复变函数2-1复变函数的导数

1、 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换第二章第二章 解析函数解析函数第三讲第三讲 复变函数的导数与解析函数复变函数的导数与解析函数学习要点学习要点掌握复变函数的导数与微分掌握复变函数的导数与微分掌握掌握C-R方程与函数可导的充要条件方程与函数可导的充要条件 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换一一、复复变变函函数数的的导导数数与与微微分分00( )( )f zzf zz则则说说在在 可可导导，此此极极限限值值称称为为在在的的导导数数. .1. 定义定义00( ).wf zDzDzzzD 设设在在区区域域 上上有有定定义义， 为为 中中

2、一一点点，点点00()( )limzf zzf zz 如如果果极极限限存存在在，00000()()()limz zzf zzf zdwfzdzz 记记作作： 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换000.zzzzz 定定义义中中即即的的方方式式是是注注意意任任意意的的：( )( ).f zDfDDz如如果果在在区区域域 内内区区域域 内内可可导导：处处处处可可导导，则则说说在在 内内可可导导问题：问题：复变函数的导数与实变元函数的导复变函数的导数与实变元函数的导数有什么不同？数有什么不同？1例例讨讨论论下下列列函函数数的的可可导导性性. .1)( )2f zxyi2

3、2)( ) |f zz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换0( )f zz解解：的的定定义义域域为为全全体体复复平平面面，在在定定义义域域内内任任取取一一点点 ，则则1.( )2f zxyi000()()limzf zzf zz 00000()2()(2)limzxxyy ixy ixyi 02limzxyixyi 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换002limlim1zzxyixxyix 000,zzyzx 让让沿沿平平行行于于 轴轴的的直直线线趋趋向向 时时，因因故故0022limlim2zzxyiyixyiyi ( )2.f

4、 zxyi所所以以在在其其定定义义域域内内处处处处不不可可导导000,zzxzy 让让沿沿平平行行于于 轴轴的的直直线线趋趋向向 时时，因因故故 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换22.( ) | |f zz 2200()limlimzzf zzf zzzzzz 解解 由导数的定义由导数的定义,有有0lim()zzzzzz 0()()limzzzzzzzz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换(0)0f 且且；0,0,zz 当当时时沿沿着着平平行行于于实实轴轴的的方方向向趋趋于于 时时 有有0lim()zzzzzzzz 0lim()

5、zzzzzzzz 2( )0.f zzz 所所以以在在的的点点处处处处不不可可导导当当z 0时时, 该极限值为零该极限值为零. 故在点故在点z=0处函数可导处函数可导0,z 沿沿着着平平行行于于虚虚轴轴的的方方向向趋趋于于 时时 有有 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换2. 复变函数的微分复变函数的微分000()( ) df zA zf zzz称称为为函函数数在在 处处的的微微分分，或或说说函函数数在在 处处可可微微。与与一一元元函函数数一一样样，复复变变函函数数的的可可导导和和微微分分是是等等价价的的。0000()()()zAfzdwfzzfz dz 若若函函

6、数数在在点点 可可微微，则则，即即00()()(|) (0)wf zzf zA zozz 若若 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换00( )( )f zzf zz若若在在 处处可可导导，则则在在 处处必必定定连连续续；反反之之不不成成立立。3. 可导与连续的关系可导与连续的关系 000000( )()lim( )()lim()zzzzf zf zf zf zzzzz 00000( )()lim()limzzzzf zf zzzzz 00()0fz 证：因为证：因为0( ).f zz故故在在 处处连连续续 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与

7、积分变换1.( )0 ()cc 为为复复数数2. ( )( )( )( )f zg zfzg z3. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )f z g zfz g zg z f z4. 求导法则求导法则2( )( ) ( )( ) ( )4. ( ( )0)( )( )f zfz g zg z f zg zg zgz 5. ( )( )( )( )f g zfw g zwg z其其中中16.( )( ),( )( ).fzwf zzww 是是两两个个互互为为反反函函数数的的单单值值函函数数 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换二、二、 Cauchy-Riema

8、nn方程方程复变函数的可导性不等价于它的实部和虚复变函数的可导性不等价于它的实部和虚部的可微性。部的可微性。那么什么条件下复变函数才能可导呢？那么什么条件下复变函数才能可导呢？00000( )()()()limzwf zzf zzf zfzz 若若在在 处处可可导导，故故由由导导数数定定义义，00ilim.ixyuvxy 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换000i ()limixzuvuvfzxxx 当当沿沿平平行行于于实实轴轴的的直直线线趋趋于于 时时，000i()limi.iyzuvvufzyyy 当当沿沿平平行行于于虚虚轴轴的的直直线线趋趋于于 时时，比较

9、以上两式即得比较以上两式即得,uvvuxyxy Cauchy-Riemann方程方程 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换( )( , )( , )( )f zu x yiv x yDf zD设设定定义义在在区区域域 内内，则则在在 内内一一点点可可导导的的充充要要条条件件是是：定理：复变函数在一点可导的充要条件定理：复变函数在一点可导的充要条件2,uvuvxyyx 在在该该点点满满足足柯柯西西黎黎曼曼方方程程：1( , ), ( , )( , )u x y v x yx y 在在点点处处可可微微； 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变

10、换证明：充分性证明：充分性( , ), ( , )( , )u x y v x yx yCR 设设在在点点处处可可微微，且且方方程程成成立立( , )x y则则在在点点处处有有1,uuuxyxv 2vvvxyxv 2212,xy 其其中中是是关关于于的的高高阶阶无无穷穷小小,uvuvabxyyx 设设 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换1212()()()()fui va xb yi b xa yaibxi yi 则则0( )limzf zuvvuaibiizxxyy 所以所以0( )(lim0)zf zaibz 12ixi y 这这里里，于是，有于是，有 哈尔

11、滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换必要性必要性( )f zDDzxiy设设在在 内内解解析析，则则在在 内内任任意意一一点点处处可可导导，且且00()( )( )( )limlimzzf zzf zf zfzzz ( ),( ),f zui v fzabi 令令( )() ()()(|)f zui vaibzzaibxi yoz 有有0( )( )(lim0)zf zfzzz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换(|)ua xb yoz ；(|)vb xa yoz ；( , ), ( , )u x y v x yz于于是是可可得得在在

12、点点可可微微, ,且且,uvuvabxyyx C-R方程方程2( ).f zxiy讨讨论论函函数数的的可可导导性性( )0f zxyz 讨讨论论函函数数在在的的可可微微性性例例2例例3 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换2( , ), ( , ),u x yx v x yy因因为为所所以以1,0,0,2uuvvyxyxy( , )( , ),u x yv x y和和在在复复平平面面上上处处处处可可微微120uvyxyCRuvyx 由由方方程程12y21,( )Im( )=2f zxiyz因因此此仅仅在在直直线线上上的的各各点点可可导导例例2 解解 哈尔滨工程大学

13、哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换( , ), ( , )0u x yxy v x y 由由于于所所以以0(,0)(0,0)(0,0)lim0(0,0)xyxuxuuvx 0(0,)(0,0)(0,0)lim0(0,0)yxyuyuuvy ()(0)x yfzfzxi y ( )0f zxyz 讨讨论论函函数数在在的的可可微微性性例例3解解但是由于但是由于满足满足C-R方程；方程； 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换00limlim(1)1xxy k xx yk x xkxi yxkiki 而而k随随着着 值值不不同同，极极限限值值也也不不同同

14、，故故极极限限不不存存在在( )0.f zz 所所以以在在处处不不可可微微( , ), ( , )u x y v x y常常用用是是否否有有连连续续的的偏偏导导数数来来代代替替是是否否可可微微为什么满足为什么满足C-R方程，函数还方程，函数还不可微（导）？不可微（导）？因为因为C-R方程只是必要条件方程只是必要条件 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换222222( , )( , )-0( , )( , )00wu x yiv x yCRxyxyxyu x yv x yxy 验验证证是是否否满满足足方方程程，并并讨讨论论其其可可导导性性，其其中中( )( , )(

15、 , )00 0f zu x yiv x yzuvuvCRxyyx 在在点点满满足足方方程程：，解解：( , )( , )(0,0)( )0,.u x yv x yf zz 但但、在在点点不不连连续续，所所以以复复变变函函数数在在不不连连续续 从从而而不不可可导导例例4 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换000( )( )1. f zzzf zz如如果果函函数数在在 及及 的的邻邻域域内内处处处处可可定定义义：导导，则则称称在在 解解析析三、解析函数三、解析函数00( )( ).f zzzf z如如果果在在 不不解解析析，则则为为的的奇奇点点称称( )( ).f

16、 zf z在在区区域域内内可可导导在在区区域域内内解解析析注意注意( )( ).f zf z在在一一点点处处可可导导在在该该点点处处解解析析 ( )( )( ).f zDf zDf zD如如果果在在区区域域 内内每每一一点点解解析析，称称在在内内解解析析，或或称称是是 内内的的一一个个解解析析函函数数 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换22( ),( )21( )5( )f zzf zxyif zzf zz分分别别讨讨论论函函数数的的，例例的的解解析析性性2( )0.f zzz仅仅在在处处可可导导，在在其其他他点点处处都都不不可可导导，它它在在复复平平面面上上处

17、处处处不不解解析析( )2f zxyi在在复复平平面面内内不不可可导导，所所以以复复平平面面内内是是处处处处不不解解析析的的；2( ) f zz 因因为为在在复复平平面面内内处处处处可可导导，所所以以在在复复平平面面内内是是解解：解解析析的的； 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换210( )zfzz 由由求求导导法法则则知知，当当时时，10( )0.zf zzz 所所以以除除外外，在在复复平平面面上上处处处处解解析析，是是它它的的奇奇点点1( )f zz 考考虑虑 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换,uvuvxyyx 定理定理2.

18、 函数解析的充要条件函数解析的充要条件( )( , )( , )f zu x yiDv x y函函数数在在定定义义域域内内解解析析其其的的充充要要条条件件是是1( , ), ( , )u x y v x yD 在在 内内可可微微; ;2( , ), ( , )-u x y v x yCRD 在在满满足足内内方方程程00( )( , )( , )f zu x yiv xDyzDz 函函数数在在解解析析的的充充要要条条件件只只需需把把定定理理中中的的“”改改点点内内的的某某个个成成“邻邻域域”即即可可。注：注： 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换( ) uvvvfz

19、iixxyxuuvuiixyyy 注解注解:1. 解析函数解析函数(可导函数可导函数)的实部和虚部不是完全的实部和虚部不是完全 独立的，它们是柯西独立的，它们是柯西-黎曼方程的一组解；黎曼方程的一组解；2. 柯西柯西-黎曼条件是复变函数解析的必要条件黎曼条件是复变函数解析的必要条件 而非充分条件；而非充分条件；3. 解析函数的导数有更简洁的形式：解析函数的导数有更简洁的形式： 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换( ), ( ).Df zg z在在区区域域 内内，解解析析，则则其其和和、差差、积积、商商（分分母母为为零零的的点点除除外外）仍仍解解析析( )( )(

20、 ), ( ).hg zDwf hGzDhg zGwf g zD 设设在在 内内解解析析，在在 内内 解解析析，又又对对每每一一个个，对对应应的的则则复复合合函函数数在在 内内解解析析定理定理1定理定理2 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换1011.( ).nnnP za za za 多多项项式式在在整整个个复复平平面面内内处处处处解解析析( )2.( )0( )P zQ zQ z 有有理理分分式式函函数数在在的的区区域域内内解解析析. .有用的结论有用的结论 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换,(1) ( ), (2) ( )(

21、cossin )(3)Re( )xf zzf zeyiywzz 判判定定下下列列函函数数在在何何处处可可导导 何何处处解解析析？2222( )(), , ,f zxaxybyi cxdxyya b c d设设问问常常数数取取何何值值时时，在在复复平平面面内内处处处处解解析析？( )( ).fzDf zD 如如果果在在区区域域 内内处处处处为为零零， 那那么么在在 内内为为一一常常数数例例6例例7例例8 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换1,0,0,1uuvvxyxy CRwz可可知知：方方程程不不满满足足，所所以以在在复复平平面面内内处处处处不不可可导导。例例6

22、解：解：(1)( ),( , ), ( , )f zzu x yx v x yy 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换cosxveyy ( ).f z所所以以在在复复平平面面内内处处处处解解析析(2) ( )(cossin )xf zeyiy( , )cos , ( , )sinxxu x yey v x yeycos ,xueyx sinxueyy sin ,xveyx ,uvuvxyyx 从从而而上上面面四四个个偏偏导导数数都都连连续续， 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换2Re( )()wzzxiyxxxyi2 ,0,uuvv

23、xyxxyxy0,xyCR但但只只有有时时 它它们们才才满满足足方方程程(3)Re( )wzz 2( , ), ( , )u x yx v x yxy所所以以,此此四四个个偏偏导导数数处处处处连连续续Re( )0,.wzzz因因而而在在处处可可导导但但在在复复平平面面内内处处处处不不解解析析 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换2,22,2uuxayaxybxyvvcxdydxyxy2222( )(), , ,f zxaxybyi cxdxyya b c d设设问问常常数数取取何何值值时时，在在复复平平面面内内处处处处解解析析？例例7解：解：2222xaydxy

24、axbycxdy 令令，2,1,1,2( ).abcdf z 故故当当时时，在在复复平平面面内内处处处处解解析析 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换0uuvvxyxy故故( )( ).fzDf zD 如如果果在在区区域域 内内处处处处为为零零， 那那么么在在 内内为为一一常常数数例例8证明：证明：D因因为为在在区区域域 内内1( )0uvuvfzixyiyyu0,0vvuiixxyy即即( ).f zD从从在在 内内为为一一常常数数( , )( , )u x yv x y 常常数数常常数数 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换练习：练习：1.( )( ,0)( ).azbf zc dczdf z 设设至至少少有有一一个个不不为为