概率统计习题课答案经管系 吴赣昌编

1、事件间的关系：包含、相等、互不相容事件间的关系：包含、相等、互不相容事件运算：并、交、差、对立事件运算：并、交、差、对立；运算性质：运算性质： 交换律交换律：ABBA ABBA 结合律结合律：A（BC）（AB）C A（BC）（AB）C 分配律分配律：A（BC）（AB）（AC） A（BC）（AB）（AC） 德德.摩根律摩根律： ABABABAB符号符号集合集合概率概率S空间样本空间（必然事件）空集不可能事件eSS中的元素样本点 e 单点集基本事件A SS的子集事件AA B集合A包含在集合B中事件A发生必有事件B发生A= B集合A与B相等事件A与事件B相等A B集合A与B的并集事件A与B至少发生一

2、个A B集合A与B的交集事件A与B同时发生A B= 集合A与B无共同元素事件A与B不能同时发生集合A的补集事件A不发生A- B集合A与B的差事件A发生而事件B不发生例：例：设A、B、C表示三个事件，试用A、B、C的运算表示下列事件：仅A发生；A、B、C都不发生；A、B、C都发生；A、B、C至少有一个发生；A、B、C恰有一个发生。解：解： ABCABCABCABCABCABCABC3 频率与频率与概率概率( (2) ) P( (S ) )= 1 ， ( (3) ) 若事件若事件A1 , A2 , , An , 两两互不相容，则有两两互不相容，则有)()()()(2121nnAPAPAPAAAP(

3、 (1) ) 若事件若事件A ，有有 P( (A) ) 0 ， 设设E E 是随机试验，是随机试验， S S 是它的样本空间是它的样本空间, , 概率的公理化定义概率的公理化定义 定义定义非负性非负性 正则性正则性 可列可列可加性可加性 性质性质1. P()=0性质性质2. (有限可加性有限可加性) 若若A1 , A2 , , An 两两互不相容两两互不相容，则有，则有 P( A1 A2 An )= P(A1) +P( A2 ) + +P( An )性质性质5. (余概公式余概公式 ) 对任何事件对任何事件 A， 有有 P( )= 1-P(A) . 性质性质3. 任意事件任意事件 A, B有有

4、 P( B-A )= P(B) - P(AB). (差概公式差概公式)推论推论 若若A B, 有有 P( B-A )= P(B) - P(A)，且且P(A) P(B) . (单调性单调性) .)()1()()1()()()()(2111111112121nnnmmmmmmrnkjikjinjijiininiiAAAPAAAPAAAPAAPAPAPrr性质性质6. (加法公式加法公式) 对任意事件对任意事件 A，B ， A1 , A2 , , An 有有 P( A B )= P(A) +P( B)- P( AB) , 性质性质4. 对任何事件对任何事件 A， 有有 P(A) 1. 则称则称n(

5、(A) )为为事件事件A 发生的发生的频数频数,称比值称比值 为事件为事件 A 在在 n 次试验中出现的次试验中出现的频率频率, 定义定义1 如果在如果在 n 次重复试验中事件次重复试验中事件A 发生了发生了n( (A) )次次, nAn)(记为记为 f n ( A )，nAnAfn)()( 即即A 发生的发生的频繁程度频繁程度 稳定值稳定值确定概率的频率方法确定概率的频率方法基本性质基本性质;1)(0)1( Afn( (3) ) 设设A1, A2, , Ak 两两互不相容的事件，则两两互不相容的事件，则; 1)()2(Sfn)()()()(2121knnnknAfAfAfAAAf非负性非负性

6、 正则性正则性 有限有限可加性可加性 即满足公理化定义即满足公理化定义. 4 等可能概型等可能概型 ( 古典概型古典概型 )-确定概率的古典方法确定概率的古典方法 古典方法的基本思想古典方法的基本思想 ：(1) (1) 样本空间样本空间 S 只有只有有限多有限多个样本点，个样本点， (2) (2) 每个样本点发生的可能性每个样本点发生的可能性相等相等， ;,21nS即等可能性等可能性这样就把求概率问题转化为这样就把求概率问题转化为计数问题计数问题 .设事件设事件 A 由由 k 个样本点组成个样本点组成 ，即，即则则 A 的概率为：的概率为：, ,21kiiiA 中的样本点总数包含的样本点数SA

7、nk )(AP称此概率为称此概率为古典概率古典概率. 这种确定概率的方法称为这种确定概率的方法称为古典方法古典方法 . 当样本空间当样本空间S 有有无限多个等可能无限多个等可能的样本点，并且的样本点，并且S 可表示为可表示为一个一个有度量有度量的几何区域时的几何区域时, 就形就形 成了确定概率的另一方法成了确定概率的另一方法几几何方法何方法. 它类似于古典概率，仍用它类似于古典概率，仍用“事件的概率事件的概率”等等于于“部分部分”比比“全体全体”的方法来规定事件的概率的方法来规定事件的概率. .不过现在的不过现在的“部分部分”和和“全体全体”所包含的样本点所包含的样本点是无限的是无限的. 早在

8、概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的点的古典方法是不够的.1.2.5 确定概率的几何方法确定概率的几何方法定义定义 若随机现象若随机现象 E 具有以下两个特征：具有以下两个特征：(1) (1) E 的样本空间有无穷多个样本点，且可用一个有度量的的样本空间有无穷多个样本点，且可用一个有度量的几何区域来表示；几何区域来表示； (2) (2) 每个样本点出现的可能性相同。每个样本点出现的可能性相同。 则则事件事件A的概率为的概率为： 有度量的区域有度量的区域S事件事件A对应的区域仍以对应的区域仍以A表示表示的

9、度量的度量SAAP)(长度长度面积面积体积体积 S . .1933年年, kolmogorov 柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫 无限个等可无限个等可能能样本点样本点 有限个有限个等可能等可能样本点样本点克服等可克服等可能观点不能观点不易解决的易解决的问题问题 公理化公理化 定义定义几何几何 定义定义 频率频率 定义定义 )(中的样本点总数包含的样本点数SAAP的度量的度量SAAP)(古典古典定义定义nAnAfn)()( B设设A、B是两个事件，是两个事件，)()()|(APABPABP A为在事件为在事件 A 发生的条件下发生的条件下, 事件事件 B 的的条件概率条件概率.定义定义且且 P( (A)

10、 ) 0, , 则称则称 AB在事件在事件A 已发生的条件下已发生的条件下,为使为使 B 也发生也发生, 试验结果必须是既在试验结果必须是既在 A 中又在中又在 B 中的样中的样本点本点 ,即此点必属于即此点必属于AB.条件概率是概率条件概率是概率满足概率的三条公理满足概率的三条公理用用古典概型古典概型的思想去理解：的思想去理解： 5 条 件 概 率条 件 概 率例题例题涉及涉及 A与与 B 同时发生时，同时发生时， 用用P( (AB) )； 有主从关系时，有主从关系时， 用用P( (A| |B).). = ,2) ) 在减缩的样本空间中在减缩的样本空间中 ( (加入条件后改变了的情况加入条件

11、后改变了的情况) )直接计直接计算算. 1) ) 在原样本空间中直接用定义计算在原样本空间中直接用定义计算:,)()()|(APABPABPP(A)0； 例例2一盒中装有一盒中装有4只产品，其中只产品，其中3只为只为一等一等品品, 1只为只为二等二等品。从品。从中中不放回的抽取两次，每次不放回的抽取两次，每次取取1只产品，只产品，A表示第一次取到的是表示第一次取到的是一等品，一等品，B表示第二次取到的是一等品，求条件概率表示第二次取到的是一等品，求条件概率P(B|A) .2,21A 发生后的缩减样本空间发生后的缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中B 所含样本

12、点个数所含样本点个数条件概率的计算条件概率的计算解解: 方法方法 1) )用定义计算用定义计算P( (A) ) P( (AB) )34233 4 方法方法 2) ).32)()()|(APABPABP S 的的点数点数 4= 3.32)|(ABP由条件概率的定义由条件概率的定义即即 若若P( (B) )0, 则则 P( (AB) )= P( (B) )P( (A| |B) ) ( (1) )()()|(BPABPBAP 若已知若已知P( (B) ), P( (A| |B) )时时, 可以反求可以反求P( (AB) ).对调对调A、B的位置，则有的位置，则有 ( (1) )和和( (2) )式统

13、称为式统称为乘法公式乘法公式 , 利用利用它可计算两个事件同时发生的概率它可计算两个事件同时发生的概率二、二、 乘法公式乘法公式即即 若若P( (A) )0, 则则 P( (BA) )= P( (A) )P( (B| |A) ) ( (2) )推广到多个事件的乘法公式推广到多个事件的乘法公式:当当 P( (A1A2An-1) ) 0 (?)时，有时，有P( (A1A2An) )= P( (A1) )P( (A2|A1) )P( (A3|A1A2) ) P( (An| A1A2An-1) )(5.5) 例例4* 设有设有 100 件产品，其中有件产品，其中有 10 件次品件次品. 现从中连续取现

14、从中连续取3次，每次次，每次不放回不放回地取地取 1 件，求第件，求第 3 次次才才取到次品的概率取到次品的概率. 则所求概率为：则所求概率为： 解解 设设 Ai = 第第 i 次取到的是次品次取到的是次品,i =1, 2, 3. )(321AAAP)|()|()(213121AAAPAAPAP)(1AP)|(12AAP)|(213AAAP.0826. 09810998910090)(321AAAP,10090,9810,9989P( (A1A2An) )= P( (A1) )P( (A2|A1) )P( (A3|A1A2) ) P( (An| A1A2An-1) )niiBAPAP1)()(

15、 乘法公式乘法公式 )|()(1iiniBAPBP 设设 B1, B2, , Bn 是是 的一个的一个分割分割，且，且,1 niiB(三三) 全概率公式全概率公式定义定义 若若 n 个事件个事件 B1, B2, , Bn互不相容，且互不相容，且满足满足则称则称 B1, B2, , Bn 为为 的一个的一个分割（或划分）分割（或划分）. P( (Bi) ) 0， i = 1, 2, , n , 对任一事件对任一事件 A ，显然显然 A = A niiBA1 niiBA1)( ,)( jijiBAABBB, ), 2, 1,(njiji )(1iniBAP 则则A定理：定理： 有有 niiiBAP

16、BPAP1)|()()( 全概全概( (率率) )公式公式 “全全”部概率部概率 P( (A) ) 被被分解成了许多部分之和分解成了许多部分之和最简单形式：若 0P(B) 0, i =1, 2, , n ，如果，如果P (A) 0 , 则则即即 P( (Bi| |A) ). . .)|()()|()()()()|(1njjjiiiiBAPBPBAPBPAPABPABP.)|()()|()()|(1njjjiiiBAPBPBAPBPABP证明：由条件概率、乘法公式和全概率公式可得S1BA2B3B4B1AB2AB4AB3AB知知“结果结果”求求“原因原因”例例6 对以往数据分析结果表明：当机器调整

17、得良好时，产品的合对以往数据分析结果表明：当机器调整得良好时，产品的合格率为格率为98%；而当机器发生某种故障时，产品的合格率为；而当机器发生某种故障时，产品的合格率为55%；每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%。试求已知某。试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？解：设解：设A为事件为事件“产品合格产品合格”， B为事件为事件“机器调整良好机器调整良好”。则则0.98,)|(BAP)(BP)|(ABP)(BP)|(BAP)()(APABP)()|()()|()()|

18、(BPBAPBPBAPBPBAP0.55,0.95,0.05,所求的概率为所求的概率为。97. 005. 055. 095. 098. 095. 098. 0先验概率先验概率后验概率后验概率 定义定义 若若事件事件A, B 满足满足P(AB)= P(A)P(B), 则称则称事件事件 A 与与 B 相互相互独立独立 . 简称简称独立独立 .6 事件的独立性事件的独立性不可能事件与任一事件都是相互独立的不可能事件与任一事件都是相互独立的一般地一般地 P( (A| |B) ) P( (A) )例子例子 在掷两颗色子的试验中，记在掷两颗色子的试验中，记 A =第一颗色子的点数为第一颗色子的点数为1，

19、B =第二颗色子的点数为第二颗色子的点数为4。很显然，。很显然，事件事件B发生发生, 并不影响事并不影响事件件A 发生的概率发生的概率. 即即 P(A|B)= P(A)。 在条件在条件 P( (B) )0下，下， P( (A| |B) )= P( (A) ) P( (AB) )=P( (A) )P( (B). ). 在条件在条件 P( (A) )0下，下， P( (B B| |A) )= P( (B B) ) P( (AB) )=P( (A) )P( (B). ). 实际应用中往往根据问题的实际意义判断两事件是否独立实际应用中往往根据问题的实际意义判断两事件是否独立 如果对其中任意一组事件如果对其中任意一组事件 ( (12) )个事件个事件两两两两独立独立 相互相互独立独立结论结论: 若事件若