定积分典型例题20例答案汇编

1、定积分典型例题20例答案例 1 求 lim (3 孑 2f (x -1) 3x =1,2n J| 3 n3).n厂n分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间0, 1 n等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限.解 将区间0, 1 n等分，则每个小区间长为二1,然后把4 =丄-的一个因子-乘nn n nn入和式中各项于是将所求极限转化为求定积分即lim 4(曲 +审2n_.1 sin2tcostdt=2 :、1 sin2tcostdt2 22例3(1)若f (x) e丄x +|+卅)=1计气卩弋F + 山

2、+；F)=坏dx= 门一丿 nn n n , n n 042 2例 2 J2xxdx=2盯解法1由定积分的几何意义知，0 J2xx2dx等于上半圆周(x1)2+y2=1 ( y X0)与x轴所围成的图形的面积.故彳2x 一x2dx= 02解法2本题也可直接用换元法求解.令x_1 = sint (丄兰t兰三),则2-x dx =：'：.2-= 202 cos tdt=22 2dt ,则 f(X)= ; (2)若 f(x)二x0xf (t)dt ,求 f(X)= 分析(2).4(1) f(x) = 2xe由于在被积函数中丄2-e;x不是积分变量，故可提到积分号外即xf(X)=x 0 f (

3、t)dt，则这是求变限函数导数的问题，禾U用下面的公式即可v(x)d v(x) f (t)dt = fv(x)v(x) -fu(x)u (x) dx u(x)可得.xf (x) = 0 f (t)dt xf(x) 例4设f (x)连续，且x3 -10 f (t)dt =x，贝y f(26)=乂3丄解 对等式;f(t)dt =x两边关于x求导得故 f(x3，令_1 =26 得 x=3，所以 f(26)=127x函数F(x)=(3.一)dt (x . 0)的单调递减开区间为1 1 11解F(x)" %，令Fg°得x 3，解之得°兀9，即(0,9)为所求°x例

4、 6 求 f (x) = 0 (1t)arctan tdt 的极值点.解由题意先求驻点.于是f (x) = (1 _x)arctan x .令f (x) = 0 ,得x =1 , x =0 .列表如下：x(皿,0)0(0,1)1(1,亦)f (x)-0+0点，x =0为极小值点.故x =1为f (x)的极大值例7已知两曲线y =f (x)与y =g(x)在点(0,0)处的切线相同，其中arcs inx 十2g(x) = 0 e dt, x 一1,1,试求该切线的方程并求极限lim nf (3).n性n分析 两曲线y=f(x)与y=g(x)在点(0,0)处的切线相同，隐含条件f(0)=g(0),

5、f (0g (0).解由已知条件得0 t2f(0) =g(0) = °e dt =0 ,且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知-(arcsin x)2 e f(0)=g(0)2=1 .x -0故所求切线方程为 y =x .而聊33f(-f (0)(=3f (0) =3 .3 -0n分析x2sin2 tdt回0 ：t(t -sint)dt '该极限属于0型未定式，可用洛必达法则.0x224x3i sin tdt . 2x(sin x2)2(x2)2(匚=lim=(-2) lim=(一2) limt(t_si nt)dt t(T)x(x-s inx)xT x-s inxi

6、6;1 - cosx12x2 =(2) lim =0 .X： si nx注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则.x t2例9 试求正数a与b，使等式lim' . dt =1成立.7 x bsin x ° 后产分析 易见该极限属于 0型的未定式，可用洛必达法则.0解lim 127 x b sin xJa 彳2xdt = lim a x = lim2x-° 1 -b cosx7 Ja +x22x1 -bcosx1.八.lim1 ,.a x 01bcosx由此可知必有1叫(1 -bcosx) = 0 ,得b =1 .又由1 -lim a x01 -cosx得a =4

7、 .即a = 4 , b =1为所求.si nx234例 10 设 f (x) sin t dt, g(x) = x x，则当2a =1，0 时，f (x)是 g(x)的( ).A .等价无穷小. B .同阶但非等价的无穷小.解法1由于 愉型=lim sin(sincosxxT g(x)C.高阶无穷小.D .低阶无穷小.3x2 亠 4x3cosx sin(sin x)= limlimx 03 4x x 101x21lim3 x 0 x23故f (x)是g(x)同阶但非等价的无穷小.选B .解法2将sint2展成t的幕级数，再逐项积分，得到f (t2)3 Hdt =fsin3x -舟3!342s

8、in x 2f(x t2sin7x |l),lim =limxo g(x)x_o.311. 4sin x( sin x )3 342 4limx3 - x4x_osin4x l|l421 x=132例11计算.Jx|dx .分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分.2 2_ _50 = _22202x2 0 xx|dx = *(x)dx0xdx = 一刁注 在使用牛顿-莱布尼兹公式时，应保证被积函数在积分区间上满足可积条件.如二丄，则是错误的.错误的原因则是由于被积函数A在x=0处间断且在被6x2积区间内无界1例 12 设 f(x)是连续函数，且 f (x) =x+3 0 f

9、 (t)dt，贝U f(x)= .b 分析本题只需要注意到定积分f(x)dx是常数(a, b为常数).1 1解 因f (x)连续，f (x)必可积，从而0 f (t)dt是常数，记f(t)dt=a，则1 1f(x)=x 3a，且 o(x 3a)dx = o f (t)dt =a .所以1 2 1 1x2 3ax0 = a，即卩 3a = a ,2 213从而a ，所以 f(x) =x 4421 2x + x 例 13 计算 1 2xx2dx .分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性.2 21 2x x1 2x1 xdx =dx j 1 -x211 -x2j 1 -x2由于

10、2x21 f1 _x2是偶函数，而1 . 1匚X2是奇函数，有dx =0 ,于是1 2x2 x / dx = 41 Wx2J%7dx=41x2(1L)dx = 4 0dx_4LLdx由定积分的几何意义可知1 .1 _x2dx,故041dx =4 0 dx -4ji4 -二421 2x x丄1 一1 -X2例14计算d f (x2 -t2)dt，其中f (x)连续.分析要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有x ,因此不能直接求导，必须先换 元使被积函数中不含 x,然后再求导.解由于x 221 x 2220tf(x -t )dt = 2 ,0f(x -t )dt .故令 x2 -t2 二u ,当

11、 t =0 时 U =x2 ；当 t =x 时U =0，而 dt2 二 Yu，所以x 22101 x20tf (x -1 )dt =? x2 f(u)(-du)=： 0 f (u)du ,故d x 22d 1 x21220tf (x -t )dt= 0 f (u)du = f(x ) 2x = xf (x ).dx 0dx 2 0错误解答 2 ftf(x2 t2)dt =xf(x2 x2)=xf(0). dx 0错解分析这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式d x 门(x) a f(t)dt = f (X) dx扫中要求被积函数f(t)中不含有变限函数的自变量x，而f(X2t2)含有x，因此

12、不能直接求导，而应先换元.n例 15 计算 °3 xsinxdx .分析 被积函数中出现幕函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法.TLH4 codsx )：xs in xd x Q3xc( cosx )x6 0 2 6例16计算分析被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法.i|n (1 亠 x) i111 i 10右dx= 0ln(1 X)d(L)=厂1n(1 x)00右1(1 x)dx=-ln 2 _打(丄24 0 1 x)dx3 x= l|n 2 -丄1 n3 .24n例 17 计算：ex sin xdx .分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多

13、次利用分部积分法._J_JT解 由于 o2 ex sin xdx = o2sin xdex =ex sin x2 - o2ex cosxdxn jr=e2!2 ex cos xdx ,(1)o2 ex cosxdx2 cosxdeex cosxo - o2 ex (-sinx)dxn= .02ex sin xdxT ,将（2）式代入（1）式可得 in xdx 事-o2 esin xdx 1,o2 e sin xdx =1例 18 计算 0 xarcsinxdx .分析 被积函数中出现反三角函数与幕函数乘积的情形，通常用分部积分法.1 1；xarcsinxdx = 0 arcsinxd2 2 1

14、 2(才)=今 arcsinx0 - 0 x d (arcsinx)2 a2x2 dx .-x(1)令 x =sint，贝U1 x2y2 dx2 -聖丄dsint1 -si n2t切 costdt cost二詐 n2tdt2 cos2t=o 2sin 2t 2 二亍0蔦(2)将（2）式代入（1）式中得xarcs in xdx =8例19设f（x）0,n上具有二阶连续导数，f 5）=3且f（x） + f “（x）cosxdx=2 ,求厂（0分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解.解 由于 玳 f (x) + f "(x)cos xdx = f (x)d sin x + (cosxdf "(x)= f (x)sin x f -f (x)sin xdx + f &q