全品原创月考试题四（A)课标数学

1、试卷类型：A2014届高三全品原创月考试题四数学适用地区：新课标地区 考查范围：集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式、立体几何、解析几何、统计、统计案例、计数原理（仅理科有），概率、随机变量及其分布（仅理科有）建议使用时间：2013年11月底本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它

2、答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 2013·天津卷 已知集合AxR|x|2，BxR|x1，则AB()A(，2 B1，2C2，2 D2，1【答案】D解析 ABxR|2x2xR|x1xR|2x12.（2012年4月9日大连沈阳联合考试数学文理）下面的茎叶图表示的是某城市一台自动售货机的销售额情况(单位：元)，

3、图中的数字表示的意义是这台自动售货机的销售额为( )A.元 B.元 C.元 D.元【答案】C【解析】树干表示的是十位数字，故7表示为27.3.（理）（2012届北京东城二模理）的展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】展开式中的通项为，令，得.所以展开式中的常数项为.（文）2013·重庆卷 若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)内6A解析 因为f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(

4、c)(ca)(cb)0，所以f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，所以函数的两个零点分别在(a，b)和(b，c)内，故选A.4.（东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试（2012长春三模）数学文）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是（ ）相关系数为 相关系数为相关系数为 相关系数为A.B.C.D.【答案】A【解析】由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知.5. 2013·江西卷 等比数列x，3x3，6x6，的第四项等于()A24 B0C12 D24【答案】A解析 (3x3)2x(6x6)得x1或x3.当x1时，x，3x3，6x6分别为1，0，0，则不能

5、构成等比数列，所以舍去；当x3时，x，3x3，6x6分别为3，6，12，且构成等比数列，则可求出第四个数为24.6.(河北省石家庄市2012届高中毕业班第二次模拟考试数学文理)从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重为（ ）A.70.09 B.70.12 C.70.55 D.71.05【答案】B【解析】，.因为回归直线过点，所以将点(170,69)代入回归直线方程，得，故回归方程为.代入cm，得其体重为70.12kg.7. 2013·浙江卷 已知函数f(x)Acos(x)(A>0，>

6、;0，R)，则“f(x)是奇函数”是“”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B解析 f(x)Acos(x)是奇函数的充要条件是f(0)0，即cos 0，k，kZ，所以“f(x)是奇函数”是“”的必要不充分条件，故选择B.8.（理）(河北省石家庄市2012届高中毕业班第二次模拟考试数学理) 的展开式中的常数项为（ ）A.-60 B.-50 C.50 D.60【答案】D【解析】展开式的通项为，令,解得.故常数项为.（文）（2012年4月9日大连沈阳联合考试数学文）若利用计算机在区间上产生两个不等的随机数和，则方程有不等实数根的概率为（ ）A. B.

7、 C. D.【答案】B【解析】方程可化为，因其有两个不等实数根，所以，以为横轴，为纵轴，建立平面直角坐标系如下图所示，区域即为阴影区域.故由几何概型得，所求事件的概率为.OabABC9. 2013·湖北卷 将函数ycos xsin x(xR)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是()A. B. C. D.【答案】B解析 结合选项，将函数ycos xsin x2sin的图像向左平移个单位得到y2sin2cos x，它的图像关于y轴对称，选B.10. 2013·湖南卷 若变量x，y满足结束条件则x2y的最大值是()A B0 C.

8、D.【答案】C解析 根据题意，画出x，y满足的可行域，如图，可知在点C处x2y取最大值为.11. 2013·四川卷 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A. B.C. D.【答案】C解析 设第一串彩灯在通电后第x秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y秒闪亮，由题意满足条件的关系式为2xy2.根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为16平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位，故概率为.12.（

9、2012届北京东城二模文）设为抛物线上一点，为抛物线的焦点，若以为圆心，为半径的圆和抛物线的准线相交，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】若以为圆心，为半径的圆和抛物线的准线相交，则.根据抛物线的定义知,点到准线的距离大于4，即，所以.第卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.13. (宁夏银川一中2012届高三年级第三次月考数学文)已知(2,3),=(-1,5)，则=_.【答案】 【解析】.14.2013·辽宁卷 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_图13【答案】1616解析 由三视图可以得到原几何体是一个圆

10、柱里面挖去了一个长方体，所以该几何体的体积为V4×4161616.15.（2012届北京东城二模文）将容量为的样本中的数据分成组，若第一组至第六组数据的频率之比为且前三组数据的频数之和等于，则的值为 .【答案】 【解析】根据已知条件知，所以.16. 2013·福建卷 椭圆：1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_【答案】1解析 如图，MF1F2中，MF1F260°，MF2F130°，F1MF290°，又|F1F2|2c，|MF1|c

11、，|MF2|c，2a|MF1|MF2|cc，得e1.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.（本小题满分10分）2013·辽宁卷 设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)a·b，求f(x)的最大值【解】 (1)由|a|2(sin x)2(sin x)24sin2x.|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得4sin2x1.又x，从而sin x，所以x.(2)f(x)a·bsin x·cos xsin2xsin 2

12、xcos 2xsin.当x时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.18.（本小题满分12分）2013·江西卷 正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn，证明：对于任意的nN*，都有Tn<.【解】(1)由S(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0.由于an是正项数列，所以Sn>0，Snn2n.于是a1S12，n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上，数列an的通项为an2n.(2)证明：由于an2n，bn，则bn.Tn<.19.（本小题

13、满分12分）(理)2013·湖北卷 假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为P0.(1)求P0的值；(参考数据：若XN(，2)，有P(<X)0.682 6，P(2<X2)0.954 4，P(3<X3)0.997 4)(2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆若每天

14、要以不小于P0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？【解】(1)由于随机变量X服从正态分布N(800，502)，故有800，50，P(700<X900)0.954 4.由正态分布的对称性，可得P0P(X900)P(X800)P(800<X900)P(700<X900)0.977 2.(2)设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1 600x2 400y，依题意，x，y还需满足：xy21，yx7，P(X36x60y)P0.由(1)知，P0P(X900)，故P(X36x60y)P0等价于36x60y90

15、0，于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数z1 600x2 400y达到最小的x，y值作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)由图可知，当直线z1 600x2 400y经过可行域的点P时，直线z1 600x2 400y在y轴上截距最小，即z取得最小值，故应配备A型车5辆，B型车12辆(文) 2013·北京卷 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天图16(1)求此人到达当日空气重度污染的

16、概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)【解】设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i1，2，13)根据题意，P(Ai)，且AiAj(ij)(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则BA5A8.所以P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8).(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且P(X1)P(A3A6A7A11)P(A3)P(A6)P(A7)P(A11)，P(X2)P(A1A2A12A13)P(A1)P(A2)P(A12)P(A13)，P(X0)1P(X1)P(X2

17、).所以X的分布列为X012P故X的期望E(X)0×1×2×.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大20.（本小题满分12分）（理）2013·新课标全国卷 如图13所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCBAB.(1)证明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值图13【解】(1)证明：联结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，联结DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)由ACCBAB得，ACBC.以C为坐标原点，的方向为x

18、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA2，则D(1，1，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，2)，(1，1，0)，(0，2，1)，(2，0，2)设n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即可取n(1，1，1)同理，设m为平面A1CE的法向量，则可取m(2，1，2)从而cosn，m，故sinn，m.即二面角DA1CE的正弦值为.（文）2013·北京卷 如图15，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.图15

19、证明：(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE，所以ABED为平行四边形，所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.又因为ADPAA，所以CD平面PAD，所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF，所以CDEF，所以CD平面BEF，所以平面BEF平面PCD.21.（本小题满分12分）2013·新课标全国卷

20、已知函数f(x)exln(xm)(1)设x0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m2时，证明f(x)0.【解】(1)f(x)ex.由x0是f(x)的极值点得f(0)0，所以m1.于是f(x)exln(x1)，定义域为(1，)，f(x)ex.函数f(x)ex在(1，)单调递增，且f(0)0，因此当x(1，0)时，f(x)<0；当x(0，)时，f(x)>0.所以f(x)在(1，0)单调递减，在(0，)单调递增(2)证明：当m2，x(m，)时，ln(xm)ln(x2)，故只需证明当m2时，f(x)>0.当m2时，函数f(x)ex在(2，)单调递增又f(1)&l

21、t;0，f(0)>0，故f(x)0在(2，)有唯一实根x0，且x0(1，0)当x(2，x0)时，f(x)<0；当x(x0，)时，f(x)>0，从而当xx0时，f(x)取得最小值由f(x0)0得ex0，ln(x02)x0，故f(x)f(x0)x0>0.综上，当m2时，f(x)>0.22.（本小题满分12分）（理）【2012高考真题广东理20】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(a>b>0)的离心率e，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mxny1与圆O：x2y21相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由.【解】（1）因为e，所以a23b2，即椭圆C的方程可写为1.设P(x，y)为椭圆C上任意给定的一点，|PQ|2x2(y2)22(y1)263b263b2，yb，b.由题设存在点P1满足|P1Q|3，则9|P1Q|263b2，所以b1.当b1时，由于y1b，b，此时|PQ|2取得最大值63b2.所以63b29b21，a23.故所求椭圆C的方程为y21.（2）存在点M满足要求，使OAB的