第14讲不定积分的第一类换元法

1、不走积分的 第一类换元出凑微分法第一换元法一、凑微分法因 (sin 2x7 = 2cos2x (sin2x)f = cos2x2coslxdx-sin2x + c2再解：cos2azZx=丄 J(sin2x)= -sin2x + c 2=护沁屮k1=elx+ c例3 J 1 + x2=f X2J 1 + x2=f d(l + x2 Jl + x2=J/lnQ + jr?)= ln(l + x2) + c9 -?-dx(1 + x )二 必 22J (1 + x -2 + 1)2= |j(l + X2)26/(l + X2)=t J u2du令+兀2=就112+1I=u + c例4 J乔冷U 2

2、 du2J令1+兀2二眈1 12 + 112(1 + /)例5 J严cos勿=J esmxd sinx = desiax= esinx +c以上使用的方法称为凑非分法J tanxdxr smxdx"cosxfd cosxcosxJdln Icosxl = ln Icosxl+ca a15r + 2 cbc x + x + 2 (2X + 2) + 2 7 * dx x + 2x + 2 2x + 2 0 dx 十. x + 2x + 2 d(x2 + 2x + 2) X2 + 2x + 2dx(X2+1)2+1H 丨 ln(.x + 2x + 2) + arctama +1) + c

3、例7 J x(l + 21nx)=fd In xl + 21nx=fd21n 兀2l + 21nx1 r 1 2J l + 21nx=In ll + 21nxl+c2另外一种解法：令眉丸x =u2，dx=2udu幺3氏|2uduu2 J e3adu = e3u + c一、凑微分二、第一类换元法例1叮仁上严解：令 y/ X 1 U X =沪+1则 dx=2wdw1 + y/ x 1dx2udu例1叮订*亍) dx 彳"du1 + a/ -X 11 + % 2)di/t1 + %=2w ln(l +1/) + c2 V x 1 ln(l + y/x iy + c例11J肩+阪"

4、“令亦=n, x =u6 dx=6w5dwr u36u z；duu +udu = 6/+1-1u +1"+1-1w +1)du2 w + l+ u ln(i/ +1) + c=6J w + 1 =6 (比 2 比+1_r 1例11 3du 632=2仮一 3坂+ 6仮一 61n(貢+ 1) +例 12 J dxJ e +1解:令e = In udx =w，duu例12dxex+l1 duZ4 +1 U=In % ln(u +1) + c乂-Jjq e _|_(也可令ex+l=wQ+l例3JcscxdxF dxJ sinxdx. X X 2sin cos2 2dxc%2 %2 tan cos 例13Jcscxdxdxc X 2 %2 tan cos 2 27 x d tan 一x tan sec2 -X tan 2：ln I tan I +c另一种解法：r 1 tr smxdxJ sinxsin 兀w=cosx_ r -dcosxJ 1-cos2 X=f - dii J u2-lcos 兀一 1cosx + 1例13+ c=In I cscx cotx I +c注:可以验证lnltan-l+c相同 类似可得JsecMx = ln I secx + tanxl +c小结1 第换元法（凑微分法） 令（pa）=u，最后换回原变量x2 三个常