数学物理方程陈才生主编课后习题答案1-3章

1、第1章绪 论1.1基本内容提要1.1.1用数学物理方程研究物理问题的步骤(1) 导出或者写出定解问题它包括方程和定解条件两部分；(2) 求解己经导出或者写出的定解问题；(3) 对求得的解讨论其适定性并11作适当的物理解释.1.1.2 求解数学物理方程的方法常见方法有行波法(又称D Alembort解法)、分离变量法、积分变换法、Grew函 数法、能杲积分方法、变分方法等.本书主要使用前面五种方法.1.1.3数学物理方程的导出1. 建立(导出)方程的步骤(1) 从所研究的系统屮划出一部分分析邻近部分与这一小部分的相互作用；(2) 根据物理学的规律比如Newton笫-定律、能就守恒定律等.以数学式

2、子衣 达这个作用：(3) 化简整理即得所研究问题的偏微分方程.2. 建立(导出)方程时常用到的物理学定律(1) Newton第二定律(F = ma).(2) Fourier实验定律(即热传导定律).当物体内存在温差时会产生热杲的流动.热流强度q (即单位时间内流过单位 横截面的热量)与温度的卜降率成正比，即q = ArV«.其屮人为热传导系数负兮衣示热彊的流向和温度梯度方向相反.写成分彊的形式qX = 一加 “， Qy =(lz = -kuz.(3) Newton冷却定律.物体冷却时放出的热与物体和外界的温度差诃边-则成正比英 中“0为周圉介质的温度. # 第1章绪 论（4）热量（质

3、量）守恒定律.物体内部温度升高所需耍的热最（浓度増加所需耍的质彊）等J流入物体内部 的净流热量（质虽:）与物体内部的源所产生的热量（质彊）Z和.（5）费克（Fick）定律（即扩散定律）.一般地说.由浓度的不均匀物质从浓度高的地方向浓度低的地方转移这种 现彖叫扩散 在气体、液体、固体中都仔扩散现象.粒了流强度q （即单位时间内流过单位面积的粒了数）与浓度的卜降率成正比.即q = ATVu,氏中K为扩散系数.负号表示浓度减少的方向写成分吊的形式为qx =qy = -Kuy, qz = -I<ue.（6）Gauss定律.通过一个任意闭合曲面的电通农等这个闭曲面所包阳的自由电荷的电杲 的L倍,即

4、其中£为介电常数,°为电荷密度.（7）胡克（Hooke）定律.在弹性限度内弹性体的弹力和弹性体的形变昴成正比.即/ = -人H直中斤为 弹性体的劲度（倔强）系数，倔强系数在数值上等弹性伸长（或缩短）单位长度时的 弹力，负号表示弹力的方向和形变51的方向相反.另外，有应力=杨氏模Mxffl对伸长.3. 定解条件和定解问题的写出（导出）耍想将-个几体的物理过程完整地翻译成数学语言.必须写出它的定無问题: 包括泛定方程和定解条件（初始条件、边界条件、相容性条件）.泛定方程只能反映 和描绘同一类现象的共同规律.对J：一个貝体的物理问题.还必须通过定解条件來 反映而耍正确写出定解条件

5、必须注意以卜儿方面的问题：（1）正确理解题意.正确区分外源条件、初始条件、边界条件：（2）正确理解并且应用物理定律和定理；（3）注意初始条件和边界条件的个数.以保证解的适定性.1.1.4定解问题的适定性如果个定解问题的解存在、唯，J1连续依赖定解条件屮的初始数据或者1.2习题解答边界数据，则称该定解问题是适定的.否则称它是不适定的.1.2习题解答1.1长为厶的均匀细杆，侧面绝缘，-端温度为0.另-端何怛泄热源g进入(即单 位时间内通过单位截向枳流入的热帚).杆的初始温度分布为L(£-t).试写出相 应的定解问题.解 杆的初始温度分布是土班乙-巧，即初始条件为"(工0) =由

6、杆的 端温度为零，得边界条件“(M) = 0；ff的另T#有恒定热流强度g,即工(lL.t) q.故定解问题为ut = aUxx.0 < x < 厶，£ > 0,«M(z,0) =- z),0 w 工 w E,“(0f) = 0, uz(L,t) =辛，i >0.1.2设有一长为厶的均匀柔软的弦做微小横振动.其平衡位置是工轴的区间0. Q.让u表 示横位移，弦的线密度为必怅力人小为:T.在振动过程中.受到一阻力，阻力的人小与 位移速度成正比比例系数为斤.设初始位移为讽对，初始速度为0.在丁 = 0端固定. 在t = L端佇一弹性支撑弹性强度为斤.试写

7、出弦的位移u(x. t)所满足的定解问题.解 在工=厶端有一弹性支撑弹性强度为人这表明rL=£ = -岡 i'即(7X十畑)L“ = °又因为在振动过程屮，受到-阻力，阻力的人小与位移速度成正比，比例系数为人.所 以阻力F(zJ) = -kut,那么由参考文献1中例121的推导可以得到该眩做微小横 振动的方程为1.3补充习理解答#1.3补充习理解答5Utt = Mxx11(.P因此所求的定解问题是Tkutt = uxx s0 < x < £, f > 0.PPu(z, 0) = 0(x), Mf(x, 0) = 0.0 W R W Z,u

8、(0,f) = 0. (Tux + ku) =0, f 2 0.xL1.3考虑在正方形区域刃=(r. i/)|0 <x<1.0<i/< 1上的波动方程的边值 问题(«zr - yy = °>(Z, 7/) 6u(x,0) = /i(x), u(x, 1) =0 w a s 1,"(O.y) = gi(y), u(l,y) = g2(y),0 W y W 1,貝冲m,92都是已知换数.试问该问题是否适定？为什么？举例说明.解 一般來讲，该问题的解是不唯一的.因此是不适定的.比如若“ =u(“)是 问题的解,那么容易脸证u = u + s

9、in nJtxsinny (n $ 1)也是该问题的解.因此上述 问题的解不唯一.1.4说明定解问题(Ut = -Uxx, (z，0 R1 x (O.oo),1 w(x, 0) = 1, a 以的解是不适定的.解 容易验证两数un(x.t) = 1 + en2f sin nx (n > 1),满足 J = uxx,(x,t) Rl x (0,oo),1 u(i, 0) = 1 十丄 sin m, j: R1.显然.当n > +8时supjGR, |u(t.() - 1| => 0.但是.剤> oc时slip |?in(x, t) 1| = suprRl.t>0ze

10、RLoOlen2fsinnx=sup <>o所以原定解问题的解是不稳定的.1.3补充习题解答1.5由流体力学知理想流体的完整方程组由Euler型运动方程pv(十 p(v V)v 十 Vp = F.(1.3.1)和连续性方程帶十S)= o,(1.3.2)以及物态方程p = /("),(1.3.3)组成.其中方程(131)应该看作三个分昴”叫班的方程：v.p.p分别为流速、乐力 和密度；F为单位质彊上所受外力.试导出当外力F =()时.声波在空气中传播所满足 的声波方程._解设內和风为空气在平衡状态下的压力和密度，并记S =匕一空.即0 =P0Po(l + S).为方便起见,

11、假设外力为零.由J：声波在空气中传播时,S和©都是很小的 S.BIJpftpo. r是式(1.3.1)和式(1.3.2)中的二次项均可忽略.即式(1.3.1)变为vt = -Vp,(1.3.4)P而式(1.3.2)变为+ PoV v = 0. 即 S( + V v = 0.(1.3.5)声波的传播过程是绝热的.绝热过程的物态方程(1.3.3)是p = po(l + S)S它可以 近似为线性函数P = Po(l 十 C'S),(1.3.6)其中7为定压比热与定容比热的比值.由式(1.3.4)和式(1.3.6),得vt = 一迴 PS.(1.3.7)Po而由式(1.3.5)和式(

12、1.3.7)得Stt - a2S 一 0.(1.3.8)这就是声波方程，其中°2=迴Po1.6 一均匀细圜锥杆.用均匀材料制成，质杲密度为杆材料的杨氏模看为£杆 上各点的纵方向位移为u(x.t).试证明杆做纵向微振动的方程为貉=召彩(瑞)Z.9)解均匀细圆锥杆做微小横振动，可应用Hooke定律.并J1假设密度卩是常数.以税 表示图11所示兀卫十小段的质心位移.小段质帚为pSg S是细1.3补充习理解答#杆的横截面积.由Newton第二定律得2 opSX曙=P(x + g t)S(x + Aj) 一 P(z, t)S(x)=洛(PS)X又因为S = Hr2 = lt(x ta

13、nct)2t把P和S代入方JC«l'P(xJ)是在工点的截而S(t)上"时刻沿轴方向所受到的应力.令丄 t 0.得 讯貉謠侔)，(1.3.10)而由Hooke定律,得P = E釜程(1.3.10),得到”(jt 异 tan2(Edu页)1.3补充习理解答#1.3补充习理解答#化简后，得式(139).证毕.注如果员I锥杆的坐标按图12所示则圆锥杆的纵向微振动方程为(1.3.11)1.3补充习理解答#其中力为圆锥的高事实上此时截面而积5 = r2,半径r = (/>-T)tann.将其代入 式(1.3.10),便得式(1311)1.3补充习理解答#1.3补充习理解

14、答#1.7真空屮电磁场的Ahixwell/jfil组的微分形式为，V E = 0,(1.3.12)VxE = -1hhcV H = 0.V x H = Et.c试由这一组方程导出电催波方程#第1儀绪 论(e“ = Qhe、iV'E和H分别为真空中的电场强度和磁场强度.c为光速.解 对方程组(1.3.12)中第四个方程关"求导，得V x Hf = -Eft.c又将Vx作用J：(1.3.中第二个方程，得V x V x F = - * x Ht,即r 1(E) £ = 一上 7xH“那么由方程组(1.3.12)中第一个方程.得Ett = g'E.同理.可证得第二个

15、电磁波方程Htt = c2AH.1.8导出弹性杆的微小纵振动方程.这里设杆的杨氏模療为E(t).质鼠密度为加工), 作用于杆的外力密度为Ff),其方向沿轴(杆轴)方向.解 以表示杆上工点f时刻的纵向位移.考察杆上一小段也工+ 的运 动情况.用u(x.t)表示图1.3所示小段的质心位移.小段质就为pSg S是细杆的横 截面面积.由Newton第二定律得=(p(x + Ax. t) p(x. f )S,9第1儀绪 论因此其中"(魚)表示®点的截面上鬥时刻沿工轴方向所受到的应力显然.肖厶r-0时.d2u Op吒莊=页由Hooke定律，应力和相对伸长成正比.所以duH：中比例系数E

16、为杨氏模氐 对r均匀杆.E为常数.所以杆的微小纵振动方程为卜叭| u+Au |1 1 1 1?XIV 1.31.9 一长为厶的柔软匀质轻弦厂端固 定在以匀角速度s转动的竖n杆上.由 惯性离心力的作用眩的平衡位置是水平 的（图1.4）.试证明：此弦相対水平平衡 位置的横向微振动的方程为d2u7舞07斶.证 以"=u（x.t）表示工点f时刻沿垂貢九方向的位移I大1为弦是柔软的.所 以弦上任一点的张力T总是沿着弦的切线方向.由J弦做微小横振动.在工方向无运 动那么 由Newton第二定律，在i:r + Zkr上自=Tuxx + 些。Tux(z,t),血1吨衣示这-小段眩的平均位移，是弦的质

17、磺密度它是常数.本题中眩的张力 是由内离心力产生的.作用在工处弦的张力为rL1T = T(t) = / uspds = -pu?2(£2 t2),J t2所以令T 0.得就（込雌）.一根长为厶的匀质柔软重绳其上端固定在一竖立轴上，绳子和轴以角速 度a转动.导出此绳子的微小横振动方程. 11 第1帝绪 论解以绳子的上端为原点，取卫轴 竖肖向卜(图1.5).以u(z.t)表示绳子的横向 位移(即对 几轴的偏离).以T(aU)表示绳 的张力，它沿绳的切向.考察绳了的一小 段x. z+At的运动.为此先求tl J ' 绳子受纵向力車力的作用，张力与=有 关.事实上,匚点所受重力为pg

18、(L-x)(卩为 绳的质凤密度它是常数)，所以T(zJ)= P9(L - x).注意到现在横向外力是离 心力,即F(x,t) = piv2u(x,t)Az.那么 由Newton第二定律，得图1.5p工丽=pgL - pg(L -工)L 十d2U 2uc)u 2其屮&表示这一小段的平均位移.对上式利用中值定理并且令工-0,得其中a(H)= g(L-x).它是二阶线性变系数双曲型方程. 注如果绳子的卜端为原点取轴竖直向上则方程为o2u a ( du 芥之页(W丿+1.10 一根细长的匀质圆杆轶截而的半径为/? 杆的侧面按N owtcm冷却定律与 周閘介质交换热昴.试证明圆杆内沿轴向的温度分

19、布«(Tj)满足方程du k d2u 2H況=亦菸诉佃7°)'比中人为杆的导热系数"为杆的比热容"为单位长度杆的质杲.H是Newton冷却定 律的比例系数“0是周用介质的温度.解 考察匀质细杆中攵.工+ &的1段(图1.6).根据热传导的Fourier定律,能 駅流(即单位时间通过单位截面的热朗为-磅，是单位时间内通过截面流入体 枳尤的纯能龟为”(kuxx ( Arux)|+r)Jt/?2 = ( Arux)/?2Ar = AruxxJt/?2Aj：.乂根据N owton冷却定律.在单位时间内通过体积兀M创表欣面积为2兀/?A)与 周阳介

20、质交换热吊血得到的热罠为-H(u-u0)(2nliST).以上两项之.和等J：单位时 间内体积元卩中增加的能量.由于cputv = C/7U/JT/?2A.T.所以c/7u(= lcuxxnFi2 Sjc 2RH(xi !/o)Aj?.消去便得到所要的方程.xx+At图1.61.12设一块均匀张紧的薄膜.静止状态在水平位nOryt面内假设该薄膜做 微小横振动(Oey平而的垂吃Jj向“轴方向).用函数u (上,yj)表示膜在点(.y)处、 在f时刻的位移.试推出叭卩亦)所满足的偏微分方程.解 设膜的面密度为o.因为薄膜是均匀的.所以“是常数.乂设般是柔软的.膜 上每点的张力位J该点膜的切平面内，

21、方向与截口互相垂直.由J：振动是微小的，可 假定膜上任意点沿任总方向的斜率小J-l, 的面积尤在振动中认为是近似不变 的.取平衡位置时位于(?),(“ + Ax.y), (x + Ax, y十Ay), (x,y + “)处的矩形 血元为隔离体按Hooke泄律.张力是常数.设单位截I I长度上的张力为T在任意时 亥"膜微元的位置如图1.7所示.其截I 上受邻近部分脏的张力的人小为T工.T 与!/轴的负方向夹角为m截厂IEC所受张力大小为TSy.直方向与工轴夹角为第截 I ICD所受张力犬小为TAt, K方向与?/轴夹角为0;截I ID4所受张力人小为TSy. 其方向与工轴负方向的夹角为

22、这此张力在0功平面的常届相耳平衡.膜上每一点 每一时刻的位移发生在与67/平面垂直的方向.hNcwkm第二定律.得TAt sin a 十 TAx sin 3 TAi/sin 6 十 TA?/ sin 7 = (pxy)uu .(1.3.13)曲J独做微小横振动所以!sin a u tan a = uy(x?/, f), sin (3 u tan 0 = uy(x. y +0,sin 5 % tan 6 = ux(x,y,t), sin 7 u tan 7 = ux(x 十 Sx.y.t).1.3补充习懸解答 # -将它们代入式(1.3.13),可得TAxu1/(x,t/ + At/, I) -

23、 uv(x,y,t) + Tux(x + 込 y)一 ux(x. y.t) = pAxAt/uff, 即T涪+欝卜叫令= -> 0. Ai/ -* 0.有T(UXX 十 Myy) = P'tt lfia2 = T/p,则UH - «2(WXX 十 Uyy) = 0.(1.3.14)这是二维波动方程.如果膜上每点还受到“方向的场力的作用，其力密度(即膜的单位面积上所受的 力)为F(z, y.t),令/(z,y,t) = Fgt)/p,则方程(1.3.14)变为AUtt - a(Uxx + Uyy) = /(T, 2/J)(1315)这是非齐次的二维波动方程1.13 设Q

24、= (x5y)| x R1,!/ > 0.考虑柯两问题(+ n = 0,(x, y) 6 Q,1 u(z, 0) = 0(t), utf(x,0) = 0(丄),x R其中呎工人讽巧为田匕的有界连续函数问：这个问题的解是否适定?13第1儀绪 论解然.当该问题的解i股足不适定的.例如,取如(工,妙)=占e”"sin(/i2 + 1)显O OO时，有sup |<(x)| + sup 妙(工)| = (n.-2 + n"1) sup | sin(/n2 + 1t)| > 0 工 WR1xRlrRz但是、当"TOO时，有sup |wn(x,l/)| T

25、OQ1.14扩散方程.卜面考虑一维扩散的例子.设一均匀的细直管.里面充满了液 体(比如水),当注入-化学物质(比如染料)那么该染料就耍在水里扩散用“仗,)农 示在1：处时刻r时的液体的浓度.任意取一小段工0, x,见图1.8. 在®(h工这图18一段上，所含该化学物质的质彊为M(0 = u(y,t)dy.所以，A厂(t)= / ut(y.t)dy.J HOJro另外,在这一段上质彊的变化由两个端点的流入罠和流出最而产生.根据Fick扩 散定律得M'(t)=流入量一流出量=Kux(i,t) - Kux(xo，t).所以' ut(yj)dy = Kux(x,t) 一 Ku

26、x(x0,t). =0= (/Cllx)x 它称为一维扩散方程，其中K为扩散系数.对J：三维空间区域r?匕的扩散问题我们任取开区域dgq.那么rhFick扩散定 律，得两边关hr求导、得=/D加心d心磅dSDOD由丁区域D是任意的，故XW)器(哙)+款嗨)+歎哙).它称为三维扩散方程.如果K =卫为常数.则上述方程化为ut = div(JVVu) = a2d2U 02u2 a+ 夢+応1.3补充习懸解答 #-1.15长为厶的柱形管，一端封闭.另一端开放.管外空气中含有某种气体，比浓 度为5向管内扩散写出该扩散问题的定解问题.解'&x = 0端封闭.则该端没仃气体的流动，故宙扩散

27、定律仃-()=0.又 由J：开放的一端与管外相通.应与管外空气中的气体浓度一样.所以有u(L.t) = u0. 故该扩散问题的定解问题为(ut = DuXX30 < i < L. t>0.ux(0,t) = 0. u(L,t) = uq. t > 0,«(x.0) = 0,1.1G设仃-厚壁圆筒贞初始温度为并设它的内衷面的温度增加与时间f成 线性关系，外表而按Newton冷却定律进行热交换试写出实温度分布满足的定解问解如图1.9所表示，设圆筒的内半径 为门，外半径为仏则由区域的对称性，我 们只需要考虑温度“随半径r和时间啲变化情 况.显然该问题的泛定方程和初始

28、条件分别 为ut = DAu = D(urr + rrj < r < 厂2, f > 0,n(n0)=",而内表而的温度为u(ri, /) = at 十 b.其中为常数.(tM(r.O) = uo,可求得b = i/o.故有“(d) = at + u0.又设周I洞介硕的温度为«1,则11J Newton冷却定律仃-kur(r2,t) = H(u(r2,t) - g),即(u + /iwr)|rwr2 =5，其h=k/H,上和H分别为热传导系数和热交换系数.这是第三类边界条件.1.17根长为£的匀质细杆，当杆做纵向微振动时.z = 0端固定.写出卜

29、面两种条件下x = L端的边界条件.r =厶端受纵向拉力的作用； 15 第1帝绪 论(1) z = L端受弹性力F(t) = -ku(L.t)的作用"为弹性系数.u(L.t)为工=L端 的纵向位移.解由Hooke定律.得H |- F lx=L= £5*式中E为杨氏模最.S为杆的横截面枳.(2)由F(t) = -ku(L,t)f 得u丄"=-£"(川)，或(Wx + Am)|x=l =0.式中人=k/ES.第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型2.1基本内容提要2.1.1两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类和化标准型1. 方程的分类考虑两个门变吊

30、上！/的二阶线性偏微分方程«11WXX + 2a 12"" + a22uyy + aLux + bluy + CM /(”),(工，M) P (2.1.1)其中实系数函数011(X, y). «12(X. y),y)在。上不全为零，判别式4 = af2_ftila22-(1) 若在点(xo,j/0)处，判别式 > 0.则称方程(2.1.1)在点(列,如)为双曲 型的；(2) 若在点血皿)处，判别式4 = 0.则称方程(2.1.1)在点(to.?/o)为抛物 型的；(3) 若在点(兀皿)处，判别式4 < 0,则称方程(2.1.1)在点(珈如)为

31、椭圆 型的.另外，如果方程(2.1.1)在区域O中的每点均为双曲熨那么称方程(2.1.1)在区 域O中是双曲型的同样如果方程(2.1.1)在区域貝屮的每点均为抛物型(椭恻型)的. 那么称方程(2.1.1)在区域。中是抛物型(椭圆型)的.2. 特征方程常微分方程au(dt/)2 2«i2dxdi/ + a22(dx)2 = 0.(2.1.2)称为偏微分方程(2.1.1)的特征方程.而特征方程(2.1.2)的积分曲线(乂称通枳分或者 通解)称为方程(2.1.1)的特征曲线或特征线如果anO.那么可得(2.1.3)方程组(2.1.3)也称为偏微分方程(2.1.1)的特征方程组.2.1基木内

32、容提耍 #-3. 化标准型双曲型：zA>0.此时方程组(2.1.3)仃两族不同的实积分曲线，即01(叭 y) = c,初(a,y) = C2,经变换£ = egy)、n = 02(sy), 方程(2.1.1)可以化为第一标准熨"5 = A2U( + B2Urj + C2U + 局 作变换« =扣+ "), 0=扣一“)，方程(2.1.1)可以化为第二标准熨Maa 一 = AUn 十 BU0 + C3M + 巧.(2.1.4)(2.1.5)(2.1.6)2.1基木内容提耍 #-2.1基木内容提耍 19-抛物型：4 = 0这时方程组(2.1.3)成为一

33、个常微分方程dy = ai2dx an *其解为一族实特征曲线，设为©(£，!/) = c.取£ = y)和任一函数=讽=,y).使专兰农0,那么式(2.1.1)町化为抛物型方程的标准型如y)Ujjjj =+ BUff + C4U + Fg(2.1.7)注 如果農丰0,通常取0 = y；如果如丰0.通常取/ = z.椭圆型：J<0.这时特征方程(2.1.3)没有实的特征曲线.由丁方程组(2.1.3)的 系数是实函数因此其解为対共轨复值特征曲线©1(9 y) = a + i0 = 6,02 = a i/? = C2,其屮a.S为的实函数.作变换(=a

34、 = a(z.?/), = 0 = 0(H,y),(2.1.8)那么(2.1.1河化为椭圆世方程的标准型(2.1.9)叱 + unn = 虫5 + 民5 + C5U + 尺.2.1.2多个自变最的二阶线性偏微分方程的分类和化标准型n个自变品1“2,宀的二阶线性偏微分方程的-般形式为其中X =(T1.T2, - ,xn).系数aij,bi,cf(x)为n维空间某区域£?上的适当光滑的实 函数.a.j(x) = aji(a;),11不全为零.系数a万构成的对称阵A = (a：j)nXn)它所对应的 二次型是nQ(入)=Q(入1,入2,，入J =另 旳人入j(2.1.11)ij=l我们有如

35、卜分类：若二次型Q(入I,入2,，入“)在点d =(理，电，鳴)处为非退化且不定(即 矩阵仙g°)”xn的特征值全不为零II不同则谆方程(2.1.10)在点卅)为超双曲 型的(ultrnhyperbolic).特别地.若此时二次熨Q(入1,入2,九)的正惯性指数或负 惯性指数为n - 1,则称方程(2.1.10)在此点为双曲型的(hyperbolic).(2) 若二次型Q(入I,入2,，入J在点？=(迅述，鳴)处为退化二次型(即 矩阵(血血°)“至少冇一特征值为零)，则称方程(2.1.10)在点工°为超抛物型的(ultraparabolic). 特别地.若此时二次

36、型Q(入汕的正惯性指数或负惯件指数 为n-1,则称方程(2.1.10)在此点为抛物型的(parabolic).(3) 若二次型Q(入1,入2,，入在点d =(俎述，鳴)为正定或负定(即矩 阵(仙)”x“的特征值的符号完全相同)，则称方程(2.1.10)在点为椭圆型的(el- liptic)设方程(2.1.10)中的系数知上莎为常数.此时,A =(切)nxn是一个71阶实对称 非零矩阵.由线性代数知识知道.必存在非奇异矩阵B =(如)“n,使得/ ij0.0、0t20(如)耐=血切=.,l 00in 1其中认 -1.0.1, 1.2,小.设集合"，阮心中1的个数为卩(称为 正惯性指数)

37、-1的个数为g(称为负惯性指数).I人I此上述炬阵对角线冬尤的个数 *n-p-g>0.根据定义，我们有如下分类:如果p>0,g>0,p + g = n,则常系数偏微分方程(2.1.10)是超双曲型的.特 别地.当("<?) = 5 - 1.1),或(P,q) = (1,7»_ 1)时,方程(2.1.10)是双曲型的. # 第2住二阶线性偏微分方程的分类9标准樂(4) 如果">().q>().p + q<n.则常系数偏微分方程(2.1.10)是超抛物熨的.特 别地,当(p.q) = (n 一 1.0),或(p.q) = (0

38、"_ 1)时,方程(2.1.10)是抛物型的.(5) 如果(p, q) = (n,0),或(p，g) = (0. n),则常系数偏微分方程(2.1.10)是#6圆型 的.作自变昴的非奇异线性变换£ = Bx,这样方程(2.1.101就可以化为标准形式bs-x4+=i(2112)2.2习题解答2.1判定下列方程的类型：(1) 4mxi - 7uxy + 3uyy = 0;(2) a2urx 十 2auxy 十 uyy = 0. a为常数;(3) r2uxx - y2uyy = 0：(4) i2u + (ar + y)2uyy = 0.解 (1)系数an = 4,012 = 7

39、/2.022 = 3.判别式4 = a% flnfl22 = 1/4 > 0, 方程是双曲型.(2) 系数an = a2,ai2 = a,a22 = 1-判别式 = a% «11«22 = 0、方程是抛 物型.(3) 系数an = x2,ai2 = 0(i22 = 一！A 判别式4 = a2 一 «11«22 = 2!/2-当0 0时，方程是双曲型.当27 = 0时.方程是抛物型.(4) 系数an = x2,ai2 = 0,a22 =(工 + 界.判别式4 =尿2-©222 = -x2(x + y)2. 当z(x + !/) 0 0时.方

40、程是椭圆型：当环r +切=0时，方程是抛物型.化下列方程为标准型：22 Wxx 十 4Wjr-|y + 5Uyy + Ux + 212y 0.解 判别式 = -1<0方程是椭圆型.特征方程组是39 . ；%石=2“石=2-】，其特征线是y (2 + i)ar =",妙(2 - i)x = c2.令£ = y _2工、叶=x.贝9原方程化为 标准型+ uTlfl - Ujj = 0.2»3十 2工1/：1 xy 十 2/ Myy = 0.解 判别式 = 0方程是抛物型.特征方程组是2.2习题解答_ y石=?其特征线是y =皿 令£ =椒、n = x.

41、则原方程化为标准世= °2.4 nxx 2cosxuTy (3 + sin x)uyv yu书=0. 解 判别式4 = 4方程是双曲型.特征方程组是2 cos 斗2.2习题解答2.2习题解答其特征线是y = 2x sin 工 + ci, y = 2x sin r +令£ = v - 2t + sinx. = “ + 2工+ sine则原方程化为标准型32”的 + (C + )(叱 + 5)= 0令5=( + “)/2. t = W 7/)/2.则=0.2.2习题解答2.2习题解答2.5(1 4- X2)UXI + (1 十 y2)yy + 広+ J/«y = &#

42、176;解 判别式 = -(1 +”)(1 + /)< 0,方程是椭圆型.特征方程组是dy /T+T5-. d? = VTT1/1 十 1/2 = _VTTb2.2习题解答其特征线是ln(!/ 十 /1 + y2) = ln(z + + r2)i + cj. ln(!/ + /1 + I/2) = - ln(x + /1 + r2)i + ci.令(=n(y + Jl + /). “ = n(x + x/T+Tr7).则原方程化为标准熨M& + U”fj = 0.2.6 e2xuxx + 2ex+«uxv + vuyy = 0.解 判别式zl = 0.方程是抛物型.特征

43、方程组是2.2习题解答2.2习题解答其特征线是2.2习题解答令© =旷"一°7“ =耳则原方程化为标准型e2xu9)fJ + 叱(卩皆)=0或者求下列定解问题的解：2.7uTX + 2 cos xuxy sin2 xUyy sin xuy = 0,(j y) HI2,u(x, sin x) = x + cos x. uy(x. sin x) = sin j. x R1.解判别式 = 1 方程是双曲型.符征方程组是単=COS Z + 1, 翌=COS T 1.drax其特征线是y = sinar 十 m 十y = sin® rr 十 c?.令£

44、= y sinx rj = y sinz +工，贝9原方程可化为标准型= °,其通解为" = F(° + G5),故原方程的通解是u(x, y) = F(y sin x x) + G(y sin x + jt),比中F.G为任意二阶可微西数.卜面ft!初始条件确定函数F.G因为u(x,sinr) = F(x) + G(jt) = x + cosuy(x,sini) = Fx) + Gz(x) = sin对第二个方程关Jr积分，得F(x) + G(x) = coax + q由此得到x cXCG(x) = 2 + 2*F(-h) = - + COST-故原方程的解为u

45、(x. y) = F(y sin r t) + G(y sin 工十 匚)=j十 cos(y sin x i).2.2习题解答uIX 2 sin TuTy 一 (3 十 cos2 x)uyy 十 ux 十(2 sin ar cos x)uy = 0.(z, y) e R2,COSX)= 0. UW(T, COSI)=COST, X E R1.解 判别式4 = 4.方程是双曲型.特征方程组是dy 石=2 sin 工、石=2 sin x,2.2习题解答2.2习题解答其特征线足y cost 2工=5、 y cost 十 2丄=q.令£ = y cosx 2x.tj = y cosx + 2

46、，则原方程化为标准型=怜其通解为私=F(0 +話7仞).故原方程的通解是y cos z 2x , u(x,y) = F(y cost 2x) + e 3 G(y cost + 2x).由第一个初始条件，得u(jr, cost) = F(2x) + e 一壬 G(2rr) = 0.所以G(2a) = -eTF(-2ar),求导数得2G2x) = 一(-2巧十 2壮 F'(-2r).乙由第二个初始条件得cost = uy(x,coax) = Ff(2x) + -e"7G(2x) +e寿G"(2ar),4由此解得F(2jt) = (sin t + q),G(2x) = s

47、in x + cp所以原初始问题的解是u(x.y) = F(y cosh 2r)十 e 5 G(y cosx 十 2i)=2 cos i sin 27第2盘二阶线性備微分方程的分类打标准型(2.2.1)2.9证明：两个自变龟的二阶常系数双曲型方程«llWrx + a12uxy + «22wyy + alux + 5叫 + CU = f(l.y)一定可以经过门变吊及未知数的IE奇异变换u = VeA将它化成-V + CV = F(«,77)的形式，其中C为常数，F为已知函数.证 当4 = «12_«11«22 > 0时，方程(2.

48、2.1)是双曲型方程，故存在& = <(x,!/),耳= ri(T,y),其中磐型MO,使得方程(221)化为o(x. y)一 U初 + 如哎 + A2U7J + A3U = flD进一步令“=以入£+巴则得以£ - Vrirt十(Al - 2入)以十(A2 - 2“)十(A2 一 “2十A41十“血十AS)V = /但一入, 令入=_*.“ = #,则方程变为除-心+ CV = F(5其中C = 1(42 -召)+虫3, F = Ae-“-切.证毕.2.10适当选取参数A和利用变换v(x.y) = 4+繩“(),化简下列方程:(1) UXX + Uyy +

49、aux + (3uy += 0：(2) uXI = a-2uw + 6ux 十 au;(3) uxx 一 a2uvv = aux 十 0uy 十 7u;(4) uxy = aux + (3uy.解(1)设u(x,y) = eXx,tyv(i,y),接代入原方程.可得vxx + vyy + (a 2X)vx 十(0 - 2p)vy + (A2 + “2 - An - “0 + y)v = 0.11o2 i “2取入=ia, “ =钗o = 7 - 音丄，则上述方程化为Zx4VZx + vyy 十 70 =()(2)类似地，设ti(x.y) = cXxflvv(x. y), Jt 中入=一 *0，

50、“ =疋则原方程化为2.2习题解答# -(2) 类似地，设u(x,y) = eXxfiyv(x.y),其中入=-|a, p =卜 则原方程化 为vxx - a2vyy += 0.其中To = (/?2a2 - a2) - 7-(3) 类似地,设u(x, y) = eXxPVv(x,y), K中入=一队 u = -a, 70 = 一则原 方程化为VXy + =0.2.11求方程uxy =("z Uy) x - y的通解.解原方程可以化为(X 一 y)uxy = ux 一 uv 或 xuXy + Uy = yuxv 十 ux,它可以写成(xux + u)y = (yuy + u)x 或(

51、xu)xj, = (yu)yx 或(xu 一 yu)xy = 0,枳分两次、得其通解(x - y)u = F(x) + G(y) 或 u = ,x - y其中F和G为任慝二阶可微函数.2.12设方程Auxx 十 Buxy 十 Ctlyy = 0(2.2.2)中的常系数A.B.C满足"2 440 = 0.虫*0.证明该方程的通解具有如卜形式：y) = f(mx 十 y)十 xg(mx 十 y),其中/g为任意两个二阶可微换数和m = -召.解 因为判别式4 = 132 - AC = 0.所以原方程为抛物熨方程和特征方程为d" Bd7 = 24 =其特征曲线是y + mi = ci.作变駁代换(= jt/ + mx, “ = x.那么原方程化为"何=°2.2习题解答29 -2.2习题解答# -该方程关旳积分两次得具通解w = (C + g(£),所以原方程通解为u = if(y + mx) + g(y + mi).求下列方程的标准型:2.13 Wxy Wxz + "工 + "卩"z = 0 解方程的系数矩阵是卜面求矩阵B使得BABT = diagii,t2,t3 = Dh其中力 -1,0,1.我们利 川初等变换求矩阵B皋本想法是：先写出