不定方程的解法与应用

1、摘 要不定方程是初等数论的一个重要内容，在相关学科和实际生活中也有着广泛的应用本文首先归纳了整数分离法、系数逐渐减小法和辗转相除法等几种常用的二元一次不定方程的解法；其次进一步讨论了求n元一次不定方程和二次不定方程整数解的方法；最后论述了不定方程在中学数学竞赛题、公务员行测试题和其他学科中的应用，并举例说明关键词：不定方程；二元一次不定方程；数学竞赛；公务员试题AbstractThe integral solutions of indeterminate equation solving method is an important content of elementary number t

2、heory, has been widely used in related disciplines and in real life. This paper summarizes the integer separation method, coefficient decreases and the Euclidean algorithm and several commonly used two element indefinite equation solution, secondly is further discussed. For n linear indeterminate eq

3、uation and the method of two time indefinite equation integer solution, and finally discusses the indeterminate equation applied in secondary school mathematics, civil servants for test and other subjects, and illustrated with examples.Key words: indeterminate equation; two element indefinite equati

4、on; Mathematics contest; civil service examination.目 录1 引 言12 不定方程的若干解法12.1 二元一次不定方程的若干解法12.2 n元一次不定方程42.3 二次不定方程53 不定方程的应用73.1 在初高中竞赛题中的应用73.2 在公务员考试题中的应用83.3 在其他学科中的应用94 结 论11致 谢12参 考 文 献12不定方程的解法与应用1 引 言不定方程（组）指的是未知数的个数比方程的个数多，而且未知数受到某些限制（如正整数解，整数解或有理数解）的方程（组）不定方程（组）是数论中最古老的分支，也是一个具有探讨性的课题我国古代就有对

5、不定方程的研究，且研究的内容丰富且广泛，在世界数学史上具有举足轻重的作用例如周髀算经的商高定理，九章算术中的“五家共井”问题，张丘建算经里提出的“百鸡问题”;孙子算经中的“物不知其数”问题等等1由于早在1700多年前，古希腊数学家丢番图就曾系统研究了某些不定方程（组）的问题，因而英文著作中大部分都将不定方程（组）称为丢番图方程 在他的一部著作算术中，除了第一卷之外，其他卷章几乎都是考虑不定方程（组）的问题下面将介绍几类常见不定方程的解法，探讨不定方程在各领域中的应用。2 不定方程的若干解法2.1 二元一次不定方程的若干解法定义2.1 形如 的方程称为二元一次不定方程其有整数解的充分必要条件是，

6、 若，且是其一个整数解(特解)，则其通解可表示成或例2.1 求不定方程的整数解解:原方程有整数解利用观察法得到这个方程的特解是，则该方程的全部整数解是下面介绍几种对于二元一次不定方程，无法直接利用观察法看出特解，或者未知数的系数比较大时可以采用的解法1、整数分离法整数分离法指的是系数较大的未知数用来表示系数较小的未知数，并将结果中的整数部分分离出来，其剩下的部分也是整数 依此类推，直到能观察到特解时为止，再求出原方程的通解例2.2 求不定方程解:原方程有整数解 将上式右边未知数的系数和常数项的整数部分分离出来，即因为都是整数，所以是整数，则也是一个整数，可观察出时，为原方程的一个特解 则原方程

7、的通解是2、系数逐渐减小法系数逐渐减小法指的是利用变量替换，使方程的未知数系数逐渐减小，直到有一个未知数的系数为为止，解此方程，再依次逆推，即可得到原方程的通解例2.3 求不定方程解: 原方程有整数解 将上式右边未知数的系数和常数项的整数部分分离出来 即，令，即又因为，则用来表示，得令，则将代入，则可得原方程的通解为3、辗转相除法根据辗转相除法的相除式逆推求出方程的特解例2.4 求不定方程的解解： 原方程有整数解 由 又由往回逆推，得到 又 则该方程的特解是，则该方程的通解4、同余法 主要是通过比较两未知系数的绝对值大小，以较小的值作为另一未知系数和常数项的模，并将其转换成较小的同余值，变成一

8、个新的不定方程，依此类推，直到有不定方程的系数为止，再依次往回代入，即可得到原方程的通解例2.5 求不定方程的解解: 由，得， 改变其系数得， 又可得， 则，代入可得，则原方程的通解是5、参数法用参数法解不定方程主要是通过比较两未知系数的绝对值大小，解出较小的未知数将其分成几部分和的形式，然后引进新的参数，便得到一个新的不定方程，则可用观察法得出该方程的特解，再将其解代入原方程，即可得到原方程的通解例2.6 解不定方程 解： 因为 所以原方程有整数解 ， 令，则得到一个新的不定方程， 由观察法便知该新方程的特解是， 将代入得，所以该方程的通是2.2 n元一次不定方程定义2.2 设，元一次不定方

9、程指的是，其中 都是给定的整数且其有解的充分必要条件是 定理2.1 设不定方程的全部解可表示成，其中是的一组解， 满足，例2.7 解出所有的整数解解: 原方程有整数解， 又，则可把原方程变成 可知 的一个特解是则可得方程 的全部整数通解为 令，则原方程的所有整数通解为 可知是原方程的一个特解下面介绍下用矩阵求解元一次不定方程的整数解4不定方程用矩阵可写成其中，可将经过一系列行初等变化成，其中且 根据初等矩阵与初等变换的关系可知，存在阶可逆矩阵，使得，即因此，所以又该方程有解的充要条件为，并且其所有整数解是，例2.8 求出整数解的通式解: 又，原方程有整数解，令，则方程的全部整数解为 ， 即 2

10、.3 二次不定方程本节将介绍下最基本的二元二次不定方程，即贝尔方程其形式为且是非完全平方的正整数它的整数解为，其中是的最小解，为了求解方程的最小解，需将化成连分数的形式以下介绍下连分数的求法，进而用来求解二元二次不定方程的整数解3将化成循环连分数的定义如下: 设 ; ，; ，且表示循环节的项数; (是自然数); 则 连分数渐近分数如下: ，例2.9 将化成连分数并且求出它的前3个渐近数解: ， ， ， ， ， 开始循环，循环节的项数是， ， 例2.10 求的整数解解: 先用连分数求最小解 ，取 得最小值， 故整数解的通式为: 下面介绍下利用奇偶分析法求出二次不定方程的整数解例2.11 求方程的

11、正整数解解: 原方程中的指数为一次，得， 两边同时乘以，得， 可知为的因数，否则就不是整数了， 则有， 其分别对应的的值是， 又因为需为的倍数，显然或时符合题意 此时有整数解与之对应，得正整数解二组为评注：奇偶分析法是以分析未知数的奇偶性为线索，从而用来判断未知数的取值情况3 不定方程的应用3.1 在初高中竞赛题中的应用不定方程出现在各级各类的数学竞赛题中，且其类型和解法也多样化，所以不定方程所出现的题目的种类也是各式各样的例如，有些实际应用题最后转化成不定方程的整数解等例3.1(1996年湖北省黄冈市初中数学竞赛题) 求方程的整数解5解: 用来表示，可得 ， 将上式右边未知数的系数和常数项的

12、整数部分分离出来， 得，因为是整数，所以也是整数 故是的因数，则 即 则其分别相对应的的值是 方程有四组整数解，即例3.2(2012年数学周报杯全国初中数学联赛试题) 小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币，小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的倍”小玲对小倩说：“你若给我元，我的钱数将是你的2倍”其中为正整数，则的可能值的个数是( ) 解:设小倩的钱数是元，小玲的钱数是元，且均为非负整数，由已知题目可得，消掉得，则因为是正整数，所以也是正整数，则是的因数，的值分别是，则，从而的值分别是则的值分别是3.2 在公务员考试题中的应用不定方程在公务员考试行测数学运算中占有很高的地位，近5

13、年的行测中经常会考到不定方程的相关内容例3.3（2012国考） 超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装 12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完问这种包装盒相差多少个?（ ） 解: 设大盒的数量为，小盒的数量为根据已知题意，可得表达式为，因为，所以，改变其系数得，又可得，则代入，可得，则原方程的通解是.又因为,则的取值范围是和.当时, ,则满足题意.当时, ,则不满足题意(舍去).又.所以答案选. 评注:此题采用的是同余法.例3.4（2012国考） 某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带

14、领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人? ( ) 解:设每位钢琴老师带人，每位拉丁舞老师带人 根据已知题意，列方程得 ， 又因为为正整数，所以也是正整数则可知为方程的一个特解，则方程的通解是又因为为质数且正整数，则时，符合题意，则，所以最后剩下的学员有人所以答案选评注:此题采用的是分离整数法,其优点容易判断未知数的取值并由已知条件得到满足题意的值3.3 在其他学科中的应用不定方程的适用条件很广，它在化学领域的物质推断和化学反应中也表现出来,还有物理学科领

15、域也有所表现例3.5 3.25克某金属元素R的单质与过量稀硝酸反应时未观察到有气体放出，但测知生成物中有硝酸铵，当向反应后的溶液中加入过量热烧碱溶液时，有气体放出，其体积为280ml(标准)，则：若金属R被氧化为，写出反应的离子方程式；通过计算推导出是何种金属？6解：设金属的原子质量是 根据题意 则 的取值范围为：，若（舍去）是锌 （舍去），所以是锌例3.6 已知和按下式反应：，一段时间后，测得的转化率%，同温同压下，反应前的气体密度是反应后的，则和的值可能是（ ）6 解：建立平衡模式 起始量 转化量 平衡量 因为气体反应前的密度是反应后的，即气体反应前的体积是反应后的，可得，化简得（为整数）

16、，解不定方程，则当满足题意；不满足题意；满足题意所以答案选例3.7 由甲，乙两种物质组成的物质，质量之比是，吸收热量之比是，则它们升高的温度之比和比热容之比可能是（ ）7 解：设代表甲物质，代表乙物质已知由吸热公式，得温度变化量与比热容的乘积的比值，以此得到和为变量的不定方程，即将四个选项中所提供数据代入进行检验，可得正确选项是4 结 论不定方程的解法很多，我们需要根据已知题目自身所提供的特点寻找一种适合解题的方式首先在求解题目之前，我们不能盲目求解,须先判断题目是否有解；其次求解题目时，我们要认真观察所要求解的方程的元的次数，再看它的元的个数，当其元的次数为一时，若是n元的话我们则可采用矩阵求解法，若是二元的话，我们则可采用整数分离法，系数逐渐减小法，辗转相除法，同余法还有参数法，当然也可采用矩阵法求解，只是元的个数不多时，则可不必采用矩阵法最后，所求解的答案需验证，筛选出符合题意的正确解我们经常可以见到不定方程在数学竞赛中的应用近年来不定方程的应用领域延伸到公务员考试的试题中，求解问题时，首先我们需认真阅读题目自身所提供的信息，然后根据题意设置未知量，列出符合题意的方程，采用合适的不定方程的解法进行求解，最后通过代入验证找出其正确解参 考 文 献1 李逢平 中