台小收割机每小时个收割小麦 x公顷和y公顷，那么2台大收割机和 5台小收割机1小时收割小麦 2x+5y公顷，3台大收割机和2台小收割机1小时收害U小麦 3x+5y公顷.例2为了保护环境，某校环保小组成员收集费电池，第一天收集1号电池4节，5号电池5节，总重量为460克，第二天收集1号电池2节，5号电池3节，总重量为240克，试问1号电1和5号电池 分别重多少克？点拨如果1号

32、电1和5号电池分别重x克、y克，则4节1号电和5节5号电池总重量为4x+5y 克，2节1号电和3节5号电池总重量为 2x+3y克.（四） 总结反思，拓展升华小结这节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程，体会到方程组是刻画现实世界的有效模型，从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能拓展 王老师用100元买了 100份奖品，其中一等奖每份5元，二等奖每份3元，三等奖每3份1元，问王老师买了一等奖、二等奖和三等奖的奖品各几分？（五）课堂跟踪反馈1 . 王大伯承包了 25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了 44000元，其中 种茄子每亩用了 1700元，获纯利2400元，种西红柿每亩用了 1800元，获纯利2600元，问王大伯一共 获纯利多少元？2 .一旅游者从下午2时步行到晚上7时，他先走平路，到山顶后又沿原路下山回到出发点，已