北师大版八年级下册第四章因式分解的常用方法(汇总)

1、因式分解常用方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 一、提公因式法.如多项式 am bm cm m(a b c),其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式.二、运用公式法.运用公式法，即用 22a b (a b)(a b), a2 2ab b2 (a b)2, a3 b3 (a b)(a2 ab b2)三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式： am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“

2、局 部”看，这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式=(am an) (bm bn)=a(m n) b(m n)每组之间还有公因式！=(m n)(a b)思考：此题还可以怎样分组？且各组分解后，组与组之间又有公因式可此类型分组的关键分组后，每组内可以提公因式, 以提。例2、分解因式：2ax 10ay 5by bx解法一：第一、二项为一组；第三、四项为一组。解：原式=(2ax 10ay) (5by bx)解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。原式= (2ax bx) ( 10ay 5by)=2a(x 5

3、y) b(x 5y)=(x 5y)(2a b)(二)分组后能直接运用公式22例3、分解因式：x y ax= x(2a b) 5y(2a b)二(2a b)(x 5y)ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。, 一 .一 ,22、解：原式=(xy )(ax ay)=(xy)(xy) a(xy)=(xy)(xy a). 一. 一.2 一. . 22例4、分解因式：a 2ab b c, 一.2 一22解：原式=(a 2ab b ) c22=(a b) c=(a b c)(a b c)练习：分解因式3、x2 x 9y2 3y24、

4、 x2-z 2yz练习：(1) x3 x2y xy2 y3z x 2,2,(2) ax bx bx ax a b(3)x26xy9y216a28a 1(5)a42a3a29/ r 22x2xyxzyz y(9) y(y 2) (m 1)(m 1)22(4) a2 6ab 12b 9b2 4a.2.2. 2. 2(6) 4a x 4a y b x b y(8) a2 2a b2 2b 2ab 1(10) (a c)(a c) b(b 2a)(11) a2(b c) b2(a c) c2(ab) 2abc (12) a3 b3 c3 3abc四、十字相乘法.(一)二次项系数为 1的二次三项式接利用

5、公式x2 (p q)x pq (x p)(x q)进行分解。特点：(1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数的乘积；(3) 一次项系数是常数项的两因数的和。 .2_ 一例5、分解因式：x 5x 6 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6)，从中可以发现只有 2X 3的分解适合，即2+3=5。1 2解：x2 5x 6 = x2 (2 3)x 2 31 -3=(x 2)(x 3)1X2+1 x 3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：x2

6、7x 6解：原式=x2 ( 1) ( 6)x ( 1)( 6)1-1=(x 1)(x 6)1-6(-1) + (-6) = -7练习 5、分解因式(1)x2 14x 24 (2) a2 15a 36 x2 4x 5练习 6、分解因式(1) x2 x 2(2) y2 2y 15 x2 10x 24(二)二次项系数不为 1的二次三项式ax2 bx cc1c2aQ2 azGc1)(a2x c2)条件：(1) a a1a2(2) c c1c2(3) b a1c2 a2c1 分解结果：ax2 bx c= (a1x5例7、分解因式：3x2 11x 10 分析：1、_ -23-5(-6) + (-5) =

7、-11 解：3x2 11x 10 = (x 2)(3x 5)练习7、分解因式：(1) 5x2 7x 62(3) 10x2 17x 323x-2(4) 6y7x 211y10(三)二次项系数为 1的齐次多项式22例8、分解因式：a 8ab 128b分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。8b-16b8b+(-16b)= -8b,2 一一 22_解：a 8ab 128b =a 8b ( 16b)a 8b ( 16b)2练习8、分解因式x2 (四)二次项系数不为1例 9、2x2 7xy1 -2y2 -3y(-3y)+(-4y)= -7y解：原式=(x 2y)(2

8、x练习9、分解因式：(1)=(a 8b)(a 16b)222223xy 2y (2) m 6mn 8n (3) a ab 6b的齐次多项式6y23y)15x27xy综合练习(3)(x10、(1) 8x6y)2 3(x y)7x310(5)5x2y 6x24xy4y2 2x4y(9)4x24xy6x 3y思考:分解因式:2abcx22例 10、x y 3xy 2把xy看作一个整体1-11-2(-1)+(-2)= -3解：原式=(xy 1)(xy 2)4y2(2) a2(2) 12x22(4) (a b)2 2_ 一2x2 6ax 8211xy 15y4a 4b 32.2(6) m 4mn 4n

9、3m 6n 2(8) 5(a b)2 23(a2 b2) 10(a b)210 (10) 12(xc2 )xabcy)222_211(x y ) 2(x y)五、主元法.,一,2例11、分解因式：x 解法一：以x为主元解：原式=x2 x(3y2=xx(3y3xy210y2x 9y5.-22-11) (10y2 9y 2)1) (5y 2)(2y 1)(-5)+(-4)= -9=x (5y 2)x (2y 1)=(x 5y 2)(x 2y 1).-(5y-2)-_(2y-1)-(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)=(2y x 1)(5y x 2)练

10、习11、分解因式(1)x2y2 4x 6y 5 (2)x2 xy 2y2x 7 y 622(3) x xy 6y x 13y 622(4) a2 ab 6b2 5a 35b 367六、双十字相乘法。定义：双十字相乘法用于对 Ax2 Bxy条件：(1) A a1a2, C c1c2, FCy2 Dx Ey F型多项式的分解因式。f2即:(2) a1c2 a2clE , a1f2 a2 flDB, c1f 2c2 fla1 c2a2c1Bc1 f2E, a/a2f1则 Ax2BxyCy2 DxEy F(a1x c1y f1 )(a2xa f2)i r r fn r f. n m， i n -r i

11、 ，i * - ii n m， . r i i i _* m * ii i - r， 一 i ri i , / i t 例12、分解因式(1) x2 3xy 10y2x 9y 22, 2(2) x xy 6y x 13y 6解：(1) x2 3xy应用双十字相乘法：10y2 x 9y 22xy 5xy 3xy , 5y 4y 9y ,x 2x x .原式=(x 5y 2)(x 2y 1),、2-2(2) x xy 6y应用双十字相乘法：xx3xy 2xy xy , 4y 9y 13y,22x 3x x.原式=(x 2y 3)( x2练习12、分解因式(1) x_ 2(2) 6x3y 2)xy

12、2y2 x 7y 6rc 2r227xy 3y xz 7 yz 2z(20052 1)x 2005 2)(x 3)( x 6) x2原式= (x2 设 x2 5x ，原式=(A=(A练习13、分解因式(七、换元法。例13、分解因式(1) 2005x2(2) (x 1)(x解：(1)设 2005=a ,则原式=ax2 (a2 1)x a=(ax 1)(x a)= (2005x 1)(x 2005)(2)型如abcd e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。7x 6)(x2 5x 6) x26 A,则 x2 7x 6 A 2x _22 _22x)A x =A 2Ax x x)2=(x2

13、6x 6)21) (x2 xy y2)2 4xy(x2 y2)(2) (x2 3x 2)(4x2 8x 3) 90 (3) (a2 1)2 (a2 5)2 4(a2 3)2例 14、分解因式(1) 2x4 x3 6x2 x 21,并且系数成“轴对观察：此多项式的牛I点一一是关于x的降哥排列，每一项的次数依次少称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式=x2(2x2x 6 1:)= x2 2(x2二)(x -)6xxxx11设 x 1 t ,则 x23 t2 2xx.原式二x22(t2 2) t 6 = x2 2t2 t 109921

14、=x2 2t 5 t 2 =x2 2x 5 x 2 xx5x 2 x2 2x 1-2 L1 c c 2=x - 2x 5 x x - 2 = 2xxx2 _=(x 1) (2x 1)(x 2)(2) x4 4x3 x2 4x 141 c c解：原式=x x 4x 12 = x xx x1212 一设x- y,则 x y 2 xx,原式=x2 y2 4y 3 = x2 y 1 y 3练习14、（1）=x2 (x6x4 7x31221)(x3)= x2 x 1 x2 3x 1x36x2 7x 6 (2) x4 2x3 x2 12(x x2)八、添项、拆项、配方法。例15、分解因式（1） x3 3x

15、2 4解法1一一拆项。|解法2一一添项。原式=x1 3x2 3:32原式=x 3x4x 4x 4=(x2-11)( xx 1) 3(x 1)(x 1)12=x(x 3x4) (4x 4)=(x2一-1)( xx 1 3x 3)(=x(x 1)(x4) 4(x 1)=(x.、，2、1)( x 4x 4)2=(x 1)(x4x 4)=(x1)(x 2)21=(x 1)( x2)2(2) x9 x6x3 3解：原式=(x9 1) (x6 1)(x3 1)=(x3 1)(x6 x3 1) (x3 1)( x31) (x3 1)=(x3 1)(x6x31 x3 1 1)=(x 1)( x2 x 1)(

16、x6 2x3 3)练习 15、分解因式(1) x3 9x 8(x 1)4(x2 1)2 (x 1)43) x4 7x2 15) x4 y4 (x y)44224) x x 2ax 1 a2222224446) 2a b 2a c 2b c a b c10九、待定系数法。例 16、分解因式分析：原式的前xy 6y 2(x 3y解：设(x2xm)(xx232yxy项x n) 6y2xyx 13y 626y可以分为(x3y)(x 2y) ，则原多项式必定可分为3y m)(xxy 6y 2 x2y13yx 13y n)=x26=x26=(x 3y m)(xxym对比左右两边相同项的系数可得 3nxyn

17、6y26y212m13，mn.原式=(x 3y 2)(x 2y17、 ( 1)当 m 为何值时，多项式63)2 x(m n)x(m n)x解得mx(x y32( 2)如果x ax bx 8有两个因式为 x1 ) 分析 ： 前 两 项 可 以 分 解 为 (x y)(xa)(x解：设x2则 x2y b)2y2ymxmx5y5ya6=(x26=xbm比较对应的系数可得：a5a)(x y(ab)x2y n)(3n 2m)y mn(3n 2m)y mn5y1和y) ，b)(b23或6 能分解因式，并分解此多项式。x 2 ，求 a b 的值。故此多项式分解的形式必为a)y ababm 1 时，原多项式可以分解；当 m 1时，原式 =(x y 2)(x y 3) ；当 m 1时，原式 = (x y 2)(x y 3)32解：设 x3 ax2则 x3 ax2(2)分析： x3 ax2 bx 8是一个三次式，所以