复变函数积分的概念

1、第一节第一节 复变函数积分的概念复变函数积分的概念一、积分的定义三、积分存在的条件及其计算法二、积分的性质四、小结与思考2一、积分的定义一、积分的定义1.有向曲线有向曲线: 设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲线曲线, , 如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作的两个可能方向中的一个作为正方向为正方向( (或正向或正向), ), 那么我们就把那么我们就把C理解为带理解为带有方向的曲线有方向的曲线, , 称为称为有向曲线有向曲线. .xyoAB如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向, .

2、C记记为为3简单闭曲线正向的定义简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线简单闭曲线C的正向的正向是指当曲线上的点是指当曲线上的点P顺此方顺此方向前进时向前进时, , 邻近邻近P点的曲线点的曲线的内部始终位于的内部始终位于P点的左方点的左方. xyoPPPP与之相反的方向就是曲线的负方向与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作常把两个端点中的一个作为起点为起点, 另一个作为终点另一个作为终点, 除特殊声明外除特殊声明外, 正方正方向总是指从起点到终点的方向向总是指从起点到终点的方向.42.积分的定义积分的定义:, ,

3、, , )( 110BzzzzzAnCBADCDzfwnkk 设设分分点点为为个个弧弧段段任任意意分分成成把把曲曲线线的的一一条条光光滑滑的的有有向向曲曲线线终终点点为为内内起起点点为为为为区区域域内内定定义义在在区区域域设设函函数数oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 , ), 2 , 1( 1kkknkzz 上任意取一点上任意取一点在每个弧段在每个弧段 5,)()()( 111knkknkkkknzfzzfS 作作和和式式oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 ,max 1knks 记记 , , 11的的长长度度这这里里kkkkkkzzszzz ( , 0 时时无

4、无限限增增加加且且当当 n , )( , , 记记为为的的积积分分沿沿曲曲线线函函数数那那么么称称这这极极限限值值为为一一极极限限有有唯唯的的取取法法如如何何的的分分法法及及如如果果不不论论对对CzfSCnk .)(limd)(1knkknCzfzzf 6关于定义的说明关于定义的说明: .d)( , )1( CzzfC记记为为那那么么沿沿此此闭闭曲曲线线的的积积分分是是闭闭曲曲线线如如果果 . ),( )( , )2(定积分的定义定积分的定义实变函数实变函数这个积分定义就是一元这个积分定义就是一元而而轴上的区间轴上的区间是是如果如果xuzfbxaxC 7二、积分的性质二、积分的性质复积分与实变

5、函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.;d)(d)()1( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(为常数为常数kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)( ,)( )( , )4(那那末末上上满满足足在在函函数数的的长长度度为为设设曲曲线线估值不等式估值不等式8性质性质(4)的证明的证明 , 1两两点点之之间间的的距距离离与与是是因因为为 kkkzzz , 度度为为这这两两点点之之间间弧弧段段的的长长ks knkkzf 1)( 所以所以 nkkkzf1)( nkkksf1)(

6、 两端取极限得两端取极限得.d)(d)( CCszfzzf nkkksf1)( 因因为为 nkksM1,ML .d)(d)( MLszfzzfCC 所以所以证毕证毕9三、积分存在的条件及其计算法三、积分存在的条件及其计算法1. 存在的条件存在的条件.d)( , )(一定存在一定存在积分积分是光滑曲线时是光滑曲线时是连续函数而是连续函数而如果如果 CzzfCzf证证 ),()()( ttyitxtzzC由参数方程给出由参数方程给出设光滑曲线设光滑曲线正方向为参数增加的方向正方向为参数增加的方向, , BA及及终终点点对对应应于于起起点点及及参参数数 10, 0)( ttz并并且且 , ),(),

7、()( 内内处处处处连连续续在在如如果果Dyxviyxuzf , ),( ),( 内均为连续函数内均为连续函数在在和和那么那么Dyxvyxu , kkki 设设 )( 111 kkkkkkkiyxiyxzzz因为因为 )()(11 kkkkyyixx, kkyix 11knkkzf 1)( 所所以以 nkkkkkkkyixviu1)(,(),( nkkkkkkknkkkkkkkyuxviyvxu11),(),(),(),( , , 都是连续函数都是连续函数由于由于vu根据线积分的存在定理根据线积分的存在定理,12当当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,

8、, , ),( , 下下式式两两端端极极限限存存在在的的取取法法如如何何点点的的分分法法任任何何不不论论对对kkC nkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuzf111),(),(),(),()( Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 13 : ddd )(相相乘乘后后求求积积分分得得到到与与yixzivuzf Czzfd)( Cyixivu)dd)( Cyvyiuxivxudddd.dddd CCyuxviyvxu Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式142. 积分的计算法积分的计算法. d)( 积分来

9、计算积分来计算函数的线函数的线可以通过两个二元实变可以通过两个二元实变 Czzf ttytytxutxtytxvittytytxvtxtytxuzzfCd)()(),()()(),(d)()(),()()(),(d)( tty itxtytxivtytxud)()()(),()(),(.d)()( ttztzf15 ttztzfzzfCd)()(d)(则则光滑曲线光滑曲线相互连接所组成的按段相互连接所组成的按段等光滑曲线依次等光滑曲线依次是由是由如果如果 , , 21nCCCC Czzfd)(.d)(d)(d)(21 nCCCzzfzzfzzf在今后讨论的积分中在今后讨论的积分中, 总假定被积

10、函数是连续的总假定被积函数是连续的, 曲线曲线 C 是按段光滑的是按段光滑的.16例例1 解解 . 43 : ,d 的的直直线线段段从从原原点点到到点点计计算算iCzzC 直线方程为直线方程为, 10,4,3 ttytx ,)43( , tizC 上上在在 ,d)43(dtiz d)43(d102 ttizzC d)43(102 tti .2)43(2i )dd)(d CCyixiyxzz又又因因为为17 ddddd CCCyxxyiyyxxzz这两个积分都与路线这两个积分都与路线C 无关无关, 43 曲曲线线的的是是怎怎样样从从原原点点连连接接到到点点所所以以不不论论iC .2)43(d2i

11、zzC 18例例2 解解. 1 1 (3) ; 1 (2) ; 1 (1) : ,dRe 2的折线的折线再到再到轴到点轴到点从原点沿从原点沿的弧段的弧段上从原点到点上从原点到点抛物线抛物线的直线段的直线段从原点到点从原点到点为为其中其中计算计算ixixyiCzzC (1) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),10()( titttz,d)1(d,Re tiztz 于是于是 CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x19(2) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为xyoi 11iy=x2xy ),10()(2 titttz,d)21(d,Re ttiztz

12、 于是于是 CzzdRe 10d)21(titt1032322 tit;3221i 20 xyoi 11iy=x2xy (3) 积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为),10()( tttz1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为),10(1)( tittz,dd,Re tztz 于于是是,dd, 1Re tizz 于于是是 CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i 21例例3 解解 . 2 : ,d zCzzC圆圆周周为为其其中中计计算算积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(2 iez d2diiez Czzd

13、 20d22 iie)2( z因为因为 20d)sin(cos4 ii. 0 22例例4 解解. , , ,d)(1 010为为整整数数径径的的正正向向圆圆周周为为半半为为中中心心为为以以求求nrzCzzzCn zxyor0z 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 inneri23zxyor0z , 0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d i;2 i , 0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d)sin(cos ninrin; 0 rzznzzz0d)(1 10所以所以 . 0,

14、0, 0,2nni重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关. .24例例5解解. d1 , 43 绝绝对对值值的的一一个个上上界界试试求求积积分分的的直直线线段段为为从从原原点点到到点点设设 CziziC 1)(0 ,)43( ttizC的参数方程为的参数方程为根据估值不等式知根据估值不等式知 Czizd1 Csizd1ittizC)14(311 , 上上因为在因为在2522)14()3(1 tt2592542512 t,35 Czizd1 从而从而 Csd35325 .325d1 Cziz故故5 26四、小结与思考四、小结与思考 本课我们学习了积分的定义、存在条件以本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质及计算和性质. 应注意复变函数的积分有跟微应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质积分学中的线积分完全相似的性质. 本课中重本课中重点掌握复积分的一般方法点掌握复积分的一般方法.27思考题思考题?d)( )( 函数定积分是否一致函数定积分是否一致与一元与一元的积分定义式的积分定义式复函数复函数 Czzfzf28思考题答案思考题答案 , , 是是实实