MMs排队模型答案解析

1、3 3M/M/M/M/s s排队模型一、 单服务台模型 （即M/M/1/M/M/1/ /或M/M/1M/M/1）到达间隔：负指数（参数为：到达率）分布；服务时间：负指数（参数为：服务率）分布；服务台数：1 1；系统容量：无限；排队长度（客源）：无限；服务规则: :FCFS.FCFS.1.1.队长的分布设PnPNnn0,1,2,.为系统平稳后队长N的概率分布，则由（1 1）Cnn1n20, ,n1,2,.（累积服务率）nn1.1(2)(2)P01(1Cn)n1PnCnPo，n1,2,.及n,n0,1,2,.和n（无客的概率）（有n客的概率）,n1,2,.,并记一(服务强度，一般1)可得nCnn,

2、n1,2,.故有PnnP0,n1,2,.其中P01(1Cn)1(1n)因此Pn(1)n, ,n0,1,2,. .无客的概率：p01程度（即服务强度尸服务机构的利用率如单位时间，2, ,5, ,则，即 40%40%在，忙.至少有一客的概率服务台处于忙的概率=繁忙2.2.几个主要指标(1)(1)系统中平均顾客数=平均队长(2)(2)系统中等待的平均顾客数= =平均排队长可以证明(见第二版 P328P328 的注释) )在 M/M/1M/M/1 中， 顾客在系统中逗留时间服从参数为的负指数分布，即密度分布函数：f(t)()e()t,t0.分布函数：F(t)P(Tt)1e(*,t0.于是得(3)(3)

3、在系统中顾客平均逗留时间1WET;(4)(4)在队列中顾客平均等待时间因为逗留时间=等待时间Tq+ +服务时间V, ,即TTqV花1口故WE(Tq)E(V)Wq一,从而得另外还可得到（时间与空间关系）:LW和LqWq这两个常称为 LittleLittle 公式. .各公式可记忆如下：由和服务效率一，1从逗留时间W等待时间WqWq队长LW排队队长LqL或LqWq还可导出关系1,1WWq一和LLq一3.3.服务机构的忙期B和闲期I分析(1)(1)因为忙期二至少一客的概率，闲期=无客的概率1忙期时间长度/闲期时间长度=1(2)(2)因为忙闲交替，次数平均平均忙期时间长度/平均闲期R时间长度= =R

4、R. .1I1(3)(3)又由分布无记忆性和到达与服务相互独立性任闲时刻起，下一客到达间隔仍为负指数分布11平均闲期=下一客到达间隔一I一11平均忙期=RWRW1即顾客平均逗留时间，实际意义是明显的.例 1 1 一个铁路列车编组站, ,设待编列车到达时间间隔负指数分布， 平均到达率 2 2 列/h;/h;编组时间服从负指数分布,平均 20min20min 可编一组. .已知编组站上共有 2 2 股道，当均被占用时， 不能接车， 再来的列车只能停在站外或前方站.求(1)(1)在平稳状态下系统中列车的平均数(2)(2)每一列车的平均停留时间；(3)(3)等待编组的列车的平均数. .如果列车因站中的

5、 2 2 股道均被占用而停在站外或前方站时，每列车的费用为 a a 元/h,/h,求每天由于列车在站外等待而造成的损失.解这里2, ,3, ,2 213(1)(1)列车的平均数L1 12(小时) )(2)(2)列车的平均逗留时间L2/W W1 1（小时）（3 3）等待编组的列车平均数,八24rLqL2-一（列）33（4 4）等待编组时间WqW2（小时）,3（5 5）记列车平均延误（2 2 道满，不能进站）时间为Wo，则W0WPN2W(1p0p1p2)3320.296（小时）3故每天列车由于等待而支出的平均费用E24W0a2420.296a14.2a(元).例 2 2 某修理店只有一个修理工，

6、来修理的顾客到达过程为PoissonPoisson 流，平均 4 4 人/h;/h;修理时间服从负指数分布，平均需要 6 6min.min.试求：(1)(1)修理店空闲的概率(2)(2)店内恰有 3 3 个顾客的概率；(3)(3)店内至少有 1 1 个顾客的概率；(4)(4)在店内的平均顾客数；(5)(5)每位顾客在店内的平均逗留时间；(6)(6)等待服务的平均顾客数；(7)(7)每位顾客平均等待服务时间；(8)(8)顾客在店内等待时间超过 10min10min 的概率. .解这里4, ,1/0.110, ,-215(1)(1)修理店空闲的概率p0112/50.6(2)(2)店内恰有 3 3

7、个顾客的概率3332P3(1)-155(3)(3)店内至少有 1 1 个顾客的概率PN11po2/5(4)(4)在店内的平均顾客数0.0380.4(5)(5)每位顾客在店内的平均逗留时间WL也10(min)4(6)(6)等待服务的平均顾客数2/512/50.67（人）LqL0.40.670.268(人)(7)(7)每位顾客平均等待服务时间(8)(8)顾客在店内等待时间超过 10min10min 的概率. .io11PT10e615e10.3679. .二、多服务台模型（即 M/M/s/M/M/s/ /或 M/M/sM/M/s）到达间隔：负指数（参数为：到达率）分布；单台服务时间：负指数（参数为

8、：服务率）分布;WqLq0.26844(min)服务台数：s;s;12Ls系统容量：无限;排队长度（客源）:无限;服务规则: :FCFS.FCFS.数据分析设PnPNnn0,1,2,.为系统平稳后队长N的概率分布，则n0,1,2,.和系统的服务率n,n1,2,3,.,sns,ns,s1,.记s,则当s1时，不至越排越长,ss称s为系统的服务强度或服务机构的平均利用率.由前面的(1),(2)(1),(2)和(3)(3)公式得nP0,nn!nnsP0,s!s1,2,3,.,sCn(/)nn!(/)ss!s3nns,s!s其中Pns1ns1P0-.n0n!s!(1s)当ns时，顾客要等待.记这个等待

9、的概率为c(s,)Pnns称为 ErlangErlang 等待公式. .(1)(1)平均排队长s!(1sF0L Lq(ns)P(ns)Pnns1sP P0s!s!n(ns)(ns)ss1ssP0sdnP0s,s.,、2s!dsn1s!(1s)或c(s，)s1 1s正在接受服务的顾客的平均数s1npnsPnn0nsns一PosPos!(1s)(2)(2)n0n!s1n1s1P0ni(n1)!(s1)!(1s)S与s无关. .奇！(3)(3)平均队长L平均排队长+ +平均接受服务的顾客数Lq. .q对多台服务系统，仍有 LittleLittle 公式：W,WWq例 3 3 考虑一个医院医院急诊的管

10、理问题. .根据统计资料，急论据病人相继到达的时间间隔服从负指数分布，平均每 0.5h0.5h 来一个；医生处理一个病人的时间也服从负指数分布,平均需要 20min.20min.该急诊室已有一个医生，管理人员现考虑是否需要再增加一个医生.解这是一个 M/M/s/M/M/s/8 模型，有2, ,3,-, ,s1,23由前面的公式，结果列表如下指标-模型s=1s=2空闲的概率P00.33305有1个病人的概率P10.222r0.333有2个病人的概率P20.1480.111平均病人数L20.75平均等待病人数Lq1.3330.083病人平均逗留时间W1P0.375病人平均等待时间Wq0.6670.

11、042病人需要等彳的概率PTq00.667(=1p0)0.167(=1pcPI)等待时间超过0.5小时的概率PTq0.50.404P0.022等待时间超过1小时的概率PTq10.2450.003如果是一个医生值班，则病人等待时间明显长结论是两个医生较合适.例 4 4 某售票处有三个窗口，顾客的到达服从泊松过程，平均到达率每分钟0.9人/min./min.服务（售票）时间服从负指数分布,平均服务率0.4人/min./min.现设顾客到达后排成一队这是 M/M/sM/M/s 模型，其中s3,-2.25,由公式可得：，依次向空闲的窗口购票2.253,1s34(1)(1)整个售票处空闲概率Po-non

12、!s!(1s)1Po01230.07482.252.252.252.2510!1!2!3!12.25/3s(2)(2)平均排队长LqpsTs!(1s)30.07482.253/43!(1/4)2平均队长：Lq1.70(人)LLq/1.72.253.95(人)(3)(3)平均等待时间W_qLZPLZP1.89(min)(min)q0.9平均逗留时间WWq1/1.891/0.44.39(分钟)(4)(4)顾客到达后必须等(即系统中顾客数已有 3)3)的概率在上例中，若顾客到达后在每个窗口前各排一队，且中途不换队，则 M/M/3M/M/3/8/8 如下图所示(b).(b).c(3,2.25)sPos

13、!(1s)2.2530.07483!1/40.57. .(a)0.9窗口1窗口2_1窗口30.40.40.30.30.40.3(b)0.93 3 个 M/M/1/M/M/1/8 8每个队的平均到达率为1230.9/30.3（人/分钟）结果比较如下不魅一一._模型M/M/3M/M/1服务台空闲的概率Po0.07480.25（每个子系统）顾客必须等待的概率P（n3）=0.570.75平均排队长Lq1.702.25（每个子系统）平均队长L3.959.00（整个系统）平均逗留时间W4.39（分钟）10（分钟）平均等待时间Wq1.89（分钟）7.5（分钟）单队比三队优越百度知道编组站是铁路网上集中办理大

14、量货物列车到达、解体、编组出发、直通和其它列车作业，并为此设有比较完善的调车作业的车站。其主要任务是根据列车编组计划的要求，大量办理货物列车的解体和编组作业。对货物列车中的车辆进行技术检修和货运检查整理工作，并且按照运行图规定的时刻，正点接发列车。所以，人们往往称编组站为编组列车的工厂。编组站的主要任务和作用可以归纳为：-一解编各种类型的货物列车.作业：5.15.1 某店令有一个修理工人， 顾客到达过程为 PoissonPoisson 流，平土匀3 3 人/h,/h,修理时间服从负指数分布,平均需 10min.10min.求(1)(1)店内空闲的概率；(2)(2)有 4 4 个顾客的概率；(3)(3)至少有 1 1 个顾客的概率；(4)(4)店内顾客的平均数；(5)(5)等待服务的顾客的平均数；(6)(6)平均等待修理时间；(7)(7) 一个顾客在店内逗留时间超过 15min15min 的概率.设有一单人打字室,顾客的到达为 PoissoPoisson n 流,平均到达时间间隔为 20min,20min,打字时间服从负指数分布，平均为 15min.15min.求(1)(1)顾客来打字不必等待的概率；(2)(2)打字室内顾客的平均数；(3)(3)顾客在打字室内的平均逗留时间；(4)(4)若顾客在打字室内的平均逗留时间超过 1.25h,1.25h,则主人将考虑