空间几何体的表面积体积公式

1、空间几何体的表面积与体积公式大全全（表）面积（含侧面积）1、柱体 棱柱 a $侧=ch 5全=2S底* S侧 圆柱J 2、锥体 棱锥：s棱锥侧二*c底h 圆锥：S圆锥侧二托底l3、台体 棱台: 圆台:s棱台侧s棱台侧_ 1二2（c上底c下底）h_ i二2（C上底 C下底）1*& = s上+s侧+S下4、 球体 球：s球二4 r2 球冠：略 球缺：略St体积1、柱体 棱柱卜V柱二Sh 圆柱J 2、锥体 棱锥1” V柱二3S h 圆锥J 3St3、台体1 I 棱台V台=?h（S上乙S上S下+ S下） 圆台J v圆台=3兀h （r上+、r上r下+ r下）4、球体 球：V球=4二r 球冠：略

2、球缺：略说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线|计算。三、拓展提高1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截 面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的2、阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是2r的圆柱形容器内装一个最大的 球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的-。3分析：圆柱体积： V圆柱二S h =（二r2）2r=2：r3 圆柱侧面积：S圆柱侧二Ch =（2r） 2r = 4二因此：球体体积：V

3、球二2 2二3=4二r3球体表面积： $球=4二2PA即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和3、台体体积公式公式：V台二gh（S上+Js上S下+ S下）证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD延长两侧棱相交于一点p。设台体上底面积为S上，下底面积为St 高为h。易知：PDC s CPAB，设 PE 二 ,则 pf 二 hi h由相似三角形的性质得：CD =匹AB PF即：S上(相似比等于面积比的算术平方根)s下 hi h整理得:又因为台体的体积二大锥体体积一小锥体体积1iii二V台二3St（hi h）3S±hi = 3hi（S下一S上

4、）下h代入:S下- S上i(S下一S上)3S下h即: V 台二 3 s h（ S 下 S上）3s 下 h =3h （s 上 S上 S下 S下）二V台二3h (S上S上St S下)4、球体体积公式推导分析：将半球平行分成相同高度的若干层 圆柱，n “宀时，每一层都可以看作是- 每个圆柱的体积Vj =Sh “2丄 半球的体积等于这些圆柱的体积之和。2 22 2 0 2 0ri 和 一(r)和()nn2 222 i 2 i2 二一(r)二r ()nn2 22 2 2 2 2门和 一(r)和()nn(n层)，n越大，每一层越近似于rh2严n2r）=2心2）半球.半球体积为：V半球八V n二二(f1 f

5、2.r n)2 2 2r01n 1=二rn 1 _().()()nn nn2 2 2 2-r'n n0 1 2 (n-1)n= -r3n n-(n -1)n(2n 一1)6rI1>IZ2n(1-1)(2-丄)n n 61 > 0n1 1 (1-一)(2-) n n = 63(n-1)(2n -1)二 r'(i26n1223球体积为：V球二扌二,35、球体表面积公式推导则所有的小棱锥体积之和为球体体积。即有:143s球 n6、 正六面体（正方体）与正四面体分析：球体可以切割成若干（n个）近似棱锥，当n时，这些棱锥的高为球体半径，底面积为球面面积的1，则每一个棱锥的体积

6、n2s球二4 r（1）体积关系 如图：正方体切下四个三棱锥后,剩下的部分为正四面体设正方体棱长为a ,则其体积为：v正方体二a3四个角上切下的每一个三棱锥体积为:111213V三棱锥二3S h =3(2a)a =6a中间剩下的正四面体的体积为：1V正三棱锥=3 S h1 1（ 2a） sin601 3=3a这样一个正方体可以分成四个三棱锥与中间一个正四面体即:打3 4 16a 3(2) 外接球正方体与其体内最大的正四面体有相同的外接球。(理由：过不共面的四点确定一个球。)正方体与其体内最大的正面体有四个公共顶点。所以它们共球。回顾：两点定线三点定面三点定圆四点定球如图：(a) 正方体的体对角线

7、二球直径(b) 正四面体的外接球半径=3高4(C)正四面体的棱长二正方体棱长.2(d) 正方体体积：正四面体体积=3: 1(e) 正方体外接球半径与正四面体外接球半径相等(3) 正方体的内切球与正四面体的关系(b) 正方体内切球与正四面体的四条棱相切。(c) 与正四面体四条棱相切的球半径 二正方体棱长的一半(d) 设正四面体棱长为a，则与其棱都相切的球半径为rii a 2 有：二.2盲a7、利用祖暅原理推导球体体积。构造一个几何体，使其截面与半球截面处处相等，根据祖暅原理可得两物体体积相等。证明：作如下构造：在底面半径和高都是r的圆柱内挖去一个与圆柱等底等高的圆锥。如图：在半球和挖去圆锥后的组

8、合体的相同截面上作研究，设圆柱和半球底面半 径均为R，截面高度均为h，倒圆锥的截面半径为r衛，半球截面半径为r球i，则：挖去圆锥后的组合体的截面为： SKR2r锥1半球截面面积为：S2 5 r球1倒圆锥的底面半径与高相等，由相似三角形易得: 在半球内，由勾股定理易得：r球1 二 R2 h 2 2 2 2S x R 一5S2=R 一h 即：S广S2，也就是说：半球与挖去倒圆锥后有圆柱在相同的高度上有相 同的截面。由祖暅原理可得：V* =V2所以半球体积：V半球二Sh-*Sh二fsh二彳二R2 R = 2 R3 即，球体体积：V球=2 2二R3二'二R333&正方体与球(1) 正方

9、体的内切球3V正方体a正方体的棱长a二球体的直径dV正方体:V球一6 ：(2)正方体的外接球正方体的体对角线3a二球体的直径d343 4 d433V球二孑 r =3(2T aV球：V正方体_、3：2(3)规律： 正方体的内切球与外接球的球心为同一点； 正方体的内切球与外接球的球心在体对角线上； 正四面体的内切球与外接球的的半径之比为：1： . 3 正四面体内切球与外接球体积之比为：1： 3 3 正四面体内切球与外接球表面积之比为：1： 3 正方体外接球半径、正方体棱长、内切球半径比为：、3：2 : 1正四面体外接球、正四面体、内切球体积比为:3 . 3 二:6 :二正四面体外接球、正四面体、内

10、切球表面积比为:9、正四面体与球(1)正四面体的内切球解题关键：利用体积关系思考内切球的球心到各个面的距离相等，球心与各顶点的连线恰好把一个正四面体分成四个三棱锥,每个三棱锥的底面为原正四面体的底面，高为内利用体积关系得:切球的半径r。4 （1 1 a2si n60 ）=丄（丄 a2si n 60 ） h3232其中h为正四面体的高。由相关计算得：h2 2 1 ,6a 3（2a "3）盲a即:434J6y6V J “w存厂葫V正四面体1a2si n602 a6Ta 2312 aV正四机体V球=18 ：3(2) 正四面体的外接球外接球的半径=4高二3八（2、3a）十3 243V球二亍r

11、3、63Laa）=1 1 2 . 6V正四面体=32 a sin 60、6二3. 23V球:V正四面体二a :ja = 3 3 .2(3) 规律: 正四面体的内切球与外接球的球心为同一点; 正四面体的内切球与外接球的球心在高线上; 正四面体的内切球与外接球的的半径之和等于高； 正四面体的内切球与外接球的半径之比等于 1： 3 正四面体内切球与外接球体积之比为：1： 27 正四面体内切球与外接球表面积之比为：1： 9 正四面体外接球半径、正四面体棱长、内切球半径比为：3、6:12 :6 正四面体外接球、正四面体、内切球体积比为：27.一3二：18：3二 正四面体外接球、正四面体、内切球表面积比为

12、：9二：6. 2:二10、圆柱与球 (1)圆柱容球(阿基米德圆柱容球模型)(2)球容圆柱圆柱高二底面直径二球的直径 球体体积=2圆柱体积3球面面积二圆柱侧面积球体直径、圆柱的高、圆柱底面直径构成直角三角形。设球体半径为R，圆柱高为h，则有：(2R)=h2 (2r)2即:2 2h 4r2底面半径为r四、方法总结F面举例说明立体几何的学习方法 外接球的球心是重合的。且是正四面体的高线交点。再分析球心与一些特 殊的点、线、面的位置、数量关系。在内切球这种情况下，球心垂直于每 一个面，且到每一个面的距离相等；在外接球这种情况下，球心到每个顶 点的距离相等。例：已知正四面体的棱长为。因为正四面体是特殊的

13、四面体，显然内切球与方法1展平分析：（最重要的方法） 如图：取立体图形中的关键平面图形进行分析!连接DO并延长交平面ABC于点G,连接连接Do1并延长交BC于点E,则A G在平面AED中，由相似知识可得:E0i eg iO® - GA - 2 go1/ad 且G0i=1AD 3 GO>6 DOA 这=3即：AO AO3 h = "a 6 a4 5 4 【I 4 34O11AO1 h =丄a 6a1414431243 V63V外接球=丁 DO = § a43 v 63V 内切球二 丁 OOi=2i6a方法2:体积分析：（最灵活的方法）如图：设正四面体 ABCD

14、勺内切球球心为0,连接AO BO CO DO则正四面体被分成四个完全一样的三棱锥设内切球半径为r，正四面体的棱长为a则正面四体的高为：h二（2 2务卩则：4个完全一样的三棱锥体积有: 4 - (-a2sin60 ) r J (32g32一丄12V内切球43. 6 _3=JI p =3T32163V外接球_ 434 飞 6亍一存), 63=Ji a8 a方法3:方程分析：（最常见的做法）如图：显然AO DO是外接球半径，Oo-是内切球半径。 在Rt DCO1中，由勾股写得可得以下方程：2 2 2DO =OO- DO2-其中：DOi爲ABCD代入方程解得：DO6a、OOl6a45 i2DO DO广

15、AOi,6 a3V外接球-4H x33 V6DO T33 v'6OOi 五二方法4:补形分析（最巧妙的思考） 把正四面体补成正方体进行分析。如图： 此时，正四面体与正方体有共同的外接球。正四面体的棱长为a，则正方体棱长为:正方体的外接球直径为其体对角线=-32二正四面体的外接球半径为：D -a24内切球半径为：D - = a231243 v'63V外接球二亍二R 8 a43 V63V 内切球二 3r = 216 a方法5:坐标分析（最意外的解法）建立如图所示的空间直角坐标系：则A(0, 0,亍),B(0,-亍,0)C（知3, 0）,小知 3亍,0）,设球心位置为0（ X ,z

16、,)由 |OA 冃 OB |=|OC|=|OD 卜 R得:2 2 2 2OA =OB PC PD即：X V咕a) X (ya) z =(a) (a) z解得：x = y=0，z二竺 a，即：r，r 二空 a 一 上 a = ' a12112C3124心2討z2V外接球4=n x33R 二.6n8343V63V内切球=3二r =216 a主要方法：、 统一思想1、公式的统一对于每个几何形体的面积与体积公式，我们很想找出一个万能 公式全部适用于所有形体，但是这只是一个理想状况，实际上不可 能，最多只可能适用于一部分而已。即使是这样，也只减小我们对 公式的记忆难度，增强学习的灵活性。（1）梯

17、形的面积公式：S =1（a b）h，同样适用于三角形、平行四2边形、长方形、正方形、扇形的面积计算。只是在使用时作微 调而已。在分析三角形时，上底变为0;分析长方形、正方形、 平行四边形时，上下底变成一样；在分析扇形时，上底变为0, 下底变成弧长，高为半径。（2）台体的侧面积公式：s侧二!（c c）h，同样适用于圆柱、棱柱、圆锥、棱锥、球的侧面积计算。只是在使用时作微调而已。在 分析圆柱、棱柱时，上下底周长变成一样；在分析棱锥时，上 底周长变为0;在分析圆锥时，上底周长变为 0,斜高变成母线；在分析球体的面积时，上下底都取最大圆的周长，高取直径，即：$球=1（2二r ' 2二r）2r

18、=4二 J（3）台体的体积公式：v =3（S上 . S上S下 S下）h，同样适用于圆3柱、棱柱、圆锥、棱锥、球的体积计算。只是在使用时作微调 而已。在分析圆柱、棱柱时，上下底面积变成一样；在分析棱 锥时，上底面积变为0;在分析圆锥时，上底面积变为 0;在 分析球体的体积时，上底面积取0,下底取最大圆面积的2倍, 高取直径，即：S球二1（2二2）才耆32、字母的统一在进行分析时，一般要把字母统一，这样便于进行比较！3、关系的统一一注意相似的关系：面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。球体、正方体、正多面体相似！二、转换思想1、平面与立体的转换这是立体几何的一种重要思想，即把立体的问题交给平面来解 决。但是要在特殊的面中进行，有时还要把面与面的关系交给 线与线来分析。如二面角的大小研究，通常会作垂直于两面的 交线的直线来分析。异面直线的有关系也要平移到同一面中研