材料力学应力分析

1、材料力学材料力学应力状态应力状态材料力学材料力学应力状态应力状态材料力学材料力学应力状态应力状态1 1 概述概述dx、dy、dz（微小的正六面体）（微小的正六面体）单元体某斜截面上的应力就代表了构件内对单元体某斜截面上的应力就代表了构件内对应点同方位截面上的应力。应点同方位截面上的应力。过一点不同方向面上应力的集合，过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的称之为这一点的材料力学材料力学应力状态应力状态1 1 概述概述BCDB、C单向受力单向受力，0 0A纯剪切纯剪切， 0 0D既有既有 ，又有，又有PABCD材料力学材料力学应力状态应力状态FF示例一示例一横截面横截面111AF1 1 概述

2、概述材料力学材料力学应力状态应力状态190FF斜截面斜截面1n同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式。同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式。1 1 概述概述材料力学材料力学应力状态应力状态示例二示例二：Fl/2l/2横截面横截面5432154321横截面横截面1 1 概述概述材料力学材料力学应力状态应力状态54321543211横截面横截面2F4FlMzzzxWM122x22331 1 概述概述材料力学材料力学应力状态应力状态xzyzxyzxxzxyyxyzzy1 1 概述概述材料力学材料力学应力状态应力状态主平面上的正应力主平面上的正应力单元体上切应力为零的平面单元体上切应力为零的平面

3、 通过任意的受力构件中任意一点，总可以找到三个通过任意的受力构件中任意一点，总可以找到三个相互垂直的主平面，因此每一点都有三个主应力，以相互垂直的主平面，因此每一点都有三个主应力，以1 1， 2 2 和和 3 3 表示，且表示，且1 1 概述概述材料力学材料力学应力状态应力状态3121 1 概述概述材料力学材料力学应力状态应力状态三个主应力三个主应力1 1， 2 2 和和 3 3 全部不为零的应力状态全部不为零的应力状态称为称为三向（空间）应力状态三向（空间）应力状态。1 1 概述概述定义定义：三个主应力三个主应力1 1， 2 2 和和 3 3 中两个不为零的应力状中两个不为零的应力状态称为态

4、称为二向（平面）应力状态二向（平面）应力状态。三个主应力三个主应力1 1， 2 2 和和 3 3 中一个不为零的应力状中一个不为零的应力状态称为态称为单向应力状态单向应力状态。材料力学材料力学应力状态应力状态xyxyxyxxy1 1 概述概述材料力学材料力学应力状态应力状态材料力学材料力学应力状态应力状态材料力学材料力学应力状态应力状态 方向角与应力分量的正负号约定方向角与应力分量的正负号约定 单元体的局部平衡单元体的局部平衡 平面应力状态中任意方向面上的平面应力状态中任意方向面上的 正应力与切应力正应力与切应力 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态xxxx

5、拉为正拉为正压为负压为负2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态 使单元体使单元体或其局部顺时或其局部顺时针方向转动为针方向转动为正；反之为负。正；反之为负。 yx xy2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态 由由x正向正向逆时针转到逆时针转到n正向者为正；正向者为正；反之为负。反之为负。ntyx 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态efa 平衡对象平衡对象用用ef斜截面截取的单元体局部斜截面截取的单元体局部dA dAcos dAsin xyx yyx xy efyyxxxy2 2 平面应力状

6、态分析平面应力状态分析a材料力学材料力学应力状态应力状态参加平衡的量参加平衡的量 应力乘以其作用的面积应力乘以其作用的面积平衡方程平衡方程 0 nF 0 tF及及efadA dAcos dAsin yxyxyx yxyxyx 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态 - -cos)cos(dAx- - ydA(sin )sin 0dA dA(cos )sinxy dA(sin )cosyx0 nFefadA dAcos dAsin yxyxyxyxyxyx 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析2sin2cos22xyyxyx-材料力学材料力学应力状态应力状态

7、- dA xdA(cos )sin xydA(cos )cos- - ydA(sin )cos- - yxdA(sin )sin 0 0 tFefadA dAcos dAsin xyyxyxyxyxyx 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析2cos2sin2xyyx-材料力学材料力学应力状态应力状态解得：解得：2sin2cos22xyyxyx-2cos2sin2xyyx-用用 斜截面截取，此截面上的应力为斜截面截取，此截面上的应力为22sin2cos22xyyxyx-2cos2sin2xyyx-2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态x yyx xy因此因此

8、-yx即单元体两个相互垂直面上即单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数。的正应力之和是一个常数。即又一次证明了切应力的互等定理。即又一次证明了切应力的互等定理。2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态x y 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析2sin2cos22xyyxyx-2cos2sin2xyyx-02cos2sin2xyyx-yxxy-22tan0材料力学材料力学应力状态应力状态 将上式对将上式对 求一次导数，并令其等于零，有求一次导数，并令其等于零，有 由此解出的角度由此解出的角度角度角度 与与 0 具有完全一致的形式。这表明，主应力具具有完

9、全一致的形式。这表明，主应力具有极值的性质，即当坐标系绕有极值的性质，即当坐标系绕z轴轴(垂直于垂直于xy坐标面坐标面)旋旋转时，主应力为所有坐标系中正应力的极值。转时，主应力为所有坐标系中正应力的极值。 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析2sin2cos22xyyxyx-02cos22sin）（-xyyxyxxy-22tan00材料力学材料力学应力状态应力状态 平面应力状态的三个主应力平面应力状态的三个主应力 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析2sin2cos22xyyxyx-yxxy-22tan0020 xyyxyx22)2(2-xyyxyx22)2(2- 0 xyyxyx22

10、)2(2-xyyxyx22)2(2- 材料力学材料力学应力状态应力状态2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析0 xyyxyx22)2(2-xyyxyx22)2(2- 321 ，321 材料力学材料力学应力状态应力状态由此得出另一特征角，用由此得出另一特征角，用 1 1表示表示对对 求一次导数，并令其等于零，得到求一次导数，并令其等于零，得到 与正应力相类似，不同方向面上的切应力亦随着坐标的旋与正应力相类似，不同方向面上的切应力亦随着坐标的旋转而变化，因而剪应力亦可能存在极值为求此极值，将转而变化，因而剪应力亦可能存在极值为求此极值，将 面内最大切应力面内最大切应力 2 2 平面应力状态分析平

11、面应力状态分析2cos2sin2xyyx-02sin22cos）（xyyx-xyyx22tan1-材料力学材料力学应力状态应力状态得到得到 x x y y 的极值的极值 需要特别指出的是，上述切应力极值仅对垂直需要特别指出的是，上述切应力极值仅对垂直于于xyxy坐标面的方向面而言，因而称为面内坐标面的方向面而言，因而称为面内最大切应最大切应力力与面内与面内最小切应力最小切应力。二者不一定是过一点的所有。二者不一定是过一点的所有方向面中切应力的最大和最小值。方向面中切应力的最大和最小值。 面内最大切面内最大切应力应力 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析xyyx22tan1-2cos2sin

12、2xyyx-22421xyyx- 材料力学材料力学应力状态应力状态 为确定过一点的所有方向面上的最大切应力，可以为确定过一点的所有方向面上的最大切应力，可以将平面应力状态视为有三个主应力（将平面应力状态视为有三个主应力（1、2、3）作）作用的应力状态的特殊情形，即三个主应力中有一个等于用的应力状态的特殊情形，即三个主应力中有一个等于零。零。 考察单元体三对面上分别作用着三个主应力考察单元体三对面上分别作用着三个主应力（123 0）的应力状态。）的应力状态。 过一点所有方向面中的最大切应力过一点所有方向面中的最大切应力 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态 考

13、察单元体三考察单元体三对面上分别作用着对面上分别作用着三个主应力三个主应力（123 0）的应力状态。的应力状态。 过一点所有方向面中的最大切应力过一点所有方向面中的最大切应力 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态x=3, ,y=2，xy022421xyyx- 这就是这就是组方向面内的最大切应力组方向面内的最大切应力。232 在平行于主应力在平行于主应力1方向的任意方向面方向的任意方向面上，正应上，正应力和切应力都与力和切应力都与1无关。因此，当研究平行于无关。因此，当研究平行于1的这的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一一组方向面上的应力时，所研

14、究的应力状态可视为一平面应力状态：平面应力状态： 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态 在平行于主应力在平行于主应力2方向的任意方方向的任意方向面向面上，正应力和切应力都与上，正应力和切应力都与2无无关。因此，当研究平行于关。因此，当研究平行于2的这一组的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：态可视为一平面应力状态： x=1, ,y=3，xy0。 22421xyyx- 132这就是这就是组方向面内的最大切应力组方向面内的最大切应力。2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态

15、x=1, ,y=2，xy0。 22421xyyx- 122 在平行于主应力在平行于主应力3方向的任意方方向的任意方向面向面上，正应力和切应力都与上，正应力和切应力都与3无无关。因此，当研究平行于关。因此，当研究平行于3的这一组的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：态可视为一平面应力状态： 这就是这就是组方向面内的最大切应力组方向面内的最大切应力。2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态 一点应力状态中的最大切应力，必一点应力状态中的最大切应力，必然是上述三者中最大的，即然是上述三者中最大的，即 12213

16、223213max2 过一点所有方向面中的最大剪应力过一点所有方向面中的最大剪应力 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态材料力学材料力学应力状态应力状态2sin2cos2)2(xyyxyx-2cos2sin2xyyx-2sin2cos22xyyxyx-2cos2sin2xyyx-(1)(2)2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态22222)2()2(-xyyxyxRcxyyx22)2(-2yxa),(aa2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态 在在 - 坐标系中，标定与单元体坐标系中，标定与

17、单元体A、D面上面上 应力对应的点应力对应的点a和和d 连连ad交交 轴于轴于c点，点，c即为圆心，即为圆心，cd为应为应力圆半径。力圆半径。 yADa( x , xy)d( y , yx)cR xy 2xyyx22)2(-2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析 yx xyx材料力学材料力学应力状态应力状态OCa( x , xy) y yxB y yxBd( y , yx)建立坐标系建立坐标系由面找点由面找点确定圆心和半径确定圆心和半径 xyA y yxDxx xyAx xyA y yxB y yxD2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学0 CD1( x , xy)D2(

18、y , yx)x2 n E( , F2 0 0-2cos2sin22cos)2cos(2sin)2cos()22sin()22(180sin0000 xyyxoRRRREF-2sin2cos22)2sin2sin2cos2(cos2)22cos(2)22(180cos20000 xyyxyxyxyxoyxRRRFCOCOF2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态材料力学材料力学应力状态应力状态应力圆上某一点的坐标应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向上的正应力值对应着单元体某一方向上的正应力和切应力和切应力 y yx xyxckK),(aa2 2 平面应力状态分析平面应力状

19、态分析材料力学材料力学应力状态应力状态yx应力圆上的半径旋转方向与单元应力圆上的半径旋转方向与单元体上方向面法线旋转方向一致；体上方向面法线旋转方向一致；nt CaA Ak2 应力圆上的半径转过的圆心角应力圆上的半径转过的圆心角是单元体上方向面旋转角度的两倍。是单元体上方向面旋转角度的两倍。x , xy)DEo2 p2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态 xy x y yxA AD oc2 pad1A1B1oA10cAc 2yxxyyx22)2(- 1oB10cBc -2yxxyyx22)

20、2(-2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态 oc2 pad12 o13 o232 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态 yx x y xyA AD oc2 pad p( x , xy)yxxyp-22tan22yxxxyptg- 负号表示从主应力的正方向到负号表示从主应力的正方向到x轴的正方向为顺时转向轴的正方向为顺时转向g2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态偏小（偏小（x和和y中中小的）、小的）、偏大（偏大（x和和y中大的）中大的） ，夹角不比，夹角不比450大大xy，则，则maxx的夹角

21、小于的夹角小于450。2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态 x xAD odacxyy45x245245beBE2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态xyBE x x x xy yx yBE2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态 45 方向面既有正应力又方向面既有正应力又有切应力，但正应力不是最大有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。值，切应力却最大。2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态 o a (0, )d(0,- )A ADbec245245 y

22、 x BE2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态 x y BE BE2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态45 方向面只有正应力没有切方向面只有正应力没有切应力，而且正应力为最大值。应力，而且正应力为最大值。2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态40MPa30MPa60 例例21：一点处的平面应力状态如图所示。已知一点处的平面应力状态如图所示。已知 ,30-,60MPax.30MPaxy-试求试求（1） 斜面上的应力；斜面上的应力；（2）主应力、主平面；）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元

23、体。）绘出主应力单元体。,40MPay-A AD2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态40MPa30MPa60 （1） 斜面上的应力斜面上的应力2sin2cos22xyyxyx-2cos2sin2xyyx-)60sin(30)60cos(2406024060-MPa02. 9)60cos(30)60sin(24060-MPa3 .58-（一）、解析法（一）、解析法2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析解：解：材料力学材料力学应力状态应力状态（2）主应力、主平面）主应力、主平面40MPa30MPa60 2yxxyyx22)2(-MPa3 .682yxxyyx2

24、2)2(- MPa3 .48-MPaMPa3 .48, 0,3 .68321-2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态主平面的方位：主平面的方位：40MPa30MPa60 yxxyptg-22406060-6 . 0,48.151p48.1059048.152p哪个主应力对应于哪一个主方向，可以采用以下方法：哪个主应力对应于哪一个主方向，可以采用以下方法：2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态MPa60主应力主应力 的方向：的方向：3主应力主应力 的方向：的方向：1+MPa30,5 .151pMPa40+MPa305 .1052

25、p2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态（二）、图解法（二）、图解法40MPa30MPa60 o )30,60(-a)30,40(-dcb60) 3 .58,02. 9(-MPa3 .681MPa3 .483-fep2)0,10(MPaR31.58)23030()2)40(60(22-6 . 022-yxxyptg48.15p解：解：2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态1p13主应力单元体：主应力单元体：MPaMPa3 .48, 0,3 .68321-2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态三

26、向应力状态如三向应力状态如图所示，图中应力的单位图所示，图中应力的单位为为MPa。例例2-22-2主应力及单元主应力及单元体内的最大切应力。体内的最大切应力。2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态故单元体上平行于故单元体上平行于 的方向面上的应力值与的方向面上的应力值与 无关。因此，当确定这一组方向面上的应力，以无关。因此，当确定这一组方向面上的应力，以及这一组方向面中的主应力及这一组方向面中的主应力 和和 时，可以将所时，可以将所给的应力状态视为平面应力状态。给的应力状态视为平面应力状态。 所给的应力状态中有一个主应力是已知的，即所给的应力状态中有一个主应力

27、是已知的，即60MPa2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态 本例中本例中 x x=20 MPa， xyxy=40 MPa。据此，求得。据此，求得 622662010120 10440 10Pa=31.23MPa22- -622662010120 10440 10Pa51.23MPa22- - -60MPa0421222xyxx0421222- xyxx2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态根据根据 1 2 3的排列顺序，可以写出的排列顺序，可以写出 MPa2351MPa2331MPa60321.-单元体内的最大切应力单元体内

28、的最大切应力 55.6MPaMPa1055.6Pa21023511060266631max-.622662010120 10440 10Pa=31.23MPa22- -622662010120 10440 10Pa51.23MPa22- -60MPa2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学材料力学应力状态应力状态lx t （壁厚为（壁厚为，内直径为，内直径为D， 23 0）的）的应力状态。应力状态。 空间应力状态概念空间应力状态概念材料力学材料力学应力状态应力状态由由 2 、 3可作出应力圆可作出应力圆 I 3 2II 1 2 3 三向应力状态的应力圆三向应力状态的应力圆空间应力状态概

29、念空间应力状态概念材料力学材料力学应力状态应力状态由由 1 、 3可作出应力圆可作出应力圆IIIIII 1 3III 2 3O 2 3 1空间应力状态概念空间应力状态概念材料力学材料力学应力状态应力状态IIIO 3由由 1 、 2可作出应力圆可作出应力圆 IIIIII 2 1III 2 1 3空间应力状态概念空间应力状态概念材料力学材料力学应力状态应力状态 1III 3III 2O 单元体任单元体任意方向面上的意方向面上的应力对应着三应力对应着三个应力圆之间个应力圆之间某一点的坐标。某一点的坐标。空间应力状态概念空间应力状态概念材料力学材料力学应力状态应力状态 1III 3III 2O 最大切

30、应力最大切应力tmax空间应力状态概念空间应力状态概念tmax13max2材料力学材料力学应力状态应力状态空间应力状态概念空间应力状态概念 例例3-1 ：求图示应力状态的主应力和最大切应力。求图示应力状态的主应力和最大切应力。（应力单位为（应力单位为MPa）。）。材料力学材料力学应力状态应力状态空间应力状态概念空间应力状态概念MPa2 .422 .524022030220302231-MPa502max.-132472MPa材料力学材料力学应力状态应力状态空间应力状态概念空间应力状态概念例例3-2 试根据图试根据图a所示单元体各面上的应力作出应所示单元体各面上的应力作出应力圆，并求出主应力和最

31、大切应力的值及它们的作力圆，并求出主应力和最大切应力的值及它们的作用面方位。用面方位。(a)材料力学材料力学应力状态应力状态空间应力状态概念空间应力状态概念解解: 1. 图图a所示单元体上正应力所示单元体上正应力 z=20 MPa的作用面的作用面(z截面截面)上上无切应力，因而该正应力为主应力。无切应力，因而该正应力为主应力。 2. 与主平面与主平面z截面垂直的各截面上的应力与主应力截面垂直的各截面上的应力与主应力 z无关，故无关，故可画出显示与可画出显示与z截面垂直各截面上应力随截面方位角变化的应力截面垂直各截面上应力随截面方位角变化的应力圆。圆。(a)材料力学材料力学应力状态应力状态空间应

32、力状态概念空间应力状态概念从圆上得出两个主应力从圆上得出两个主应力46 MPa和和-26 MPa。这样就得到了包。这样就得到了包括括 z=20 MPa在内的三个主应力。他们按代数值大小排序为在内的三个主应力。他们按代数值大小排序为 146 MPa， 220 MPa， 3-26 MPa。(b)(a)3. 依据三个主应力值作出的三个应力圆如图依据三个主应力值作出的三个应力圆如图b所示。所示。材料力学材料力学应力状态应力状态空间应力状态概念空间应力状态概念2a034可知为可知为a017且由且由x截面逆时针转动，如图截面逆时针转动，如图c中所中所示。示。(c)(b)材料力学材料力学应力状态应力状态o

33、max20030050(MPa)平面应力状态的主应力平面应力状态的主应力 1 1、 2 2 、 3 3和最大切应和最大切应 力力 max。空间应力状态概念空间应力状态概念材料力学材料力学应力状态应力状态O 2005030050(MPa) max平面应力状态的主应力平面应力状态的主应力 1 1、 2 2 、 3 3和最大切应力和最大切应力 max。材料力学材料力学应力状态应力状态 O300100(MPa) max平面应力状态的主应力平面应力状态的主应力 1 1、 2 2 、 3 3和最大切应力和最大切应力 max。ab材料力学材料力学应力状态应力状态材料力学材料力学应力状态应力状态11 泊松比泊

34、松比1 xyx1x 广义胡克定律广义胡克定律 应力应变间关系应力应变间关系材料力学材料力学应力状态应力状态12311223+23应力应变间关系应力应变间关系材料力学材料力学应力状态应力状态112312223,11E,12E-E13-,21E- ,22E E23- 应力应变间关系应力应变间关系材料力学材料力学应力状态应力状态3312,31E- ,32E- E33 应力应变间关系应力应变间关系材料力学材料力学应力状态应力状态1231233211-E1111 3121-E2222 1231-E3333 1234 4 应力应变间关系应力应变间关系材料力学材料力学应力状态应力状态,321,321即即.,

35、min3max12 2、当、当 时，即为二向应力状态：时，即为二向应力状态：03)(1211-E)(1122-E)(213-E)0(33 3、当、当 时，即为单向应力状态；时，即为单向应力状态；0, 032即最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方向。即最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方向。4 4 应力应变间关系应力应变间关系材料力学材料力学应力状态应力状态zxyzxxzxyyxyzzy4 4、若单元体上作用的不是主应力，而是一般的应力、若单元体上作用的不是主应力，而是一般的应力 时，则单元体不仅有线变形时，则单元体不仅有线变形 ，而且有切变形，而且有切变形 。其应力。其应力-

36、-应应 变关系为：变关系为： zyxzxyzyx,zyx,zyxzxy,zyxxE-1zxyyE-1xyzzE-1xzxzzyzyxyxyGGG1,1,1xzy4 4 应力应变间关系应力应变间关系材料力学材料力学应力状态应力状态12EG 这表明，对于各向同性材料，三这表明，对于各向同性材料，三个弹性常数中，只有两个是独立的。个弹性常数中，只有两个是独立的。 4 4 应力应变间关系应力应变间关系材料力学材料力学应力状态应力状态例例4-1：已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了测定拉力测定拉力F和力矩和力矩m，可沿轴向及与轴向成，可沿轴向及与轴向成

37、45方向测出方向测出线应变。现测得轴向应变线应变。现测得轴向应变 ， 45方向的应变方向的应变为为 。若轴的直径。若轴的直径D=100mm,弹性模量弹性模量E=200GPa,泊松比泊松比 =0.3。试求。试求F和和m的值。的值。6010500-610400-uFmmFkuu454 4 应力应变间关系应力应变间关系材料力学材料力学应力状态应力状态解：解：（1 1）K点处的应力状态分析点处的应力状态分析在在K点取出单元体：点取出单元体：xKxyyx其横截面上的应力分量为：其横截面上的应力分量为：316DmWmWTppxy,AFAFNx（2 2）计算外力）计算外力F由广义胡克定律：由广义胡克定律：z

38、yxxE-16010500-Ex4 4 应力应变间关系应力应变间关系材料力学材料力学应力状态应力状态解得：解得：AFxAE0626910)100(41050010200-kN785（3 3）计算外力偶）计算外力偶m已知已知zvuuE-1610400-式中式中, 0z)45(2sin)45(2cos2200-xyxxuxyx2)45(2sin)45(2cos2200 xyxxv-xyx-2xKxyyxuuuvv4 4 应力应变间关系应力应变间关系材料力学材料力学应力状态应力状态由由610400221-xyxxyxE解得：解得：26/106 .34mNxymkNDmxy79. 6163因此因此4

39、4 应力应变间关系应力应变间关系材料力学材料力学应力状态应力状态4 4 应力应变间关系应力应变间关系例例4-2: 已知一受力构件自由表面上某点处的两主已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变值为应变值为124010-6，316010-6。构件。构件材料为材料为Q235钢，弹性模量钢，弹性模量E=210GPa，泊松比，泊松比0.3。试求该点处的主应力数值，并求该点处另。试求该点处的主应力数值，并求该点处另一主应变一主应变2的数值和方向。的数值和方向。02解解：由题意可知，点处于平面应力状态且：由题意可知，点处于平面应力状态且,)(1)(1133311-EE由广义胡克定律由广义胡克定律材料力学材料

40、力学应力状态应力状态4 4 应力应变间关系应力应变间关系,MPa3 .20)(1MPa3 .44)(113233121-EE可得：可得：6312103 .34)(-E 是缩短的主应变。其方向沿构件表面的法线方向。是缩短的主应变。其方向沿构件表面的法线方向。2材料力学材料力学应力状态应力状态4 4 应力应变间关系应力应变间关系例例4-3: 边长为边长为0.1m的铜方块，无间隙地放入变形可的铜方块，无间隙地放入变形可略去不计地刚性凹槽中。已知铜的弹性模量略去不计地刚性凹槽中。已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比，泊松比0.34。当铜块受到。当铜块受到F=300kN的的均布压力作用时，试求铜块的

41、三个主应力的大小。均布压力作用时，试求铜块的三个主应力的大小。MPa301 . 01030023-AFy解：解：铜块横截面上铜块横截面上的压应力为的压应力为材料力学材料力学应力状态应力状态4 4 应力应变间关系应力应变间关系-0101yxzzzyxxEE0zx由题意：由题意：MPa30MPa,5 .15321-按主应力的代数值顺序排列，得该铜块的主应力为：按主应力的代数值顺序排列，得该铜块的主应力为：MPa5 .151-yzx材料力学材料力学应力状态应力状态ac12313123b2变形前单元体体积：变形前单元体体积：abcV 0变形后单元体体积：变形后单元体体积：)1 ()1 ()1 (3211cbaV)1 (321133221321abc0)1(321 abc 体积应变体积应变 4 4 应力应变间关系应力应变间