高等数学11.6二重积分的计算ppt课件

1、高高 等等 数数 学学主讲人主讲人 宋从芝宋从芝河北工业职业技术学院河北工业职业技术学院11.6 11.6 二重积分的计算二重积分的计算假设积分区域假设积分区域D D为：为：, bxa 12( )( ).xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上延续上延续. .)(1x )(2x ,ba一、在直角坐标系计算二重积分一、在直角坐标系计算二重积分1.x1.x型区域型区域)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 曲顶柱体体积的计算曲顶柱体体积的计算设曲顶柱体的底为设曲顶柱体的底为x型区域：型区域：12( )( )axbxyx 任取任取, ,0bax 平面平面x21( )( )(

2、 )( , )dxxA xf x yy 截面积为截面积为截柱体的截柱体的2( )yx )(1xyzxyoabxD),( yxfz曲顶柱体体积的计算曲顶柱体体积的计算故曲顶柱体体积为故曲顶柱体体积为( , )d dDVf x y x y baA x dx badx 21( )( )( , )xxf x y dy 21( )( )( , )dxxf x y y dbax 21( )( )( , )( , ).dycyDf x y ddyf x y dx 假设积分区域假设积分区域D D为：为：,dyc 2( )xy 1( )xy Dcdcd2( )xy 1( )xy D2. y型区域型区域12( )

3、( )yxy 在直角坐标计算二重积分：在直角坐标计算二重积分：且在且在 D 上延续时上延续时 ( , )f x y当当被被积积函函数数12( )( )axbxyx 21( )( )( , )dxxf x yy dbax 1. 假设假设D为为 x 型区域型区域 )(1xy)(2xyxboyDax2. 假设假设D为为y型区域型区域12( )( )cydyxy y)(1yx)(2yxxdocy21( )( )( , )dyyf x yx ddcy ( , )dDf x y ( , )dDf x y 计算二重积分的步骤：计算二重积分的步骤：1. 画出积分区域画出积分区域 D 2.根据根据D的特点，选择

4、积分次序的特点，选择积分次序3.4.假设假设D为为x 型区域型区域 假设假设D为为y型区域型区域先对先对y积分，后对积分，后对x积分积分先对先对x积分，后对积分，后对y积分积分计算二重积分的根本思想，计算二重积分的根本思想， 将其化成两次定积分。将其化成两次定积分。12( )( )axbxyx 12( )( )cydyxy 1.假设积分区域既是假设积分区域既是x型区域又是型区域又是y型区域型区域 , 为计算方便为计算方便,可选择积分序可选择积分序, 必要时还可以交换积分序必要时还可以交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc那么那么有有x)(1xyyyyxfxxd),()()(

5、21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd阐明阐明: :( , )dDf x y 2. 假设积分域较复杂假设积分域较复杂,可将它分成假设干可将它分成假设干x型区域或型区域或y型区域型区域 , 123DDDD 那么那么 阐明阐明: :oxy1D2D3D例例1 1计算二重积分计算二重积分(2 )d ,Dxy 0,1,12xxyy 和和其中其中 D 是由直线是由直线围成的矩形区域。围成的矩形区域。二、例题二、例题 首先画出积分区域首先画出积分区域D D。解解1 1xyO2D11将将D D表示成表示成x x型区域型区域0112xy (2 )dDxy 12012dxxy dy 21201xyy

6、dx 103xdx 12032xx 72 例例1 1计算二重积分计算二重积分(2 )d ,Dxy 0,1,12xxyy 和和其中其中 D 是由直线是由直线围成的矩形区域。围成的矩形区域。首先画出积分区域首先画出积分区域D D。解解2 2xyO2D11将将D D表示成表示成y y型区域型区域1201yx (2 )dDxy 21102dyxy dx 1221022xxydy 21122y dy 2212yy72 例例2 2计算二重积分计算二重积分22()d ,Dxy 21,0 xyyx 和和抛抛物物线线其中其中 D 是由直线是由直线围成的区域。围成的区域。首先画出积分区域首先画出积分区域D D。解

7、解将将D D表示成表示成x x型区域型区域2010 xyx ， 22Dxy d 212200 xdxxydy 2312003xyx ydx 61403xxdx 1570521xx 26105 xyOD1y=x2x例例3 3计算二重积分计算二重积分d ,Dxy 2yx 和和直直线线其中其中 D 是由抛物线是由抛物线围成的区域。围成的区域。2yx 解解 求交点求交点, ,解方程组解方程组:DDxy22 xy214oyxy22yxy21y为计算简便为计算简便, 先对先对 x 后对后对 y 积分积分,22yxyx 得交点坐标得交点坐标(1,-1),(4,2)。画出积分区域。画出积分区域。表示成表示成y型区域型区域:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy458 22yxy21y2y2y例例4 4交换积分次序交换积分次序2110yxdxedy 交换二次积分的积分次序的步骤：交换二次积分的积分次序的步骤：1.根据已给的二次积分的积分限用不等式表示根据已给的二次积分的积分限用不等式表示区域区域D，并画出，并画出D的图形。的图形。2.根据根据D的图形将的图形将D用另一种表达式来表示，用另一种表达式来表示，以确定改动积