《任意角的三角函数》

1、1.2.1 1.2.1 任意角的正弦函数、余任意角的正弦函数、余弦函数的定义弦函数的定义 1.1.角的概念是由几个要素构成的，具体怎样理解？角的概念是由几个要素构成的，具体怎样理解？ （1 1）角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置）角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形旋转到另一个位置所组成的图形. .（2 2）按）按逆时针逆时针方向旋转形成的角为方向旋转形成的角为正角正角，按，按顺时顺时针针方向旋转形成的角为方向旋转形成的角为负角负角，没有作任何旋转形成，没有作任何旋转形成的角为的角为零角零角. .（3 3）角的大小是）角的大小是任意的任意的. .复习回顾复习回

2、顾2.2.为了研究问题的方便，我们把角放入直角坐标系内为了研究问题的方便，我们把角放入直角坐标系内讨论。怎样操作的？象限角怎么定义的？讨论。怎样操作的？象限角怎么定义的？（1 1）a.a.角顶点与原点重合；角顶点与原点重合；b.b.角的始边与角的始边与x x轴的非轴的非负半轴重合。负半轴重合。（2 2）象限角：角的终边在第几象限，就是第几象）象限角：角的终边在第几象限，就是第几象限角。限角。（3 3）终边相同的角的表示法：）终边相同的角的表示法： = =k360k360(kZ)(kZ)3.3.弧度制弧度制（1 1）借助于）借助于单位圆单位圆定义的，单位长度的弧所对的圆定义的，单位长度的弧所对的

3、圆心角为心角为1 1弧度的角，单位符号弧度的角，单位符号radrad，读作弧度。，读作弧度。（3 3）与角）与角终边相同的角的一般表达式：终边相同的角的一般表达式：= =k360k360（kZkZ）或）或 2()kkZbap=+（2 2）180180 rad.rad.（4 4）特殊角的度数与弧度数的对应表）特殊角的度数与弧度数的对应表弧度有效的把角度单位与长弧度有效的把角度单位与长度单位统一起来，确立了度单位统一起来，确立了角角与与实数实数间的间的一一对应一一对应关系。关系。如果改变点在终边上的位置，这如果改变点在终边上的位置，这两两个比值会改变个比值会改变吗？吗？PMsinMPOPcosOM

4、OPOMPPMOMPOP OMOPMOP诱思探究诱思探究能否通过能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？取特殊值将表达式简化呢？ 1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？sinMPOPcosOMOP，则若1 rOPMPOMMOP2.2.角推广到任意角后，当角角推广到任意角后，当角不是锐角时，不是锐角时，sinsin，coscos怎怎样计算呢？样计算呢？OabMPyx的终边的终边O Ox xy yP P知识探究（一）：任意角的三角函数知识探究（一）：任意角的三角函数 为了研究方便，我们把锐角为了研究方便，我们把锐角放到直角坐标放到直角坐标系中，并使角系中，并

5、使角的顶点与原点的顶点与原点O O重合重合, ,始边与始边与x x轴轴的非负半轴重合的非负半轴重合. .在角在角的终边与单位圆交点的终边与单位圆交点P P（a，b b）, , 点点P P与原点的距离为与原点的距离为r=1r=1，那么，那么，sinsin、coscos的值分别如何表示？的值分别如何表示？ 1.在直角坐标系中，借助于单位圆，研究锐角三在直角坐标系中，借助于单位圆，研究锐角三角函数。角函数。sinMPOPcosOMOP1OPr1bb1aa因为 ，在三角形OPM中，根据锐角三角函数，知：2.任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点( , )P

6、u v 那么:（1） 叫做 的正弦正弦，记作 ，即 ；vsinsinv （2） 叫做 的余弦余弦，记作 ，即 ； cosucosu注注：（：（1）符合函数的定义。）符合函数的定义。正弦，正弦，余弦都是以余弦都是以角为自变量角为自变量，以，以单位圆单位圆上点的上点的纵、横坐标纵、横坐标为函数值的函数，为函数值的函数，我们将他们称为我们将他们称为三角函数三角函数.（2）定义域：）定义域：R（3）值域：）值域：-1,10 , 1AOyx,P u v的终边类比定义类比定义例例1：如图已知角：如图已知角的终边与单位圆的交点是的终边与单位圆的交点是 ， 求角求角的正弦、余弦值。的正弦、余弦值。)23,21

7、(P解：根据任意角的三角函数定义：23sin21cos3tanOxy)23,21(P点评：若已知角点评：若已知角的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用定义求三角函数值。定义求三角函数值。实例剖析实例剖析例例2 在直角坐标系的单位圆中，在直角坐标系的单位圆中， ，（，（1）画出角）画出角a；（2）求出角）求出角a的终边与单位圆的交点坐标；的终边与单位圆的交点坐标；（3）求）求 出角出角a 的正弦、余弦值的正弦、余弦值.。4 4MOP 解解: （1）如图，以原点为角的顶点，以）如图，以原点为角的顶点，以x轴非负半轴为始边，轴非负半轴为始边，顺时针旋转顺时针旋转

8、 ，与单位圆交于点，与单位圆交于点P，即为所求作的角即为所求作的角（3）所以）所以 22sin(),cos()4242 ， 点评：已知角点评：已知角求正弦、余弦的步骤求正弦、余弦的步骤：（1）在直角坐标系中画出该角；）在直角坐标系中画出该角；（2）求出角求出角终边与单位圆的交点；终边与单位圆的交点；（构造直角三角形，求出直角边长度，（构造直角三角形，求出直角边长度，根据点的象限确定交点坐标）根据点的象限确定交点坐标）（3）利用定义求三角函数值；）利用定义求三角函数值；（2）由于）由于 ，点，点P在第四象限，所以点在第四象限，所以点P坐标为坐标为22(,)224 xyoMP44例例3 已知角已知

9、角 的终边经过点的终边经过点 ，求角，求角 的正弦、余的正弦、余弦值弦值 .)4, 3(0P5)4()3(220OP解解:由已知可得由已知可得设角设角 的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于 ，),(yxP分别过点分别过点 、 作作 轴的垂线轴的垂线 、0PMPP00PMx400PM 于是，于是， ;54|1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP00POM;531cos00OPOMOPOMxx4, 30P0MOyxMyxP ,思考：若点思考：若点P P（x x，y y）为角）为角终边上任意终边上任意一点，那么一点，那么sinsin，coscos对应的函数值对应的函数值分别等于

10、什么？分别等于什么？P(xP(x，y)y)O Ox xy y22sinyxy22cosxxy任意角的三角函数只与这个角的终边位置有关，任意角的三角函数只与这个角的终边位置有关，与点与点P P（x x，y y）在终边上的位置无关）在终边上的位置无关. .知识探究（二）：三角函数符号与公式知识探究（二）：三角函数符号与公式 思考思考1 1：在直角坐标系各个象限中，点坐标的符号：在直角坐标系各个象限中，点坐标的符号是怎样的？是怎样的？思考思考2 2：设：设是一个任意的象限角，那么当是一个任意的象限角，那么当在第在第一、二、三、四象限时，一、二、三、四象限时，sinsin的取值符号分别如的取值符号分别

11、如何？何？coscos取值符号分别如何？取值符号分别如何？sinycosx的终边的终边P(xP(x，y)y)O Ox xy y（ ）（ ）（ ）xyosin（ ）（ ）（ ）（ ）xyocos探究：探究：三角函数值在各象限的符号三角函数值在各象限的符号三角函数三角函数 第一象限第一象限 第二象限第二象限 第三象限第三象限 第四象限第四象限sinc o scos+ + + + +1 1 求证：当且仅当不等式组求证：当且仅当不等式组 成立时，角成立时，角为第四象限角为第四象限角. . sin0cos02 2 确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号. .（1 1） ; ;（2 2） ; ;

12、 （3 3） cos250sin()49cos4思考思考3 3：如果角：如果角与与的终边相同，那么的终边相同，那么sinsin与与sinsin有什么关系？有什么关系？coscos与与coscos有有什么关系？什么关系？ 表明，终边相同的角的同名三角函数值表明，终边相同的角的同名三角函数值相等，如何将这个性质用一组数学公式表达？相等，如何将这个性质用一组数学公式表达？公式一：公式一： sin(2)sinkcos(2)coskk Z可将求任意角的三角函数值，转化为求可将求任意角的三角函数值，转化为求0 0 （或（或0 0360360) )范围内的三角函数值范围内的三角函数值. . 2p公式一揭示了

13、三角函数值呈周期性变化，即角的公式一揭示了三角函数值呈周期性变化，即角的终边绕原点每旋转一周，函数值重复出现终边绕原点每旋转一周，函数值重复出现. .思考思考4 4：若：若sin=sinsin=sin，则角，则角与与的的终边一定相同吗？终边一定相同吗？ 2p2p2p思考思考5 5：函数的对应形式有一对一和多对一两：函数的对应形式有一对一和多对一两种，三角函数是哪一种对应形式？种，三角函数是哪一种对应形式？ 3 3 确定下列角的三角函数值确定下列角的三角函数值. .（1 1） ; ;（2 2） ; ; （3 3） 529474归纳归纳 总结总结1. 内容总结：内容总结： (1)正弦、余弦函数的概

14、念正弦、余弦函数的概念.(2)正弦、余弦函数的定义域、值域正弦、余弦函数的定义域、值域.(3)已知角求正余弦函数值；已知角终边一点求正余已知角求正余弦函数值；已知角终边一点求正余弦函数值弦函数值.(4)正弦、余弦函数在各象限的符号正弦、余弦函数在各象限的符号.2. 数学思想方法总结：数学思想方法总结： 数形结合思想数形结合思想1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域、值域根据三角函数的定义，确定它们的定义域、值域填填空空sincos2.确定三角函数值在各象限的符号确定三角函数值在各象限的符号yxosinyxocos+（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）+-+-+sin(2)sinkcos(2)cosk三角函数三角函数定义域定义域值域