离散控制系统2015

1、离散控制系统邹邹 凌凌常州大学常州大学 信息科学与工程学院信息科学与工程学院2015.3n引言离散控制系统n信号的采样与复现nZ变换与Z反变换n脉冲传递函数 n差分方程n离散控制系统的性能分析引言(Introduction)n有关概念 2. 离散系统：离散系统：系统中有一处或多处为离散信号的系统称离散系统。通常，系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统，称为采样控制系统或脉冲控制系统；数字序列形式的离散系统，称为数字控制系统或计算机控制系统。(a) 连续信号连续信号t(b) 离散信号离散信号t 1. .离散信号：离散信号：仅定义在离散时间上的信号称离散信号，离散信号以脉冲或数码的形式呈现。(c

2、) 离散量化信号离散量化信号t引言数字计算机数字计算机A/DD/A数字控制器数字控制器被控对象被控对象测量元件测量元件 e*(t)r(t)e(t) u*(t)uh(t) c(t) _计算机控制系统典型原理图引言A/D：模数转换器，将连续的模拟信号转换为离散的数字信号。包括采样与量化（编码）两过程。引言D/A：数模转换器，将离散的数字信号转换为连续的模拟信号。包括解码与复现两过程。引言若认为采样编码过程是瞬时完成的，并用理想脉冲来等效代替数字信号，则A/D转换器就可以用一个每隔T秒瞬时闭合一次的理想采样开关来代替。同理，将数字量转换为模拟量的D/A转换器可以用保持器取代。数字控制器实质上是一个数

3、字校正装置，可以等效为一个脉冲控制器和一个采样周期为T的理想采样开关S相串连。脉冲控制器保持器测量元件被控对象r(t)c(t)-计算机控制系统典型原理图引言n离散控制系统的特点n校正装置效果比连续式校正装置好，且由软件实现的控制规律易于改变，控制灵活。n采样信号，特别是数字信号的传递能有效地抑制噪声，从而提高系统抗干扰能力。n可用一台计算机分时控制若干个系统，提高设备利用率。n可实现复杂控制规律，且可以在运行中实时改变响应参数。 引言n离散控制系统的研究方法nZ变换法n状态空间分析法信号的采样与复现(Signal Sampling and Reconstructionn采样过程n采样定理n零阶

4、保持器信号的采样与复现n采样过程Samplingn数学描述：把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采样器，又叫采样开关。该开关闭合的周期为T，每次闭合的时间为 。于是下图a所示的连续信号e(t)经过采样开关后，就变成周期为T，宽度为 的脉冲序列 ,称为采样信号，如图b所示。 )(tese(t)e(t)(tes)(tes信号的采样与复现在实际采样过程中，采样开关闭合时间极短，即采样持续时间 远远小于采样周期T，也远远小于系统连续部分的最大时间常数，因此在分析中可以认为 趋于零。在此假设下，采样器的输出可以看成是理想的脉冲序列 。采样瞬时 的脉冲强度等于相应瞬时连续信号e(t)的幅值，即e(0T) ,

5、e(1T)，e(nT),，如下图所示。)(te)(te信号的采样与复现理想采样后所得到脉冲序列可写成)(tee(t)e(t)(te信号的采样与复现 0)()(nanTnTtete 解：解：例例 e(t)=eat,试写出试写出e*(t)表达式。表达式。对 取拉氏变换,得 0*)()()(nnTtnTete 其中 为理想单位脉冲序列。 0)()(nTnTtt )()()()()2()2()()()()0()(0ttenTtnTeTtTeTtTeteteTnD+L(7.2.1) 0*)()()(nnTsenTeteLsE信号的采样与复现111)(1TsTsTsTseeeesE例例 e(t)=1(t)

6、,试写出试写出e*(t)拉氏变换拉氏变换解：由式(7.2.2), 有L+TsTsnnTseeenTesE20*1)()(求和后得到闭合形式练习练习 e(t)=e-at,t=0,a为常数，试写出为常数，试写出e*(t)拉氏变换拉氏变换解：由式(7.2.2), 有aTTsTsTasnTasnnnTsanteeeeeeesE+)(0)(0*11)(1)(+Tae若用拉氏变换研究离散系统，尽管可以得到eTs的有理函数，却是复变量s的超越函数，不便于分析和设计信号的采样与复现n物理意义：可看成是单位理想脉冲串T(t)被输入信号e(t)进行调制的过程，如下图所示。 在图中，在图中， T T( (t t)

7、)为载波信号；为载波信号；e e( (t t) )为调制信号；为调制信号； e e* *( (t t) )为为理想输出脉冲序列。理想输出脉冲序列。信号的采样与复现n采样定理-设计控制系统必须严格遵守的一条准则。设计控制系统必须严格遵守的一条准则。1. 问题的提出问题的提出 连续信号连续信号e( (t) )经过采样后，只能给出采样点上的数值，不能知经过采样后，只能给出采样点上的数值，不能知道各采样时刻之间的数值。从时域上看，采样过程损失了道各采样时刻之间的数值。从时域上看，采样过程损失了e( (t) )所含所含的信息。的信息。(a)连续信号连续信号t(b)离散信号离散信号t信号的采样与复现 2.

8、 定性分析定性分析 如果如果连续信号连续信号e( (t) )变化缓慢（最大角频率变化缓慢（最大角频率 maxmax较低较低，而采样，而采样角频率角频率 s s比比较高（即采样周期较高（即采样周期T=2T=2 / / s s较小较小，则，则e*(t)基本上能反基本上能反映映e e( (t t) )的变化规律。的变化规律。 那么采样频率保持多大才合适呢？这需要对原信号和采样信号进行频谱分析。怎样才能使采样信号怎样才能使采样信号e*(t)大体上反映大体上反映e(t)的变化规律呢？的变化规律呢？信号的采样与复现 从傅立叶变换的角度而言，连续信号 可看成许多信号的叠加，即)(te(7.2.2)dejFt

9、etje)(21)(式中 称为信号 的频谱，并且 )(jFe)(tedtetejFtje)()(上式称为的傅立叶变换。实际信号都是有限带宽信号，即其最大频率是有限的。记其最大频率是，如图所示m)(te)(jFe信号的采样与复现显然，若 可由采样脉冲序列得到，则根据式（7.2.2），原连续信号 便得以恢复。)(jFe)(te现在对采样后得到的离散脉冲序列进行频谱分析，即对（7.2.1）中的 进行傅立叶变换 )(te式中是周期函数，故可以展为傅立叶级数：nTnTtt)()(ntjnnTseCt)(其中称为采样角频率。由傅立叶变换公式知Ts2dtettedtetejFtjTtje)()()()(7.

10、2.3)信号的采样与复现TdttTdtetTCTTTTtjnTns1)(1)(12/2/2/2/由此可得 。将之代入（7.2.3）可得nTjnTseTt1)(.)(1)(11)()(* nsentjtjnntjtjnenjFTdteeteTdteeTtejFss(7.2.4)在(7.2.4)的最后一个等式的推导中运用了傅立叶变换的延时定理。由（7.2.4）可知，离散脉冲序列 的频谱可以看作是原连续信号e(t)的频谱经过无穷多次平移后叠加而成的，如图所示， )(te)(jFe信号的采样与复现)(jFe)(jFe)(jFe由图看出，当 时，采样信号的频谱中保留原信号的频谱，只要做一个带宽为 的低通

11、滤波器就可以获得原连续信号的频谱，从而恢复原信号。相反，若 ，则由采样信号的频谱不能获得不失真的原连续信号的频谱，也就不能获得不失真的原连续信号。这一结论称作香农（香农（ShannonShannon）采样定理）采样定理。 ms22sms2信号的采样与复现n采样定理sampling theorem （香农定理）shannons theorems 如果采样器的输入信号最高角频率为max，则只有当采样频率s2max,才可能从采样信号中无失真地恢复出连续信号。信号复现(Signal Reconstruction) 将数字信号转换复原成连续信号的过程称信号复现。该装置称为保持器或复现滤波器。信号的采样与

12、复现保持器是具有外推功能的元件：表现在现在时刻的输出信号取决于过去时刻离散信号的外推。Signal Sampling and ReconstructionFigure12.10:The result of samplingFigure12.11:The result of reconstruction信号的采样与复现n保持器的数学表达式mmtatataatnTe)()()(2210D+D+D+D+L是以nT时刻为原点的坐标tD现在时刻的输出值，取决于各过去时刻的离散信号的(m+1)个值。)(tnTeD+mTTTtD,2, 0L)(,) 2(,) 1(),(TmneTneTnenTeL上式表明：

13、ai唯一地由过去各采样时刻m+1个离散信号值 来确定，故系数ai有唯一解。这样的保持器称为m阶保持器。若m=0,则称零阶保持器，m=1,称为一阶保持器。), 1 , 0()(miTineL信号的采样与复现n零阶保持器(zero order hold ) 零阶保持器是最简单也是工程中使用最广泛的保持器。 数学表达式0)(atnTeD+零阶保持器的外推公式为显然， ，上式也成立。所以时0Dt)(0nTea 从而，零阶保持器的数学表达式为上式说明，零阶保持器把前一采样时刻nT的采样值e(nT)一直保持到下一采样时刻(n+1)T到来之前，从而使采样信号变成阶梯信号。TtnTetnTeDD+0, )()

14、(8.2.5)信号的采样与复现零阶保持器的输入输出特性可用下图描述。eh(t)e*(t)e*(t)t 零阶保持器零阶保持器eh(t)t式(8.2.5)表明，零阶保持过程是由理想脉冲 的作用结果。如果给零阶保持器输入一个理想脉冲 ，则其脉冲传递函数是幅值为1，持续时间为T的矩形脉冲，并可分解为两个单位阶跃函数的和：)()(nTtnTe)(tgh(t)=1(t)-1(t-T)传递函数为传递函数为sesestgLsGTsTshh 11)()(信号的采样与复现n频率特性22)2sin(1)(TjTjheTTTjejG将 代入上式，得sT2sjssshejG)()(sin2)(零阶保持器的幅频和相频特性

15、从该图看出，零阶保持器相当于一个近似的带宽为 的低通滤波器。s信号的采样与复现上图表明了零阶保持器是如何将脉冲信号转换成连续信号。尽管恢复后的连续信号与原先的连续信号有些差别，但只要采样频率足够高，误差在允许的范围内，工程上还是乐意采用零阶保持器的，因为与一阶保持器或其它高阶保持器相比，零阶保持器的实现最为简单。Z变换与Z反变换nZ变换nZ变换的基本性质nZ反变换Z变换 1.Z变换的定义 令令z=eTs , 则则 =e(0)+e(T)z-1+e(2T)z-2+即为即为Z变换变换的定义式。的定义式。 0nnz )nT( e)z(E 0*)()()(nnTsenTeteLsE称称E(z)为为e*(

16、t)的的Z变换变换, 记作记作 Ze*(t)=E(z), 或或 Ze(t)=E(z) 2.Z变换方法 (1) 级数求和法级数求和法 将将Z变换的定义式展开：变换的定义式展开： E(z)=e(0)+e(T)z-1+ e(2T)z-2+ e(nT)z-n+对于常用函数对于常用函数Z变换的级数形式，都可以写出其闭合形式。变换的级数形式，都可以写出其闭合形式。Z变换例7.3.1 求x(t)=1(t)的z变换。 解：根据定义有111)()(021+zzzzzzkTxzXkkLZ变换例7.3.3 求 的Z变换)0()(aetxat001)()(kkkaTkakTzezezXaTaTezzze111解：Z变

17、换，应先用拉氏反变换求出 ，然后再按定义求出要用其拉氏变换 表示。此时为了求 的)(tx)(sX)(tx)(tx有时连续信号0)()(kkzkTxsXZ变换(2) 部分分式法 先求出已知连续时间函数先求出已知连续时间函数e(t)的拉氏变换的拉氏变换E (s)； 将将E (s)展开成部分分式之和的形式；展开成部分分式之和的形式； 求拉氏反变换，再求求拉氏反变换，再求Z变换变换E(z)。例 8.3.4 求 的Z变换)()(assasF+解：asssF+11)(对上式取拉氏反变换，得atetf1)(则)1)(1 ()1 (1111)()(11111zezzezeztfLzFaTaTaTZ变换例 7.3.5 求atZ sin解：因为22sin)(asaatLsF+又jasjjasjsF+2121)(所以21111)cos2(1)(sin121121)(+zzaTzaTzejzejzFjaTjaTZ变换3. 典型信号的Z变换11)()(00 zznTezEnn（1） 单位脉冲函数单位脉冲函数 e(t)=(t)（2） 单位阶跃函数单