平面向量题型归纳

1、平面向量题型归纳向量有关概念 ：【任何时候写向量时都要带箭头】uuur r1向量的概念 ：既有大小又有方向的量， 记作： AB 或 a 。注意向量和数量的区别。 向量常用有向线段来表示， 注意 不能说向量就是有向线段 ，为什么？（向量可以平移） 。uuur r例：已知 A（1,2），B（4,2），则把向量 AB按向量 a（ 1,3）平移后得到的向量是uuur r2.向量的模 ：向量的大小（或长度） ，记作： | AB|或 |a|。3 零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0 ，注意 零向量的方向是任意的 ；4 单位向量： 单位向量 ：长度为 1 的向量。r r uuur uuur若 e

2、是单位向量，则 |e| 1 。（ 与 AB 共线的单位向量是uAuBur ）；|AB |5相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；6平行向量 任何向量平行 。也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 a 、 b 叫做平行向量，记作：a b ， 规定零向量和提醒 ： 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念： 不包含两条直线重合；平行向量无传递性 ！（因为有 0）；uuur uuur三点 A、B、C共线AB、AC 共线；如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是

3、（uuuruuuruuuruuuruuurA. ABCDB. ABADBDuuuruuuruuuruuuruuurC. ADABACD. ADBC0C7r相反向r 量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 若 ra bruuurBA 。例：下列命题：（1） uuur uuur若 AB DC ，则 ABCD 是uuur a 的r相反r 向r 量r是 ra 、rAB ，则 a b 。（ 2）若 a b,b c，则 a c 。（6）若 ra/ br ,br /cr ，则 ra / rc 。（3） 平行四边形。 （ 4）若 ABCD 是平行四边形，则 uAuuBr uDuCur 。其中正确的是 题型

4、 1、基本概念1：给出下列命题： r r r r若|a|b|，则 a = b ；向量可以比较大小； 方向不相同的两个向量一定不平行；若ar =b，b=cr ，则 ar =cr ；若ar /b，b/cr ，则 ar /cr ；0 ar 0；0 ar 0；其中正确的序号是2、基本概念判断正误： （ 1）共线向量就是在同一条直线上的向量。2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。uuur uuur4）四边形 ABCD 是平行四边形的条件是 AB CD 。uuur uuur5）若 AB CD ，则 A、B、C、 D 四点构成平行四边形。6）因为向量就是有向

5、线段，所以数轴是向量。7）若 a与b共线， b与c共线，则 a与 c共线。r r r r r r8）若 ma mb ，则 a b 。（ 9）若 ma na ，则 m n 。10）若 ar 与br 不共线，则 ar 与 rb都不是零向量。r r r(11)若 a b |a|br |，则 ar / /br 。（12）若 |arr b|r r r r a b|，则 a b。二、向量加减运算8.三角形法则：uuur uuur uuuruuuruuur uuuruuur uuuruuuruuuruuurAB BC AC ；ABBC CDDE AE； ABACCB（指向被减数）9.平行四边形法则 ：rrr

6、rrr以 a,b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为ab， a b。题型 2.向量的加减运算uuur uuur uuur uuur uuuur1、化简 (AB MB) (BO BC) OMuuur uuur uuur2、已知 |OA| 5,|OB| 3,则| AB |的最大值和最小值分别为3、在平行四边形uuur uuurABCD 中，若 AB ADuuur uuurAB AD ，则必有B.uuur r uuurAB 0或 ADr0 C. ABCD 是矩形D. ABCD 是正方形题型 3.向量的数乘运算r r r r1、计算：( 1) 3(a b) 2(a b)(2) 2(2a 5b 3rr

7、r) 3( 2a 3b 2cr)题型 4.作图法求向量的和r r r 1 r r 3r1、已知向量 a, b ，如下图，请做出向量 3ab和 2ab。22题型 5.根据图形由已知向量求未知向量1、已知在ABC中， D是 BC的中点，请用向量uuur uuur uuur AB，AC 表示 AD 。r uuur uuur b ，求 AB和 AD 。uuur r uuur2、在平行四边形 ABCD中，已知 AC a,BD题型 6.向量的坐标运算r r r 1 r1、已知 a (1, 4),b ( 3,8)，则 3ab 。练习：若物体受三个力 Fr1 (1,2) ,Fr2 ( 2,3) , Fr3 (

8、 1, 4) ,则合力的坐标为 uuur2、已知 PQ ( 3, 5)， P(3,7) ，则点 Q的坐标是。r r rr rr rr3、.已知 ar( 3,4) ， b(5,2) ，求 arb ，arb，3ar2b 。r uuur2、已知 A(1,2),B(3,2) ,向量 a (x 2,x 3y 2)与 AB 相等，求 x, y的值。uuur uuur r uuur5、已知 O是坐标原点， A(2, 1),B( 4,8) ，且 AB 3BC 0，求 OC 的坐标。a，有且三平面向量的基本定理 ：如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 只有一对实数 1 、

9、 2 ，使 a= 1 e1 2 e2。基底 ：任意不共线的两个向量称为一组基底。题型 7.判断两个向量能否作为一组基底ur uur1、已知 e1,e2 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：urA. e1uur ur uur e2和e1 e2urB.3e1uur uur2e2和4e2ur ur6e1C.e1uur uur3e2和e2ur uur uur ur3e1D. e2和e2 e1练习：下列各组向量中，可以作为基底的是()(A)e1(0,0),e2(1, 2)(B) e1( 1,2),e2(5,7)(C) e1 (3,5),e2( 6,10 )(D) e1(2, 3),

10、e2(1 , 3 ) ( , ) 242、 .已知 ar (3,4) ，能与 ar 构成基底的是()3 44 33 44A. ( , ) B.( , ) C.( , ) D.( 1, )5 55 55 533、知向量 e1、 e2不共线，实数 (3x-4y)e1(2x-3y)e2 =6e1+3e2 ,则 x y的值等于4、设 e1,e2 是两个不共线的向量， AB 2e1 ke2 ,CB e1 3e2 , CD 2e1 e2 ，若 A、B、D 三点共线，求 k 的值 .uuur uuur uuur 5、平面直角坐标系中， O为坐标原点，已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C(x, y

11、)满足 OC =OA +OB ，其中 ,R且 +=1，则 x, y 所满足的关系式为( )A 3x+2y-11=0B(x-1)2+(y-2)2=5C2x-y=0D x+2y-5=0四平面向量的数量积 ：uuur r uuur r1两个向量的夹角 ：对于非零向量 a，b，作 OA a,OB b， AOB0称为向量 a，b的夹角，当 0时，a， b同向，当 时， a ， b反向，当 时， a，b2 垂直。rr 实数与向量的积 ：实数 与向量 a的积是一个向量，记作a ，它的长度和方向规定如下： 1 a a , 2rr 当 >0 时， a 的方向与 a 的方向相同， 当 <0 时， a

12、的方向与 a 的方向相反， 当 0 时， a 0 ，注意 ： a 0。uuur uuur uuur r uuur r uurur r例 1、已知 AD,BE 分别是 ABC 的边 BC, AC上的中线 ,且 AD a,BE b ,则 BC可用向量 a, b表示为 例 2、已知 ABC中，点 D在BC 边上，且 CD 2DB ， CD r AB sAC ，则 r s的值是rr2平面向量的数量积 ：如果两个非零向量 a ， b ，它们的夹角为 ，我们把数量 |a|b|cos 叫做 a与b的数量 rr积(或内积或点积) ，记作： a ?b ，即 a ? b a b cos 。规定：零向量与任一向量的

13、数量积是0， 注意数量积是一个实数，不再是一个向量 。3向量的运算律：rrrrrrr r r1交换律： aba，aa，a?b b?a ；rrrrrrrrrr r r r r r r r2结合律： acabc,abcab c ， a ?b a?b a? b ；3分配律：r ar ar a,r ar br ar r r r r r r r b， a b ?c a?c b?c 。题型 8：有关向量数量积的判断1：判断下列各命题正确与否：( 1) (ab)ca (bc) ；(2)r 若ar brrar cr ，则 b cr 当且仅当 ar 0 时成立；3)(a b) c a c b c；(4) (ar

14、 b) cr ar (b cr )对任意 ar,b,cr 向量都成立；rr r rrrrr 25）若 a0,ab a c ，则 bcr ；（ 6）对任意向量ar ，有a2a 2。2、下列命题中： a ( bc)a b a c ；a ( bc)(a b ) c ；rrr r r(a b )2|a |22|a|b|b|2 ； 若 a b0 ，则a0或 b 0；若 a bc b, 则 arrabr r 2r2r2r r 2 r 2rrr2 r 2br ；(a b)2ab；( a b)2 a2a bb。其中正确的是 ar题型 9、求单位向量【与 a 平行的单位向量：erar 】（7）m（ a b）=m

15、 a +mb 其中正确的序号是 。|a|r2 ra1.与 ar （12,5） 平行的单位向量是r12.与 mr （ 1, 1） 平行的单位向量是2题型 10、数量积与夹角公式： a b |a| |b| cos ；cosab|a | |b |向量的模：若 ar(x, y) ，则 |a| x2 y2 ， a |a|2，|a1、ABC中， | AB | 3，| AC | 4，| BC | 5，则 AB BC r 1 r 1 r r r ur r r r ur2、已知 a (1, ),b (0, ),c a kb,d a b，c与 d 的夹角为 ，则 k 等于_ 2 2 43、已知 |ar | 3,|

16、br | 4，且 ar 与br 的夹角为 60o ，求( 1)ar br ，(2)ar (ar br) ， r 1 r r r r r r(3)(ab) b ，(4)(2a b) (a 3b) 。24、已知 ar ,br 是两个非零向量，且 ar br ar br ，则 ra与 ar br 的夹角为5、已知 ar ( 3,1),br ( 2 3,2) ，求 ar 与br 的夹角。6、已知 A(1,0) ， B(0,1) ， C(2,5) ，求 cos BAC。7、已知非零向量 a,b 满足 a b，b （b 2a） ，则 a与b 的夹角为 ou ur uuur8：已知 ABC中 ABC 50o

17、,BC BA,则 BA与 AC 的夹角为rrr r rr ra9：已知向量a与向量b的夹角为120°，若向量c=a+b，且ac，则r的值为b10：已知|a |1| b |2，| a b |2，则b与 2a - b的夹角余弦值为11：已知向量 ra= 2 ， rb=2， ar和br的夹角为 135 ，当向量 ar+ br与 ra+br的夹角为锐角时，求 的取值范围。题型 11、求向量的模的问题 如向量的模：若a(x, y) ，则 |a|2r(a rb ra2| ra1、已知零向量 a (2，1), a.b10, a b5 2，则b2、已知向量a,b 满足 a 1, b2, a b2，则

18、 a3、已知向量a (1, 3) ， b( 2,0)，则ab4、已知向量a (1,sin ),b(1, cos ),则a b 的最大值为5、(A) 8(B)(C) 2(D) 1设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，6、 设向量 a，b满足 a b 1及 4a 3b 3，求 3a 5b 的值练习：已知向量 a,b满足 a 2,b 5,a.b 3，求 a b和 a b7、 设向量 a，b满足 a 1,b 2,a (a 2b),则 2a b的值为r8、已知向量 a、b满足 a 1， |b| 4，则|a b |的最大值是最小值是题型 12、结合三角函数求向量坐标uuur o uuu

19、r1. 已知O是坐标原点，点 A在第二象限， |OA| 2， xOA 150o，求 OA的坐标。uuur o uuur2.已知 O是原点，点 A在第一象限， |OA| 4 3， xOA 60o，求 OA的坐标。r r r r五、平行与垂直知识点： a/ /b a b x1y2 x2y1 ； 题型 13：向量共线问题 1、已知平面向量 a （2，3x），平面向量 b （ 2， 18），若 a b ，则实数 x2、设向量 a （2，1），b （2，3）若向量 a b 与向量 c （ 4， 7）共线，则3、已知向量 a （1，1），b （2，x）若 a b与4b 2a 平行，则实数 x的值是（）A

20、-2B 0C1D 2uuur uuur uuur练习：设 PA （k,12）,PB （4,5）, PC （10,k ） ，则 k时， A,B,C 共线5、已知 a,b不共线， c ka b,d a b，如果 cd，那么 k= ,c与 d的方向关系是练习：已知 a （1,1）,b （4, x） ， u a 2b，v 2a b，且 u/v ，则 x6、已知向量 a （1，2），b （ 2，m）,且 a b，则 2a 3b 题型 14、 向量的垂直问题1、已知向量 a （x，1）,b （3,6）且a b ，则实数 x的值为2、已知向量 a （1， n），b （ 1， n），若 2a b与b垂直，则

21、a练习：已知 a =（1，2），b =（-3，2）若 k a +2 b与2 a -4 b垂直，求实数 k 的值3、已知单位向量 m和n的夹角为 ，求证：（ 2n m） m34、a （3，1）, b （1,3），c （k,2）,若（ a c） b，则 k练习： a （1，2）,b （2, 3），若向量 c满足于（ c a）b ，c （a b），则c _5、以原点 O和 A（4,2）为两个顶点作等腰直角三角形 OAB ， B 90 ，则点 B的坐标是 题型 15、 b在a上的投影 为|br |cos ，它是一个 实数，但不一定大于 0。1、已知|a| 3，|b| 5，且ab 12，则向量 a在向量

22、 b上的投影为2、已知 a 8 ， e是单位向量，当它们之间的夹角为时， a在 e方向上的投影为3练习：已知 a 5, b 4， a与b的夹角2 ，则向量 b 在向量 a上的投影为题型 16、三点共线问题1.已知 A(0,2)，B(2, 2) ，C (3, 4)，求证：A,B,C 三点共线。uuur2rr uuurrr uuurrr2.设 AB22(ar5b), BC2a8b,CD3(a b) ，求证： A、B、D 三点共线。uuurr r uuur rr uuurrr练习：已知ABa 2b,BC 5a6b,CD7a 2b ，则一定共线的三点是3.已知 A(1,3)，B(8, 1) ，若点 C

23、(2a 1,a2) 在直线 AB 上，求 a的值。uuur uuur uuur 4.已知四个点的坐标 O(0,0) ， A(3, 4) ， B( 1,2) ， C(1,1)，是否存在常数 t，使 OA tOB OC 成立？5：e1,e2 是平面内不共线两向量，已知 AB e1 ke2, CB 2e1 e2,CD 3e1 e2 ，若A, B, D 三点共线，则 k =6：设 O是直线 l外一定点， A、B、C 在直线 l 上，且 OB 3OA xOC,则 x =7：设 a ， b是两个不共线向量，若 a与b起点相同， t R， t=时， a，tb，1 r r (ab )三向量的终点在一条直线上。

24、38：如图，在 ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同 的两点 M、N，若ABmAM ，ACnAN ，则 mn 的值为 9:在OAB 的边 OA，OB 上分别取点 M ，N ，使|OM | O|A | 13，|ON | O|B|14，设线段 AN 与 BM 交于点 P，记OA a， OB b，用 a，b 表示向量 OP.练习：如图， 在OAB 中，OC14OA，OD12OB，AD 与 BC 交于点 M，设OAa，OBb.(1)用 a、b表示OM ；71p37q1.(2)已知在线段 AC 上取一点 E，在线段 BD 上取一点 F，使 EF 过 M 点

25、，设 OEpOA，OF qOB，求证：uuur uuur，使P1PPP2 ，六、线段的定比分点1定比分点的概念 ：设点 P是直线 P1P2 上异于 P1 、P 2的任意一点， 若存在一个实数uuuur uuuur则 叫做点 P 分有向线段 P1P2 所成的比， P 点叫做有向线段 P1P2 的以定比为 的定比分点；>0；当 P点在线段 P1 P2的延长2 的符号与分点 P 的位置之间的关系 ：当 P点在线段 P1P2上时 线上时<1；当 P点在线段 P2 P 1的延长线上时1 0；uuur 3 uuur例 1、若点 P 分 AB 所成的比为 3 ，则 A 分 BP 所成的比为 x，

26、则yx1x21y1 y214uuuur3线段的定比分点公式 ：设 P1(x1,y1)、P2(x2,y2) ，P(x, y)分有向线段 P1P2所成的比为xx1x22P1 P2 的中点公式yy1y2 。2特别地，当 1 时，就得到线段题型 17、定比分点12、若 M(-3，-2)，N(6，-1)，且 MPMN，则点 P 的坐标为 31 uuuur uuur3、已知 A(a,0), B(3,2 a)，直线 y ax与线段 AB交于 M ，且 AM 2MB ，则 a等于七、平移公式 ：如果点 P(x,y) 按向量 ar h,k 平移至 P(x,y )，则 x x h ；曲线 f (x,y) 0 按向

27、量 y y kra h,k 平移得曲线 f (x h, y k) 0.注意 ：(1)函数按向量平移与平常 “左加右减 ”有何联系？ (2)向量平 移具有坐标不变性， 题型 18、平移1、按向量 ar 把 (2, 3)平移到 (1, 2) ，则按向量 ra把点 ( 7,2)平移到点 2、函数 y sin 2x的图象按向量 a 平移后，所得函数的解析式是 y cos2x 1，则 a 八、向量中一些常用的结论：( 1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；(2)|ar | |br | |ra br | |ar | |br |，特别地，当 ra、br 同向或有 0r |ar br |

28、|ar | |br |r r r r r r r r r r r r r r r r rr|a|r |b|r| |ar b|r ； 当r a、b 反 向 或 有 0 |a b| |a| |b| |a| |b| |a b| ； 当 a、b 不 共 线 |ra| |br | |ar br | |ar | |br |(这些和实数比较类似 ).(3)在ABC中，若 Ax1, y1,Bx2,y2,Cx3, y3，则其重心的坐标为 Gx1x2x3,y1y2y333如1、若 ABC 的三边的中点分别为( 2，1)、(-3，4)、(-1，-1)，则 ABC 的重心的坐标为 uuuruuuruuuruuurPG

29、13(PAPBPC)uuuruuuruuuruuuruuurPAPBPBPCPCG 为 ABC 的重心，特别地uuurPA P 为 ABC 的垂心；uuurPAP 为 ABC 的重心；uuur uuur向量 ( uAuBuruAuCur )(0) 所在直线过 ABC的内心 (是 BAC 的角平分线所在直线 )；|AB| |AC |P ABC 的内心；uuur uuur uuur uuur uuur uuur r| AB|PC |BC |PA |CA|PB 0uuuur（ 3）若 P 分有向线段 P1P2 所成的比为uuuur uuuur中点 uMuPur MP1 MP2 ；2，点 M 为平面内

30、的任一点，则uuurMPuuuur uuuurMP1MP2 ，特别地 P为 P1P2的1uuur uuur uuur4)向量 PA、PB、PC中三终点 A、B、C 共线存在实数uuuruuuruuur使得 PA PBPC 且1.如2、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1) ,B( 1,3) ,若点 C 满足 OC 1 OA 2 OB ,其中1, 2 R且 1 2 1,则点 C 的轨迹是 题型 19、判断多边形的形状uuur r uuur r uuur uuur1.若 AB 3e，CD5e，且 |AD| | BC |,则四边形的形状是2.已知 A(1,0) ， B(4,3) ，C(

31、2,4)， D (0,2) ，证明四边形 ABCD是梯形。3.已知 A( 2,1) ， B(6, 3) ， C (0,5) ，求证： ABC是直角三角形。4、在 ABC中，若 BA BA AB CB 0 ，则 ABC的形状为( )A 等腰三角形 B等边三角形C等腰直角三角形D 直角三角形uuur uuur uuur5、在平面直角坐标系内， OA ( 1,8),OB ( 4,1),OC (1,3) ,求证： ABC是等腰直角三角形。6、平面四边形 ABCD中， AB a，BC b，CD c， DA d ，且a b b c c d d a ，判断四边形 ABCD的形状题型 20：三角形四心uuuv

32、 uuuv uuuv v1、已知 ABC的三个顶点 A、B、C 及 ABC所在平面内的一点 P，若 PA PB PC 0 则点 P 是 ABC 的 ()A 重心B垂心C内心D 外心uur uur u uuruuuru uuruuur2. 已知点 O是三角形所在平面上一点，若 OAOB OBOC OCOA,则 O是三角形 ABC的( )( A)内心( B)外心(C)重心(D )垂心uuur2 uuur2 uuur 23、已知点 O 是三角形所在平面上一点，若 OA OB OC ，则 O是三角形 ABC 的(A）内心B）外心C）重心D ）垂心练习、已知O，N，P在ABC 所 在 平 面 内 ，且O

33、AOBPA?PBPB? PCPC ? PA，则点O，N，P 依次是ABC的（）（ A ）重心 外心垂心 （B）重心外心内心（ C）外心 重心垂心 （D）外心重心内心uuruuruuruuuruuur uur4、在平面内有ABC 和点O，若 AB(OAOB)AC(OC OA)0，则点O是A重心B垂心C内心D外心OC , NAABC 的NBNC 0 ， 且5、已知点 O 是平面上一个定点，A、B、C 是平面内不共线三点，uuur动点 P 满足 OPuuurOAuuur( ABuuurAC) , R，则动点 P 一定通过 ABC的（A）内心B）外心C）重心D）垂心6、已知点 O是平面上一个定点， A、B 、C是平面内不共线三点，uuur动点 P 满足 OPuuurOAuuur uuur AB AC uuur + uuur | AB | AC |R ，则动点 P 一定通过 ABC 的（A）内心B）外心C）重心D）垂心7、 已 知点 O 是 平 面上 一个 定 点 ，A 、 B 、 C 是 平 面 内 不 共 线 三 点 ，动点uuur 满 足 OPuuurOAuuuruu