第09部分计算机图形学参数曲线和曲面

1、2022-2-5李辉 副教授参数曲线和曲面基础R第2页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基础内容n曲线曲面参数表示n位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率n插值、拟合、逼近和光顺n参数曲线的代数和几何形式n连续性n参数曲面基本概念第3页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基础n表示方法 显式表示y=f(x) 隐式表示f(x,y)=0 参数表示P(t)=x(t), y(t)P(t)=x(t), y(t), z(t)曲线曲面参数表示第4页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基础n显式或隐式表示存在下述问题：1. 与坐标轴相关；2. 可能出现斜率为无穷大的情形(如垂线)；3. 不便于计算

2、机编程。第5页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基础参数表示实例n直线n圆 1 , 012,11)(222ttttttP 1 , 0)()(121ttPPPtP第6页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基础n参数表示的优点1.便于处理斜率无穷大的情形，不会因此而中断计算。2.规格化的参数变量t0, 1，使其相应的几何分量是有界的，而不必考虑边界问题。3.对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行几何变换。4.便于把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间。5.易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。6.有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状第7页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基

3、础位置矢量、切矢量、法矢量第8页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基础n位置矢量P(t)=x(t), y(t), z(t)n切矢量(切向量) 将弧长s作为参数，则 是单位切矢量 单位切矢量的计算 根据弧长微分公式有：sPdsdPTs0lim2222dzdydxds22222)(/tPdtdzdtdydtdxdtds0)(tPdtds第9页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基础 于是有即为单位切矢量。)()(tPtPdsdtdtdPdsdP第10页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基础n法矢量 与 平行的法矢称为曲线在该点的主法矢量N 矢量积 B=TN 是第三个单位矢量，它垂直

4、于T和N。把平行于矢量B的法矢称为曲线的副法矢量dsdT)()()()()()()()()()(tPtPtPtPtPtPTBNtPtPtPtPB 第11页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基础 T、N和B构成了曲线上的活动坐标架 N、B构成的平面称为法平面 N、T构成的平面称为密切平面 B、T构成的平面称为从切平面密切面从切面法平面TBN主法线图3.1.2 曲线的法矢第12页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基础n曲率 其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率 曲率k的倒数 称为曲率半径n挠率 挠率的绝对值等于副法线方向(或密切平面)对于弧长的转动率曲率和挠率ss0lim1ssli

5、mdsdTdsdB第13页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基础)(ssT)(sTTO（a）（b）1N1B1T0N0B0T0B1B3)()()(tPtPtP 2)()()(),(),(tPtPtPtPtP 第14页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基础插值、拟合、逼近和光顺n插值 给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, , n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。n线性插值 假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用一个线形函数y=ax+b近似代替，称为的线性插值函数。第15页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基础n抛

6、物线插值 已知在三个互异点x1,x2,x3,的函数值为y1,y2,y3 ,要求构造一个函数(x)=ax2+bx+c使抛物线(x)在结点x1,x2,x3处与f(x)在 x1,x2,x3处的值相等。第16页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基础xyo1y2y)(xfy )(xy1x2xxyo1y2y)(xfy )(xy1x2x3x3y(a)(b)第17页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基础n拟合 构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点(但未必通过这些点)，所构造的曲线为拟合曲线。n逼近 在计算数学中，逼近通常指用一些性质较好的函数近似表示一些性质不好的函数。在计算机图形学中，

7、逼近继承了这方面的含义，因此插值和拟合都可以视为逼近。第18页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基础n光顺光顺(Firing)指曲线的拐点不能太多。对平面曲线而言，相对光顺的条件是：1. 具有二阶几何连续性(G2)；2. 不存在多余拐点和奇异点；3. 曲率变化较小。第19页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基础参数曲线的代数和几何形式n代数形式(3次)n矢量形式zzzzyyyyxxxxatatatatztatatatatyatatatatx012233012233012233)( 1 , 0)()( 1 , 0)(012233tatatatatP第20页2022-2-5第9部分 参

8、数曲线和曲面基础n几何形式 将P(0)、P(1)、P(0)和P(1)简记为P0、P1、P0和P1代入得 1 , 0)(012233tatatatatP1010310102010022233PPPPaPPPPaPaPa 1 , 0)()2()32() 132()(123023123023tPttPtttPttPtttP第21页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基础 令 于是 上式是三次Hermite(Ferguson)曲线的几何形式. P0、P1、P0和P1是几何系数 F0、F1、G0和G1称为调和函数132)(230tttF23132)(tttFttttG2302)(231)(tttG

9、1 , 0)(11001100tPGPGPFPFtP第22页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基础0P0P1P1P)(tP)(tP0Fto11to111Fto11to110G1G第23页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基础四点式曲线 1 , 0)(012233tatatatatP4012330123201231032942783191271PaaaaPaaaaPaaaaPa 1 , 0)(44332211tPGPGPGPGtP第24页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基础连续性n曲线间连接的光滑度有两种度量：1. 参数连续性组合参数曲线在连接处具有直到n阶连续导矢，即n阶连

10、续可微，这类光滑度称之为Cn 或n阶参数连续性。2. 几何连续性组合曲线在连接处不满足Cn的某一组约束条件，称为具有n阶几何连续性，简记为Gn .第25页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基础n结论 若要求在结合处达到G0连续或C0连续，即两曲线在结合处位置连续。 若要求在结合处达到G1连续，就是说两条曲线在结合处在满足G0连续的条件下，并有公共的切矢量。Q(0)=P(1) 当a1时，G1连续就成为C1连续。)(tP)(tQ)0(P) 1 (P)0(Q) 1 (Q第26页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基础21,3)(213 10,3)(01010010tVVtVVVttVVVt

11、0131)1 (VV 0132)1 (VV 第27页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基础 若要求在结合处达到C2连续，就是说两条曲线在结合处在满足G2连续的条件下，并有相同的曲率。 C1连续保证G1连续， C2连续能保证G2连续，但反过来不行。 也就是说Cn连续的条件比Gn连续的条件要苛刻。第28页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基础参数曲面一张定义在矩形域上的参数曲面可以表示为可记为 1 , 0 1 , 0),(,),().(),(vuvuzzvuyyvuxx),(),(),(),(vuzvuyvuxvuP第29页2022-2-5第9部分 参数曲线和曲面基础P00P00P00P00 xyzw=