第8章采样系统

1、1第第8章章 采样控制系统分析采样控制系统分析l8.1 采样控制系统的基本概念l8.2 采样控制系统的数学基础l8.3 采样控制系统的脉冲传递函数l8.4 采样控制系统的动态性能分析l8.5 采样控制系统的稳定性分析l8.6 采样控制系统的稳态误差分析l8.7 MATLAB用于采样系统分析结28.1 采样控制系统的基本概念采样控制系统的基本概念8.1.1 采样控制系统的基本结构8.1.2 采样过程与采样定理8.1.3 采样信号的复现38.1.1 采样控制系统的基本结构采样控制系统的基本结构 在离散系统中，至少有一处或几处的信号是时间的在离散系统中，至少有一处或几处的信号是时间的离散函数，称其为

2、离散信号。离散信号可通过采样开关按离散函数，称其为离散信号。离散信号可通过采样开关按照一定的时间间隔对连续信号进行采样而得到，此时，又照一定的时间间隔对连续信号进行采样而得到，此时，又称为采样信号，相应的控制系统亦称为采样控制系统。采称为采样信号，相应的控制系统亦称为采样控制系统。采样控制系统的一般结构如图所示。样控制系统的一般结构如图所示。4 离散系统中，采样开关的作用如图所示。采样开关每离散系统中，采样开关的作用如图所示。采样开关每隔时间闭合一次，称为采样周期。采样开关每次闭合隔时间闭合一次，称为采样周期。采样开关每次闭合的时间为的时间为，一般，一般，。5 计算机控制系统中的连续误差信号通

3、过转换器计算机控制系统中的连续误差信号通过转换器转换成数字量，经计算机处理后，再经转换器转换转换成数字量，经计算机处理后，再经转换器转换成模拟量，然后对被控对象进行控制。这里，若将成模拟量，然后对被控对象进行控制。这里，若将和转换器的比例系数合并到系统的其他系数中去，和转换器的比例系数合并到系统的其他系数中去，则转换器相当于一个采样开关，转换器相当则转换器相当于一个采样开关，转换器相当于一个保持器。于一个保持器。 在系统中，如果用计算机来代替脉冲控制器，实现对在系统中，如果用计算机来代替脉冲控制器，实现对偏差信号的处理，就构成了数字控制系统，也称为计算机偏差信号的处理，就构成了数字控制系统，也

4、称为计算机控制系统。它是采样控制系统的另一种形式。控制系统。它是采样控制系统的另一种形式。68.1.2 采样过程与采样定理采样过程与采样定理.采样函数的数学表示采样函数的数学表示 连续信号连续信号e(t)e(t)经过采样后变成了一脉冲序列。经过采样后变成了一脉冲序列。 采样过程实际上可视为理想脉冲序列采样过程实际上可视为理想脉冲序列(t)对对e(t) e(t) 幅幅值的调制过程。采样开关相当于一个载波为值的调制过程。采样开关相当于一个载波为(t) 的幅值的幅值调制器，其数学表达式为调制器，其数学表达式为: :( )()TkttkT采样函数采样函数 可通过下式求得可通过下式求得 )(*te*(

5、)( )*( )( )()Tke te tte ttkT7在实际控制系统中，当在实际控制系统中，当 t 0 时，时，e(t) = 0, ,所以有所以有*0( )( )*( )( )()Tke te tte ttkT 考虑到离散信号仅在采样时刻有效，故采样函数可表考虑到离散信号仅在采样时刻有效，故采样函数可表示为：示为： *0( )() ()ke te kTtkT(0) ( )( ) ()(2 ) (2 )ete TtTeTtT8理想采样过程理想采样过程 9. .采样定理采样定理 连续信号连续信号e(t)e(t)经过采样后，变成一个脉冲序列经过采样后，变成一个脉冲序列e e* *(t),(t),

6、由由于脉冲序列只含有采样点上的信息于脉冲序列只含有采样点上的信息, , 而丢失了各采样时刻之而丢失了各采样时刻之间的信息。为了使离散信号间的信息。为了使离散信号e e* *(t) (t) 不失真地复现原信号不失真地复现原信号e(t) e(t) ，必须考虑采样角频率，必须考虑采样角频率与与e(t)e(t)中含有的最高次谐波中含有的最高次谐波角频率角频率maxmax之间的关系。通过对之间的关系。通过对e(t) e(t) 与与e e* *(t) (t) 的频谱分析的频谱分析可知，为了复现原信号可知，为了复现原信号e(t) e(t) 的全部信息，要求采样角频率的全部信息，要求采样角频率必须满足如下关系

7、必须满足如下关系: : 这就是采样定理，又称香农（这就是采样定理，又称香农（shannonshannon）定理，它指）定理，它指明了复现原信号所必须的最低采样频率。明了复现原信号所必须的最低采样频率。max2s108.1.3 采样信号的复现采样信号的复现 信号的复现信号的复现为了实现对受控对象的有效控制，把采样为了实现对受控对象的有效控制，把采样信号恢复成相应的连续信号的过程称为信号的复现。信号恢复成相应的连续信号的过程称为信号的复现。 保持器保持器将采样信号准确地复现为原来的连续信号的装将采样信号准确地复现为原来的连续信号的装置。置。在采样控制系统中最简单、应用最广泛的是在采样控制系统中最简

8、单、应用最广泛的是零阶保持器零阶保持器。 零阶保持器采用恒值外推原理，它把前一采样时刻的采零阶保持器采用恒值外推原理，它把前一采样时刻的采样值一直保持到下一个采样时刻，从而使采样信号变为阶梯样值一直保持到下一个采样时刻，从而使采样信号变为阶梯信号，信号，在在kTt ( k+1)T期间，期间， 。 ( )()he te kT11零阶保持器的传递函数零阶保持器的传递函数 )(sGh零阶保持器的脉冲响应为：零阶保持器的脉冲响应为：11( )hgt0T1( )hgt0Ttt)( 1)( 1)(TtttghseesssGTsTsh111)(即：即：128.2 采样控制系统的数学基础采样控制系统的数学基础

9、l8.2.1 变换的定义l8.2.2 求变换的方法l8.2.3 变换的基本定理l8.2.4 反变换l8.2.5 差分方程及其求解138.2.1 变换的定义变换的定义对离散函数对离散函数 0*)()()(kkTttftf求拉氏变换求拉氏变换: :*00( )( ) ()stkFsf ttkT edt000()()()stkTskkf kTtkT edtf kT e其中其中 为超越函数，引入新变量为超越函数，引入新变量 kTseTsze0( )()kkF zf kT z则有则有 称称 为为 的的z z变换，并记作变换，并记作 )(zF)(*tf*( )( )F zZ ft148.2.2 求变换的方

10、法求变换的方法.级数求和法级数求和法 .部分分式展开法部分分式展开法根据定义式展开，即根据定义式展开，即 0( )()kkF zf kT z0123(0)( )(2 )(3 )fzf T zfT zfT z 将将F(s)F(s)展开成部分分式之和的形式，然后对各个分展开成部分分式之和的形式，然后对各个分式求式求z z变换，其和即为变换，其和即为F(z) F(z) 。15 例例8-48-4 已知已知 求原函数求原函数f(t)的的Z Z变换式变换式F(z)F(z)。 213ssssF解解 211221)2)(1(3)(21sssAsAssssF其中其中 223) 1()(111ssssssFA11

11、3)2()(221ssssssFA 2222(2)( )()()TTTTTTzzz zeeF zzezezeze168.2.3 变换的基本定理变换的基本定理. .线性定理线性定理2 2滞后定理滞后定理3. 3. 超前定理超前定理 4.4.位移定理位移定理5. 5. 初值定理初值定理6. 6. 终值定理终值定理)() 1(lim)()1 (lim)(lim111zFzzFztfzzt)(lim)(lim0zFtfzt 11()kZ f tkTzF zkkkkkzkTfzzFzTktfZ101111)()()( aTatzeFetfZ)()()()(22112211zFazFatfatfaZ178

12、.2.4 Z反变换反变换)()()(1nTftfzFZ由由Z Z变换函数求其相应的离散函数，称为变换函数求其相应的离散函数，称为Z Z反变换，记为：反变换，记为：)()(nTftf或)(tfZ Z反变换只能求出离散函数反变换只能求出离散函数 ， 而不能求出连续函数而不能求出连续函数 1长除法长除法 将将F(z)F(z)按升幂级数展开为：按升幂级数展开为： 22110)(zczcczF对照对照z z变换的定义式，可知变换的定义式，可知 ,)2(,)(,)0(210cTfcTfcf得采样后的离散信号：得采样后的离散信号： TtcTtctctf2210*18.部分分式法部分分式法.留数法留数法 用部

13、分分式法求反变换与求拉氏反变换的思路类同。由于（）的分子中通常含有变量，为了方便求反变换，通常先将（）除以，然后将（）展开为部分分式，再把展开式的每一项都乘上后，分别求反变换并求和。和拉氏反变换相似，可以用留数法求反变换195 .05 .15 .0)(2zzzzF)(*tf 例例 求 z反变换 。 用直接除法将化成级数形式：用直接除法将化成级数形式：321875. 075. 05 . 00)(zzzzF,875. 0)3(,75. 0)2(, 5 . 0)(, 0)0(TfTfTff即即)3(875. 0)2(75. 0)(5 . 00)(TtTtTttf用长除法只用长除法只能求得有限能求得有

14、限项值。项值。解解1 1( (长除法）长除法）: :20解解2 2( (部分分式法）部分分式法）: :20.50.5( )1.50.5(1)(0.5)zzF zzzzz5 . 0111)5 . 0)(1(5 . 0)(zzzzzzF5 . 01)(zzzzzF即即()10.50,1,2.kf kTk *( )(0) ( )( ) ()(2 ) (2 )00.5()0.75 (2 )ftftf TtTfTtTtTtT用部分分式用部分分式法能求得任法能求得任意采样时刻意采样时刻的值的值218.2.5 差分方程及其求解差分方程及其求解.差分的定义差分的定义 离散函数两数之差为差分。离散函数两数之差为

15、差分。差分又分为前向差分和后向差差分又分为前向差分和后向差分，如图。分，如图。.差分方程差分方程 如果方程中除了含有如果方程中除了含有f(k)以外，还有以外，还有f(k)的差分，则此的差分，则此方程称为差分方程。一般系统的差分方程表达式为方程称为差分方程。一般系统的差分方程表达式为11()(1)(1)( )nnc kna c knac ka c k011()(1)(1)( )()mmb r kmb r kmbr kb r knm22.用变换解差分方程用变换解差分方程 用变换求解差分方程与用拉氏变换求解微分方程类似。用变换求解差分方程与用拉氏变换求解微分方程类似。例例8-16 用用z变换求差分方

16、程变换求差分方程 。 (2)3 (1)2 ( )1( )c kc kc kk初始条件：初始条件： (0)0, (1)1cc 。解解2 2）求）求z z反变换，得：反变换，得： 22( )(0)(1)3( )(0)2 ( )1zz C zz czczC zzcC zz考虑初始条件后，有：考虑初始条件后，有： 22(32) ( )1zzzC zz 2226223112112132zzzzzC zzzzzzzzzz 1121120,1,2,.623kkkc kTk)4(10)3(5)2(2)()(*TtTtTtTttc1 1）求差分方程的）求差分方程的z z变换，得：变换，得： 238.3 脉冲传递

17、函数脉冲传递函数l8.3.1 脉冲传递函数的定义l8.3.2 开环系统的脉冲传递函数l8.3.3 闭环系统的脉冲传递函数248.3.1 脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的定义 脉冲传递函数脉冲传递函数零初始条件下，离散系统或环节输零初始条件下，离散系统或环节输出量的出量的Z Z变换与输入量的变换与输入量的Z Z变换之比，即变换之比，即 ( )( )( )( )( )C zZ c tG zR zZ rt 由于在实际的采样系统中，系统的输出是连续信号，为由于在实际的采样系统中，系统的输出是连续信号，为了应用脉冲传递函数的概念，常在输出端假设一个同步采样了应用脉冲传递函数的概念，常在输出端假设一个同步

18、采样开关。开关。T( )R s( )R s( )G s( )G z( )C s( )C sT258.3.2 开环系统的脉冲传递函数开环系统的脉冲传递函数.串联环节间无采样开关串联环节间无采样开关)()()()()()(2121zGGsGsGZzRzCzG26.串联环节间有采样开关串联环节间有采样开关 )()()()()(21zGzGzRzCzGassGssG1)(,1)(21如：如：121(1)( )()(1)()aTaTzeGG zZs s aa zz e)(1(1)()(221aTaTezzzezzzzzGzG)()()(2121zGGzGzG27.带零阶保持器的开环脉冲传递函数带零阶保持

19、器的开环脉冲传递函数1122( )( )(1)(1)( )(1)( )TsTsG sG zZeZeG szG zs其中：其中：ssGsG)()(12288.3.3 闭环系统的脉冲传递函数闭环系统的脉冲传递函数 1 1） 常见结构采样系统常见结构采样系统)(1)()()(zGHzGzRzC)(1)()()()(zGHzGzRzCz闭环系统脉冲传递函数为：闭环系统脉冲传递函数为： 29 ）对于不设置采样开关来对误差信号）对于不设置采样开关来对误差信号e(t)进行采样进行采样的系统，只能求出其输出的象函数的系统，只能求出其输出的象函数C(z)，而无法求得系统，而无法求得系统的闭环系统脉冲传递函数。的

20、闭环系统脉冲传递函数。)(1)()()(2121zHGGzGzRGzC30例例8-218-21 系统的结构如图所示，试求系统的脉冲传递函数系统的结构如图所示，试求系统的脉冲传递函数例例8-228-22 系统的结构如图所示，求系统的闭环脉冲传递函数。系统的结构如图所示，求系统的闭环脉冲传递函数。1212( )( )( )( )1( )( )( )R z G z G zC zG z G z H z12122( )( )( )( )1( )( )( )R z G z GzC zG z GzG H z31 8.4 采样控制系统的动态性能分析采样控制系统的动态性能分析l8.4.1 采样系统的动态响应分析

21、l8.4.2 闭环极点的位置与动态特性的关系328.4.1 采样系统的动态响应分析采样系统的动态响应分析分析系统的动态响应的方法分析系统的动态响应的方法: : 已知系统的结构和参数已知系统的结构和参数-求出对应的闭环传递函数求出对应的闭环传递函数; ; 求出输出量的求出输出量的Z Z变换变换C(z)（输入给定（输入给定)-)-求输出求输出c(KT); 画出曲线画出曲线C(KT) - -分析系统的动态特性和稳态特性分析系统的动态特性和稳态特性. .3311, R (s),1sKTs设设设: : 1(1)( )(1)(1)()TTzeG zZs szze2(1)( )( )(1)0.632(1)(

22、)(1)( )1( )(1)()(1)0.7360.3681(1)()TTTTTTTzeC zG zzezzzezeR zG zzzezezzzze 20.63210.7360.368zzC zzzz65432196. 0014. 112. 1207. 1097. 1632. 0zzzzzz系统输出的离散信号系统输出的离散信号:*( )0.632 ()1.097 (2 )1.207 (3 )1.12 (4 )c ttTtTtTtT)6(96. 0)5(014. 1TtTt( )c t0T2T3T4T6T5T7T0.81.01.41.28Tt348.4.2 闭环极点的位置与动态

23、特性的关系闭环极点的位置与动态特性的关系 采样控制系统的性能分析类似于连续系统，系统的输出特采样控制系统的性能分析类似于连续系统，系统的输出特性主要由闭环脉冲传递函数的极点来确定，下面主要讨论在单性主要由闭环脉冲传递函数的极点来确定，下面主要讨论在单位阶跃信号作用下，系统的输出特性和闭环极点的关系。位阶跃信号作用下，系统的输出特性和闭环极点的关系。设系统闭环脉冲传递函数为设系统闭环脉冲传递函数为 设闭环极点为设闭环极点为z1,z2,z3,zn，在单位阶跃输入时，输，在单位阶跃输入时，输出的变换为出的变换为10111011( )( )()( )mmmmnnnnb zb zbbC zznmR za

24、 za zaza 1011121mmmmnb zb zbbzC zzzzzzzz35用部分分式法，可得：用部分分式法，可得： nnzzzAzzzAzzAzC1101对上式取反变换，求得输出响应为对上式取反变换，求得输出响应为nikiizAkTAkTc10)()( 1)(稳态项稳态项暂态项暂态项36.闭环极点为实数极点闭环极点为实数极点.闭环极点为复数极点闭环极点为复数极点378.5 采样控制系统的稳定性分析采样控制系统的稳定性分析l8.5.1 平面内的稳定条件l8.5.2 劳斯稳定判据38在单位阶跃输入下，采样系统的闭环输出可表示为在单位阶跃输入下，采样系统的闭环输出可表示为 如果系统是稳定的

25、，则当趋于无穷大时（相当于如果系统是稳定的，则当趋于无穷大时（相当于趋于无穷大），系统输出的瞬态分量趋于零，即趋于无穷大），系统输出的瞬态分量趋于零，即nikiizAkTAkTc10)()( 1)(nikiikzA10)(lim 采样系统稳定的充要条件是采样系统稳定的充要条件是闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数的所有极点均位于的所有极点均位于Z Z平面以原点为圆心的单位圆内，即平面以原点为圆心的单位圆内，即1iz39由平面和平面的关系也可得稳定条件由平面和平面的关系也可得稳定条件其中，是复变量，即其中，是复变量，即z z变量和变量的关系变量和变量的关系Tsez jsjTjTTsezeeezs s

26、平面和平面和z z平面有着如下的对应关系：平面有着如下的对应关系： 稳定在z平面内0在s平面内1z 00稳定性临界稳定不稳定1z 1z 11eRmI zsj1408.5.2 劳斯稳定判据劳斯稳定判据 在采样系统中，由于稳定的边界是单位圆而不是虚轴，在采样系统中，由于稳定的边界是单位圆而不是虚轴，所以不能直接引用劳斯判据，必须进行双线性变换：所以不能直接引用劳斯判据，必须进行双线性变换：则则11wwz11zzw设设jvuwjyxz222222111211(1)(1)zxjyxyywjzxjyxyxy 则则当在当在Z Z平面单位圆内时有平面单位圆内时有122 yx在在W W平面则有平面则有 0122 yx实部为负，左平面实部为负，左平面 41例例8-258-25 已知采样控制系统闭环特征方程式已知采样控制系统闭环特征方程式03911911745)(23zzzzD试判断系统的稳定性。试判断系统的稳定性。 解解 将将 代入特征方程代入特征方程 11wwz039)11(119)11(117)11(4523wwwwww0) 1(39) 1)(1(119) 1() 1(117) 1(453223wwwwww整理得整理得0402223www列劳斯表：列劳斯表：0123wwww12184000402第一列元素的符号变第一列元素的符号变化了二次，表示方程化了二次，表示方程有二个根在右半平面