倒立摆系统的状态空间极点配置控制设计

1、摘要： 为实现多输入、多输出、高度非线不稳定的倒立摆系统平衡稳定 控制，将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡 点附近的线性化模型。利用牛顿欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的 数学模型。在分析的基础上，基于状态反馈控制中极点配置法对直线型倒 立摆系统设计控制器。由MATLA仿真表明采用的控制策略是有效的， 设计 的控制器对直线型一级倒立摆系统的平衡稳定性效果好，提高了系统的干 扰能力。关键词：倒立摆、极点配置、MATLA仿真引言： 倒立摆是进行控制理论研究的典型试验平台，由于倒立摆本身所 具有的高阶次、不稳定、非线性和强耦合性，许多现代控制理论的研究人 员一直将他视为典型的

2、研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方 法。控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳 定的系统，为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰，基于极点配置法给 直线型一级倒立摆系统设计控制器1数学模型的建立倒立摆系统其本身是自不稳定的系统，实验建模存在着一定的困难。 在忽略掉一些次要的因素之后， 倒立摆系统就是一典型的运动的刚体系统， 可以在惯性坐标系中应用经典力学理论建立系统动力学方程。下面采用牛 顿-欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。1.1 微分方程的数学模型在忽略了空气阻力和各种摩擦力之后， 可将直线一级倒立摆系统抽象成 小车和匀质杆组成的系统，如图 1 所示

3、：图 1 ：直线一级倒立摆模型设系统的相关参数定义如下：M小车质量m摆杆质量b：小车摩擦系数l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度I ：摆杆质量F：加在小车上的力x：小车位置：摆杆与垂直方向上方向的夹角0 :摆杆与垂直方向下方向的夹角（摆杆的初始位置为竖直向下）如下图2所示为小车和摆杆的受力分析图。 其中，N和P为小车与摆杆 相互作用力的水平和垂直方向的分量。图 2：小车和摆杆受力分析图应用牛顿方法来建立系统的动力学方程过程如下：分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下的方程： 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面的等式： 将此等式代入上述等式中，可以得到系统的第一个运动方程： 为了推出系统的第

4、二个运动方程， 我们对摆杆垂直方向上的合力进行分 析，可以得到下面的方程：力矩平衡方程如下：注意：此方程中力矩的方向，由于故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N,得到第二个运动方程：设0 = n + ©,当摆杆与垂直向上方向之间的夹角©与 1 （单位是弧度）相比 很小时，即<<1时，则可以进行如下近似处理：线性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式：1.2 状态空间数学模型控制系统的状态空间方程可写成如下形式：解代数方程可得如下解： 整理后可得系统的状态空间方程： 对于质量均匀分布的摆杆，其转动惯量为：代入微分方程模型中得：化简后可得：? ? ?设 X x

5、 xT ,u x 则有：1.3 实际系统模型实际系统参数如下：M小车质量，0.5Kg;m摆杆质量，0.2Kg;b：小车摩擦系数，0.1N/m/sec；l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度， 0.3m;I :摆杆质量，0.006Kg m- mT：采样时间，0.005s。将上述系统参数代入可得系统实际模型。 摆杆角度和小车位移的传递函数： 摆杆角度和小车加速度之间的传递函数： 摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数： 以外界作用力作为输入的系统状态方程： 以小车加速度作为输入的系统状态方程：2. 状态空间极点配置经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统， 控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确

6、模型，现代控制理论主要是依据现代数学工具，将经典控制理论的概念扩展到多输入多输出系统。极点配置法通过设计状态反馈控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上，从 而使系统满足瞬态和稳态性能指标。设计要求：用极点配置方法设计控制器，使得在小车上施加 0.1N 的阶跃信号时， 闭环系统的响应指标为：（ 1 ）要求系统调整时间小于 3s（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于 0.1 弧度状态方程为：选择控制信号：可解得：直接利用 MATLAB 极点配置函数K , PREC, MESSAGE=PLACE(A , B, P)来计算。选取调整时间ts=2.0s,阻尼比为E =0.5,可得期望的闭环

7、极 占：八、U3, U4为一对主导极点，U1, U2距离闭环主导极点5倍，可忽略其对主 导极点的影响。矩阵(A-BK )的特征值是方程式|Is- (A-BK ) |=0的根：这是s的四次代数方程式，可表示为适当选择反馈系数k1,k2, k3, k4系统的特征根可以取得所希望的值。把四个特征根乙3, 4设为四次代数方程式的根，则有如果给出的 仆2, 3, 4是实数或共轭复数，则联立方程式的右边全部为实数。据此可求解出实数k1,k2,k3,k4当将特征根指定为下列两组共轭复数时1 ,2,3,4 22、.3j,-10,-10又 a=29.4,b=3利用方程式可列出关于k1,k2,k3,k4勺方程组：

8、 求解后得k1=-65.3061k2=-29.3878k3=114.3224k4=21.3551所以反馈矩阵：即施加在小车水平方向的控制力u:卩=?KX二© -21.3551 ©3.仿真验证图3:倒立摆极点配置仿真框图可以看出在干扰的情况下，系统在 3s之内基本上可以恢复到新的平衡 位置。图4:直线一级倒立摆状态空间极点配置 MATALABSIMULINK 仿真结果 图图5:直线一级倒立摆状态空间极点配置实时控制结果(施加干扰) 在给倒立摆施加干扰后，系统的响应如图 12所示，系统的稳定时间在 3s之内，达到设计要求。4结论传统的非线性系统分析方法需要非线性系统的精确模型，

9、而实际中存 在的大量复杂的多变量非线性系统则表现为参数的不确定性和结构的不确 定性。本文用现代控制理论的极点配置方法对直线一级倒立摆控制进行了 分析，并用 Simulink 进行了倒立摆的系统仿真。通过实验，得到如下结论：(1) 对于具有非线性、多变量等特点的倒立摆系统进行系统分析， 分析 其非线性因素，在误差允许的范围内忽略某些次要因素将其线性化。(2) 状态空间极点配置控制器既能实现对摆杆角度的控制， 又能控制小 车位移。(3) 基于极点配置法对直线型一级倒立摆系统设计的控制器，可使系 统在很小振动范围内保持平衡， 稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于 0.1 弧度，系统稳定时间约为 3S。5. 参考文献1 于长官，现代控制理论 第3版 哈尔滨工业大学出版社， 20052 郭钊侠，方建安，苗清影倒立摆系统及其智能控制研究 J 东华大 学学报， 2003， 29(2) ：1221263 刘豹现代控制理论 M 北京：机械工业出版社， 20054 王正林，王胜开 MATLAB Simulin