双曲线知识点及题型总结

1、双曲线知识点及题型总结1 双曲线定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（|F1F2|）的点的轨迹（为常数）这两个定点叫双曲线的焦点要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a|F1F2|时，动点轨迹不存在.动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲

2、线的准线2. 双曲线的标准方程：和（a0，b0）.这里，其中|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.5.曲线的简单几何性质=1（a0，b0）范围：|x|a，yR对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称顶点：轴端点A1（a，0），A2（a，0）渐近线：若双曲线方程为渐近线方程

3、若渐近线方程为双曲线可设为若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，焦点在y轴上）特别地当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；y=x，y=x准线：l1：x=，l2：x=，两准线之距为焦半径：，（点P在双曲线的右支上）；，（点P在双曲线的右支上）；当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质（略）与双曲线共渐近线的双曲线系方程是与双曲线共焦点的双曲线系方程是6曲线的内外部(1)点在双曲线的内部.(2)点在双曲线的外部.7曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.(2)若渐近线方程为双曲线可设为.(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上

4、，焦点在y轴上）.8双曲线的切线方程(1)双曲线上一点处的切线方程是.（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）双曲线与直线相切的条件是.9线与椭圆相交的弦长公式 若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长 ,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；高考题型解析题型一：双曲线定义问题1.“ab<0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件2.若，则“”是“方程表示双曲线”的( )A.充分不必要条件. B.必要不充分条件. C.充

5、要条件. D.既不充分也不必要条件.3.给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由|PF1|PF2|=8，即|9|PF2|=8，得|PF2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上. _.4.过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长是 .题型二：双曲线的渐近线问题1.双曲线=1的渐近线方程是( )A. y=±x B.y=±x C.y

6、=±x D.y=±x2.过点（2，2）且与双曲线y2=1有公共渐近线的双曲线方程是( )A.=1 B.=1 C.=1 D.=1题型三：双曲线的离心率问题1已知双曲线 (a0,b0)的左右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且PF1=4PF2,则此双曲线的离心率e的最大值为 （ ）ABCD2.已知是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点,若是正三角形,那么双曲线的离心率为 ( ) A. B. C. 2 D. 33.过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 (

7、 )A. B. C. D. 4.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为( )A. B. 2 C . D. 25.已知双曲线(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2) B. (1,2) C.2,+) D.(2,+)题型四：双曲线的距离问题1.设P是双曲线=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y=0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3，则|PF2|等于( )A.1或5 B.6 C.7 D.92.已知双曲线的右焦点

8、为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是A.(,) B. (-,) C. , D. -,3.已知圆C过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_.题型五：轨迹问题1.已知椭圆x2+2y2 =8的两焦点分别为F1、F2，A为椭圆上任一点。AP是AF1F2的外角平分线，且 =0.则点P的轨迹方程是 . 2.双曲线x2y2 =4的两焦点分别为F1、F2，A为双曲线上任一点。AP是F1AF2的平分线，且 =0.则点P的轨迹是（）A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C.圆的一部分 D.抛物线的一部分 3求与圆及都外切的动圆圆心的

9、轨迹方程高考例题解析1.已知是双曲线的左、右焦点,P、Q为右支上的两点,直线PQ过,且倾斜角为,则的值为 ( )A B 8 C D 随的大小变化答案: A解析: 用双曲线定义列方程可解2.过双曲线的右焦点作直线交曲线于A、B两点,若则这样的直线存在 ( )A 0条 B 1条 C 2条 D 3条答案: D解析: x轴时的焦点弦长AB=4最短为通径,故交右半支弦长为4的直线恰有一条;过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条3. 直线与曲线的交点个数是 ( )A 0个 B 1个 C 2个 D 3个答案: D解析: (0, 5)点为完整双曲线和椭圆的极值点,故y=5为其切线,当直线斜率不为0时,直线必

10、与每个曲线交于两点4. P为双曲线上一点,为一个焦点,以为直径的圆与圆的位置关系为 ( )A 内切 B 外切 C 内切或外切 D 无公共点或相交答案: C解析: 用两圆内切或外切的条件判断5. 设是双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足,则的面积为 ( )A 1 B C 2 D 答案: A解析: 勾股定理,双曲线定义联立方程组h或面积公式6. 设是双曲线的左、右焦点,P在双曲线上,当的面积为1时,的值为( )A 0 B 1 C D 2答案: A 解析: 不妨设由, , ,7.过点A（0，2）可以作_条直线与双曲线x21有且只有一个公共点答案：4 解析：数形结合，两切线、两交线过点P(4,4)且

11、与双曲线1只有一个交点的直线有 ()A1条 B2条 C3条 D4条解析：如图所示，满足条件的直线共有3条答案：C8.已知A（3，2），M是双曲线H：上的动点，F2是H的右焦点，求的最小值及此时M的坐标。解：由，则 此时M的坐标（）9. 已知双曲线C：，一条长为8的弦AB两端在C上运动，AB中点为M，则距轴最近的M点的坐标为 。解：又，则当且仅当时，取“=”，由逆径，故可取“=”又由即故M（）10.P为双曲线x21右支上一点，M、N分别是圆(x4)2y24和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为_解析：双曲线的两个焦点为F1(4,0)、F2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r12

12、，r21，|PM|max|PF1|2，|PN|min|PF2|1，故|PM|PN|的最大值为(|PF1|2)(|PF2|1)|PF1|PF2|35.答案：5.直线：与双曲线C：的右支交于不同的两点A、B。（）求实数的取值范围；（）是否存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出的值。若不存在，说明理由。解：（）将直线依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故（）设A、B两点的坐标分别为、，则由式得假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）.则由FAFB得：整理得把式及代入式化简得解得可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.（

13、四川卷）9.已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线kx1与曲线E交于A、B两点。（）求的取值范围；（）如果且曲线E上存在点C，使求。本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分14分。解：（）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知 故曲线的方程为 设，由题意建立方程组 消去，得又已知直线与双曲线左支交于两点，有 解得 依题意得 整理后得或但 故直线的方程为设，由已知，得，又，点将点的坐标代入曲线的方程，得得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，点的坐标为到的距离为的面积练习题1.

14、已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(，0)，直线y=x1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ）A=1 B =1 C=1 D=12.双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.3、已知双曲线1（a0，b0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，OAF的面积为（O为原点），则两条渐近线的夹角为（ ）A30ºB45ºC60ºD90º4、已知双曲线的两个焦点为，P是此双曲线上的一点，且，则该双曲线的方程是A B C D5、已知F1、F2是双曲线的两焦

15、点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）ABCD6. 直线yx3与曲线=1的交点的个数是（ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个7.若双曲线x2y2=1右支上一点P(a, b)到直线y=x的距离是，则ab的值为（ ）。 （A） （B） （C）或 （D）2或28.已知点F是双曲线1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(1,2) C(1,1) D(2,1)9.设P为双曲线y21上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是10.求与圆