平面向量基本定理与平面向量正交分解及坐标表示

1、1.平面向量的基本定理:如果e1, e是同一平面内两个那么有且只有一对实数M ，2，使这一平面内所有向量的基底。AB = b。试用a, b为基底表示DCBC .编号：001231平面向量基本定理232平面向量正交分解及坐标表示班级:姓名:【学习目标】1.掌握平面向量基本定理；了解平面向量基本定理的意义；2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示【重难点】 平面向量基本定理；正交分解下的坐标表示【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：一, e 44444复习1：向量b、a a=0是共线的两个向量，则 a、b之间的关系可以表示为 .复习2：给定平面内任意两个向量 e1、e （如下图），请同学们作出向

2、量 3e1 2e2、e1 - 2e2.（二）自主探究：（预习教材 P93- P96）探究：平面向量基本定理学法指导： 在物理中我们研究了力的合成与分解，力的合成与分解互为逆运算，都符合平行四边形法则：如果用表示两个共点力 F1和F2的线段为邻边作平行四边形，那么合力F的大小和方向就可以用F1、F2所夹的角的大小来表示。（注：已知分力要求合力，叫做力的合成。已知合力要求分力叫做力的分解。）即力的合成就是由平行四边形的两邻边求对角线的问题。力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循的平行四边形定则。力的分解就是由对角线求两邻边的问题，这是我们在物理中学过的知识。在数学中，物理中的力，本质上就是我们数学中

3、的向量，如果已知平面内的某一向量喇 士 m （其中m为非零向量）， 就可以按照平行四边形法则，将其分解到两个向量e1,e2（其中e1,e,为非零向量）两个方向。分解到e方向的向量记为/，则a 与 0共线，即a虫心，分解到e方向的向量记为b，则b与e共线, 即 b = 2e2，那么 m = a1e1 2e2 .-+ T问题1：复习2中，平面内的任一向量是否都可以用形如心 2佥的向量表示呢？的向量，a是这一平面内的任一向量，其中，不共线的这两个向量 e,仓叫做表示问题2：如果两个向量不共线，贝尼们的位置关系我们怎么表示呢？II# n k 乂2. 两向量的夹角与垂直：我们规定：已知两个非零向量 a

4、b，作OA二a，OB二b，则叫I做向量a与b的夹角。如果.AOB - V,则二的取值范围是 。当时，III*N*N#N表示a与b同向；当时，表示a与b反向；当时，表示a与b垂直。记作：a_b.在不共线的两个向量中，V - 90，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为，叫做把向量正交分解。问题3：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示 .对于 直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？3、 向量的坐标表示： 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同于两个 作为基为基底。对于平面内的任一个向量， 由平面向量基本定理可知， 有且只有一对实数 x、y，使得，I4这

5、样，平面内的任一向量 a都可由唯一确定，我们把有序数对 叫做向量的坐标，II记作=此式叫做向量的坐标表示，其中 x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐一一*片4标。几个特殊向量的 坐标表示:i =， j =， 0 =二、合作探究 学法引领：首先画图分析，然后寻找表示。【例1】（见课本P94例1）T i【例2】已知梯形 ABCD中，AB/DC，且AB =2CD，E、F分别是DC、AB的中点，设 AD = a，4、已知两向量e、e2不共线，a = 2$ - e2 ,- 2 e2，若a与b共线，则实数=四、达标检测 （A组必做，B组选做）【例3】（见课本P96例2）1.设0是平行四边形 ABC

6、D两对角线AC与BD的交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量的基底的是（Da与bcAD与AB)CA与DoA.B.2.已知向量ei、62不共线，实数D.y满足（3x 4y）e+（2x3y）： = 66 + 3t，则 xy 的值等于C.A. 3B.3C.0D.2)1D.OC OA-OB【例4】已知O是坐标原点，点 A在第一象限， OA 4 3 , xOA=6O丫，求向量 OA 的坐标.（注：xOA即为向量OA与x轴的正方向的夹角.）3. 若O、A、B为平面上三点，C为线段AB的中点，则(T T T T 1 T T T TA. OC = OA OBB.OCOA OB C. AB 二 2OC4.已知e-i, e2是同一平面内两个不共线的向量，且AB = 2 e-i +k e2 , CB = ei + 3 e2, CD = 2 e-i e2，如果A、B、D三点共线，则k的值为1、已知AM 是 ABC的BC边上的中线，若AB = a , AC = b，则 AM =()【规律性方法总结】11A. ( a b )e. ( a b )221 - 1 -c. ( a + b ) d. ( a + b )2 2三、课堂反馈T 4 T T1、在矩形 ABCD中，AC与BD交于点O，若BC =5ei , D3e2，则OC等于多少?2、已知点 A（2，2）