第三章第七节曲率ppt课件

1、第七节第七节 曲率曲率 一、弧微分一、弧微分 二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径 四、小结四、小结),(:00yxA基点基点,),(为任意一点为任意一点yxM规定：规定：;)1(增增大大的的方方向向一一致致曲曲线线的的正正向向与与x,时时的的方方向向与与曲曲线线正正向向一一致致当当 AM,)2(sAM A0 xMxbxyoa)(xfy ),(xss 则则单调增函数单调增函数问题：如何求问题：如何求 s = s(x) 的导数或微分？的导数或微分？设函数设函数 f (x) 在区间在区间 ( a , b )内具有连续导数内具有连续导数一、弧微分一、弧微

2、分,取取正正号号s., 取取负负号号相相反反时时 sN在曲线上任取一点在曲线上任取一点,)(为为单单调调增增函函数数xss 21ydxds 故故RNxx MA0 xxxyo)(xfy MN AMAN )()(xsxxss 2 xs2 xMN22| xMNMNMN2222)()()(|xyxMNMN )(1|22xyMNMN ,0时时当当 x,MN |,|MNMN )(xfyxy ,dxdsxs 21ydxds dxyds21 或或),(yyxx 弧微分公式弧微分公式y x 二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线弯曲程度的量曲率是描述曲线弯曲程度的量1M3M)2 2M2S 1S

3、MM 1S 2S NN )弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大转角越大越大转角越大转角相同弧段越转角相同弧段越短弯曲程度越大短弯曲程度越大1、曲率的定义、曲率的定义1 )曲线的弯曲程度与切线的转角和弧段的长度有关。曲线的弯曲程度与切线的转角和弧段的长度有关。) S S) .M .MC0Myxo.sKMM 的的平平均均曲曲率率为为弧弧段段（设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，.0是是基基点点M, sMM （. 切切线线转转角角为为MM定义定义sKs 0lim曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率,lim0存存在在的的条条件件下下在在dsdss .dsdK 2、曲率的计算公式、曲率的计算公式,)(二二阶阶可可

4、导导设设xfy ,tany dxydydxd 211 .)1(232yydsd ,arctany 有有.12dxyds 又又21yy dxyyd21 .)1(|232yydsdk S) .MC0Myxo )(xfy .dsdK ),(),(tytxC 的方程为的方程为设设.)()()()()()(2322ttttttk ,)()(ttdxdyy )()(22ttdxddxyd S) .MC0Myxo )(xfy .)()()()()(3ttttt dxdtttdtd )()( .)1(|232yydsdk )(1)()(tttdtd 2322)()()()()()(ttttttk 例例1： 直

5、线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;232)1(yyk 解：设直线方程为解：设直线方程为, baxy 0, yay232)1(0ak 0 所以直线没有弯曲。所以直线没有弯曲。2322)()()()()()(ttttttk 例例2：圆上各点处的曲率等于半径的倒数：圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径且半径越小曲率越大越小曲率越大.232)1(yyk 解：设圆的方程为解：设圆的方程为222ayx xyot化为参数方程化为参数方程20,sincosttaytaxdxdyy dttadttasincostcottdxdycot dxdttdtd)cot(tatsin1csc2at3csc2323)c

6、ot1 (|csc|tatkatat1|csc|csc|332322)()()()()()(ttttttk 例例2：圆上各点处的曲率等于半径的倒数：圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径且半径越小曲率越大越小曲率越大.232)1(yyk 解：设圆的方程为解：设圆的方程为222ayx dxdyy xyotdttadttasincostcottdxdycot dxdttdtd)cot(tatsin1csc2at3csc例例3 3?2上上哪哪一一点点的的曲曲率率最最大大抛抛物物线线cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxak 显然显然,2时时当当abx .最大最大k,)44

7、,2(2为为抛抛物物线线的的顶顶点点又又aacbab .最大最大抛物线在顶点处的曲率抛物线在顶点处的曲率三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径定义定义D)(xfy Mk1 ).0(),()( kkyxMxfy处处的的曲曲率率为为在在点点设设,曲曲率率中中心心 D.曲率半径曲率半径 xyo.处处的的曲曲率率圆圆称称此此圆圆为为曲曲线线在在点点M,DM一一侧侧取取一一点点处处的的曲曲线线的的法法线线上上凹凹的的在在点点.1 kDM使使),(,如如图图为为半半径径作作圆圆为为圆圆心心以以 D1.曲线上一点处的曲率半径与曲曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数线在该点处的曲率互为倒数.1

8、,1 kk即即注意注意: :2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点曲线在该点处的曲率越小处的曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲曲率越大率越大(曲线越弯曲曲线越弯曲).4.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).D)(xfy Mk1 xyo3.点点 M 处，曲线与它的曲率圆有相同的切线、相同处，曲线与它的曲率圆有相同的切线、相同的曲率和相同的凹凸性。的曲率和相同的凹凸性。xyoQP.,.70,/400,)(4000:32飞行员

9、对座椅的压力飞行员对座椅的压力到原点时到原点时求俯冲求俯冲千克千克飞行员体重飞行员体重秒秒米米处速度为处速度为点点在原在原俯冲飞行俯冲飞行单位为米单位为米飞机沿抛物线飞机沿抛物线例例 vOxy解解如图如图,飞行员受力分析飞行员受力分析,PQF 飞行员在点飞行员在点o近似作匀速圆周运动近似作匀速圆周运动,.2 mvF O点处抛物线轨道的曲率半径点处抛物线轨道的曲率半径002000 xxxy, 0 .200010 xy得曲率为得曲率为.200010 xxk曲率半径为曲率半径为.2000 米米 .,.70,/400,)(4000:32飞行员对座椅的压力飞行员对座椅的压力到原点时到原点时求俯冲求俯冲千

10、克千克飞行员体重飞行员体重秒秒米米处速度为处速度为点点在原在原俯冲飞行俯冲飞行单位为米单位为米飞机沿抛物线飞机沿抛物线例例 vOxy解解如图如图,飞行员受力分析飞行员受力分析,PQF .2 mvF 002000 xxxy, 0 .200010 xy得曲率为得曲率为.200010 xxk曲率半径为曲率半径为.2000 米米 2000400702 F),(4 .571)(5600千千克克牛牛 4 .57170 PFQ).(5 .641千克力千克力 即即:飞行员对座椅的压力为飞行员对座椅的压力为641.5千克力千克力.四、小结四、小结一、一、 弧微分：弧微分：二、曲线弯曲程度的描述二、曲线弯曲程度的描述曲率：曲率：三、曲线弧的近似代替三、曲线弧的近似代替 曲率圆曲率圆(弧弧).dxyds21 2322)()()()()()(ttttttk 232)1(yyk .1,1 kk思考题思考题 椭圆椭圆 上哪些点处上哪些点处曲率最大？