中考数学——圆与相似的综合压轴题专题复习及详细答案

1、中考数学一一圆与相似的综合压轴题专题复习及详细答案一、相似1 .已知：如图，在 4ABC中，AB=BC=1Q 连接DE和DB,过点E作EH AB,垂足为 以AB为直径作。分别交AC, BC于点D, E, F,交BD于点P.(1)求证：AD=DE;(2)若CE=2求线段CD的长；(3)在(2)的条件下，求 4DPE的面积.【答案】(1)解：.AB是。的直径，/ ADB=90 ；即 BD± AC1 .AB=BC,2 .ABDCBD/ ABD=Z CBD在。O中，AD与DE分另1J是/ABD与/CBD所对的弦 .AD=DE;(2)解：二.四边形 ABED内接于。O,ZCED=Z CAB,c

2、e cn/C=/ C,ACEDIA CAB, . CA -，AB=BC=10, CE=2, D 是 AC 的中点,.5=%;正；(3)解：延长EF交。于M,在 RtMBD 中，AD= %'取 AB=10,BD=3 4, . EMXAB, AB 是。的直径，麻-屈，/ BEP=/ EDB,.,.BPEABED,BD BBBE 国,BP= 15 , 1316 . DP=BD-BP= " , Sadpe: Sabpe=DR BP=13: 32,/Sa bcd=- N. xs 1= =15, Sabde: Sabcd=BE BC=4: 5, 1 Sa bdE=12 , 52Sadpe

3、= Ji .【解析】【分析】(1)根据已知条件 AB是。O的直径得出/ADB=90,再根据等腰三角 形的三线合一的性质即可得出结论。(2)根据圆内接四边形的性质证得/CED=Z CAB,再根据相似三角形的判定证出 CEDACAEI,得出对应边成比例，建立关于CD的方程，即可求出 CD的长。(3)延长 EF交。于 M,在 RtAABD中，利用勾股定理求出BD的长，再证明 BPEABED,根据相似三角形的性质得对应边成比例求出BP的长，然后根据等高的三角形的面积之比等于对边之比，再由三角形面积公式即可求解。2.综合题(1)【探索发现】如图，是一张直角三角形纸片，/ B=90。，小明想从中剪出一个以

4、 / B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为多(2)【拓展应用】如图，在 ABC中，BC=qBC边上的高AD=h,矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形 PQMN面积的最大值为多少.(用含 a, h的代数 式表示)(3)【灵活应用】如图，有一块 缺角矩形'ABCDE，AB=32, BC=40, AE=20, CD=16,小明从中剪出了一个 面积最大的矩形(/B为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积.(4)【实际应用】如图

5、，现有一块四边形的木板余料ABCD,经测量 AB=50cm, BC=108cm, CD=60cm,且M、N在边BC上且面积最大的矩形tanB=tanC= 4 ,木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 PQMN,求该矩形的面积.【答案】(1)解：.EF、ED为4ABC中位线，I .ED/AB, EF/ BC, EF= BC, ED= AB,又 / B=90°,四边形FEDB是矩形，卷碎如EF*DE2 2 I戚/W-AB*BC -ABC则J 手 ;(2)解:. PN/BC, .APNAABC,PN 枪 FN 力一网Br9即占 h .PN=a-力 PQ,a <a h ah=- / x2+a

6、x=-/（x-）2+ /设 PQ=x,贝U S 矩形 pqmn=PQ?PN=x （a-/M.当PQ= 2时，S矩形PQMN最大值为 / .(3)解：如图1,延长BA、DE交于点F,延长BC、ED交于点 G,延长 AE、CD交于点 H,取BF中点I, FG的中点K,图1由题意知四边形 ABCH是矩形,1 . AB=32, BC=40, AE=20, CD=16,2 .EH=20、DH=16,3 .AE=EH CD=DH,在 AEF和AHED中，I AE=AH.4EF一幽,4 .AEFAHED (ASA), .AF=DH=16, 同理 ACDGAHDE,5 .CG=HE=2QAS + 4/.BI=

7、 ?=24,6 .BI=24<32,中位线IK的两端点在线段 AB和DE上, 过点K作KL.X BC于点L,二 XBG? BF=J X(40+20) >C (32+16) =720由【探索发现】知矩形的最大面积为/ B=/C,答：该矩形的面积为 720;CD交于点E,过点E作EHL BC于点H,.EB=EC7 . BC=108cm,且 EH，BC,，BH=CH= BC=54cm,tanB= Bis = 3 ,.EH= J BH= J X 54=72cm在 RtA BHE 中,BE=qRF + 初=90cm ,8 .AB=50cm,AE=40cm,.BE的中点Q在线段AB上，.CD=

8、60cm,ED=30cm,CE的中点P在线段CD上，中位线PQ的两端点在线段 AB> CD上，1由【拓展应用】知，矩形 PQMN的最大面积为B BC?EH=1944cm2 , 答：该矩形的面积为 1944cm2.1 1【解析】 【分析】(1)由三角形的中位线定理可得ED/ AB, EF/ BC, EF= BC, ED= JFEDB是平行四边形，而AB,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形/B=90；根据一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形FEDB是矩形，所以(2)因为 PN/ BC,由相似三角形的判定可得APNM4ABC,则可得比例式m 分一网昌- PN = a 力 ，

9、解得力，设 PQ=x ,贝U S矩形pqmn=PQ?PN=xj a 餐产- -J<，因为力0,所以函数有最大值，即当竺 AE3r拉，即hPQ=H,S矩形PQMN有最大值为ah;延长AE、CD交于点H,取BF中点(3)延长BA、DE交于点F,延长BC ED交于点G,I, FG的中点K,由矩形的判定可得四边形ABCH是矩形，根据矩形的性质和已知条件易得AE=EH、CD=DH,于是 用角边 角可得 AEH HED ,所以 AF=DH=16,同 理可得 CD8 4HDE,则CG=HE=20所以”=24,BI=24v 32,所以中位线 IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KLA BC于点L,由

10、(1)得矩形的最大面积为 工X BG? BF=111 g-X (40+20) 乂 (32+16) =720;(4)延长 BA、CD交于点E,过点E作EHI± BC于点H,因为tanB=tanC,所以Z B=Z C, yHI贝U EB=EC由等腰三角形的三线合一可得BH=CH=BC=54cm；由tanB可求得 EH=BH= JX 54=72cm在 RtBHE中，由勾股定理可得 BE=90cm所以AE=BE-AB=40cm|所以 BE的中 点Q在线段AB上，易得CE的中点P在线段CD上，由(2)得矩形PQMN的最大面积为 /B BC?EH=1944cnf3.(1)问题发现:如图1,在等边

11、三角形 ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角 形AMN,连接CN, NC与AB的位置关系为 ;(2)深入探究：如图2,在等腰三角形 ABC中，BA=BQ点M为BC边上异于 B、C的一点，以 AM为边作 等腰三角形 AMN ,使/ABC=/ AMN, AM=MN ,连接 CN,试探究/ ABC与/ ACN的数量关 系，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3,在正方形 ADBC中，AD=AC,点M为BC边上异于 B、C的一点，以 AM为边作正 方形AMEF,点N为正方形 AMEF的中点，连接 CN,若BC=10, CN=工，试求EF的长.【答案】(1) NC/ AB(2)解：

12、/ABC=/ ACN,理由如下：AB .林 BC=1 且/ ABC=Z AMN ,.ABC-AAMN,刹小卜 ).AB=BC,I/ BAC=- (180 - / ABC), .AM=MN/ MAN=闺(180 - / AMN), / ABC=Z AMN , / BAC=Z MAN ,/ BAM=Z CAN, .ABM MCN,/ ABC=Z ACN(3)解：如图3,连接AB, AN,图3E 四边形ADBC, AMEF为正方形，/ ABC=Z BAC=45 : / MAN=45 °, / BAC- / MAC=Z MAN - / MAC即 / BAM=Z CAN,AB AC ./ AA

13、 ,.3.BM=2,.CM=BC- BM=8,在 RtAAMC,AM= +建=正聿* - N币,EF=AM=2 .【解析】【解答】解：(1) NC/ AB,理由如下:,ABC与4MN是等边三角形，.AB=AC, AM=AN , / BAC=/ MAN=60 °,/ BAM=Z CAN,在 ABM与 ACN中，AB - AC= ZCAN= AN2 .ABMAACNI (SAS ,/ B=/ACN=60 ；3 / ANC+/ ACN+/ CAN=Z ANC+60+/CAN=180 ,°4 / ANC+Z MAN+/ BAM= / ANC+60 +Z CAN=Z BAN+Z AN

14、C=180 ；5 .CN/ AB;【分析】(1)由题意用边角边易得ABMACN,则可得/ B=/ACN=60 ,所以/ BCN+Z B=Z BCA+Z ACN+Z B=180 ,°根据平行线的判定即可求解；AB AC(2)由题意易得4ABCAAMN ,可得比例式,博.心,由三角形内角和定理易得/BAM=/CAN,根据相似三角形的判定可得4ABMACN,由相似三角形的性质即可求解；(3)要求EF的值，只须求得 CM的值，然后解直角三角形AMC即可求解。连接 AB,AN ,由正方形的性质和相似三角形的判定易得4ABMAACN ,可得比例式|瑞1 AC , 心-cos-/? -曲 曲2 ,

15、可求得BM的值，而CM=BC- BM,解直角三角形 AMC即可求得AM的值，即为EF的值。4.在等腰直角三角形 ABC中,/ACB= 90 ,AC= BC,D是AB边上的中点，RtEFG的直角顶 点E在AB边上移动.(1)如图1,若点D与点E重合且EG± AC、DF± BC,分另1J交 AC BC于点M、N,易证EM=EN;如图2,若点D与点E重合，将 EFG绕点D旋转，则线段 EM与EN的长 度还相等吗？若相等请给出证明，不相等请说明理由；(2)将图1中的R9EGF绕点D顺时针旋转角度 “(0V “V45 ).如图2,在旋转过程中，当/MDC=15°时，连接 M

16、N,若AC= BC= 2,请求出线段 MN的长；(3)图3,旋转后，若RtEGF的顶点E在线段AB上移动(不与点D、B重合)，当AB= 3AE 时，线段EM与EN的数量关系是 ;当AB= m-AE时，线段EM与EN的数量关系 是.【答案】（1）解：EM=EN原因如下：/ ACB= 90 ° AC= BC D是 AB 边上的中点.DC=DB /ACD=/B=45° Z CDB= 90 / CD斗 / FDB= 90 ° / GDF= 90 °.1. / GDC+ / CD已 90 二 C CDM= / BDN 在CDM和4BDN中/MCD=/B, DC=

17、DB, /CDM=/BDN, .CDMABDN DM = DN 即 EM= EN(2)解：作DP,AC于P,则/ CDP= 45 ° CP= DP= AP= 1 / CDG= 15/ MDP = 30Pb. cos/ MDP=她.DM =DM= DN, MND为等腰直角三角形W5P- XMN =(3) NE=2ME; EN=(m-1)ME【解析】 【解答】解：(3)NE= 2ME,EN=(m-1)ME证明：如图3,过点E作EP±AB交AC于点P则4AEP为等腰直角三角形，/ PEB= 90°.AE= PE AB= 3AE . BE= 2AE . BE= 2PE又

18、/ MEP+ / PEN= 90°/ PEN+ / NEB= 90 °/ MEP= / NEB又 / MPE= / B=45°.PMEsBNEPE 1 ArF EB 二，即 EN= 2EM由此规律可知，当 AB= m-AE时，EN=(m1)ME【分析】(1) EM=EN;原因如下：根据等腰直角三角形的性质得出 DC= DB /aca/b= 45° / CDB= 90°根据同角的余角相等得出/ CDM= / BDN,然后由ASA判断出 CDMABDN根据全等三角形的应边相等得出 DM = DN即em=en；(2)根据等腰直角三角形的性质得出/CD

19、P= 45° CP= DP=AP= 1,根据角的和差得出/MDP = 30 ；根据余弦函数的定义及特殊角的三角函数值，由cos/MDP=-桁得出DM的长，又DM = DN,故4MND为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得出 MN 的长；(3)NE= 2ME,EN=(m-1)ME,如图3,过点E作EP!AB交AC于点 巳 则4AEP为等腰直角 三角形，ZPEB= 90° ,根据同角的余角相等得出/ MEP = /NEB然后判断出 pmeabne,根据相似三角形对应边成比例即可得出 u结论，由此规律可知，当 ab= m AE 时，EN= (m-1) ME 5.如图，已

20、知 AB是。的直径，点C在。O上，过点C的直线与AB的延长线交于点 P, AC=PC / COB=2Z PCB.(1)求证：PC是。的切线;(2)求证：BC=： AB;(3)点M是弧AB的中点，CM交AB于点N,若AB=4,求MN MC的值.【答案】(1)证明：OA=OC, ./A=/ACO,又/COB=2Z A, /COB=2ZPCB . . / A= / ACO=/PCB,又.AB 是。的直径，ZACO+Z OCB=9 0,/ PCB+Z OCB=9 0,即 OCX CP,.OC是。的半径，PC是。O的切线(2)证明：.AC=PC ，/A=/P, ，/A=/ACO=/ PCB=Z P.又.

21、 / COB=Z A+ / ACO, / CBO=Z P+/ PCB/ cob=z cbo,bc=og(3)解：连接 MA, MB, 点 M 是弧 AB 的中点，弧 AM=MBM, ，/ ACM=/BCM, / ACM=/ABM, . / BCM=/ABM,Rif 融 / BMN=/BMC, AMBNAMCB, .史 心，：. BM2=MN?MC ,又AB是。的直径，弧 AM=M BM,/ AMB=90 ； AM=BM ,. AB=4, .踹 M ,MN?MC=BM2=8 .【解析】 【分析】(1)根据等边对等角得出 /A=/ACO,运用外角的性质和已知条件得出/ A=/ ACO=/ PCB再

22、根据直径所对的圆周角是直角得出/ PCB+/ OCB=90 ；进而求解.(2)根据等边对等角得出 ZA=ZP,再根据第一问中的结论求解即可，(3 )连接 MA , MB ,根据同弧或等弧所对的圆周角相等得出/ ACM=Z ABM , ，/BCM=/ ABM,证出MBNsmcb,得出比例式进而求解即可 .6.如图，/C=90°,点A、B在/C的两边上，CA=30,CB=20,连结AB.点P从点B出发,以每秒4个单位长度的速度沿 BC方向运动，到点 C停止.当点P与B、C两点不重合时，作PD)± BC交AB于D,作DEL AC于E.F为射线 CB上一点，且 / CEF4 ABC

23、设点P的运动时间为x (秒)(1)用含有x的代数式表示CE的长;(2)求点F与点B重合时x的值；(3)当点F在线段CB上时，设四边形 DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为 y (平 方单位).求y与x之间的函数关系式；(4)当x为某个值时，沿 PD将以D、E、F、B为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形.请直接写出所有符合上述条件的x (1.【答案】(1)解：-. zc=9cr, PDXBC,2 .DP/ AC,.DBPABC,四边形 PDEC为矩形,CE=PD.CA X PB 30 X 4x PD - - -CB203 .CE=6k(2)解

24、：/CEF4 ABC, /C 为公共角,4 .CEfACBACF Ch.CA CBCA X CE 30 X 6xCF - -赛CB20解得(3)解：当点 F与点 P重合日BP+CF=CB 4x+9x=20,解得26X - A5加时,PD(PF DE) 6x(20 - 13x - 4x)r =-51x2+120x.当2GVxW ”时,v =)E X DG-(20(20-4x)16 9160406v -一x # （或 333）四x=臼；£(心£为拼成的三角形;4x+9x=20,解得:;4BDC为拼成的三角形;如图当点F与点P重合时,(4)解：如图，当PD=PF时，6x=20-1

25、3x,解得:图 如图，当DE=PR 20-4x=4x,解得：x=工，4DPF为拼成的三角形【解析】 【分析】（1）首先证明 ABaDBgFEC即可得出比例式进而得出表示CE的长；（2）根据当点 F与点B重合时，FC=BQ即可得出答案；（3）首先证明RtA DOE RtCEF,得出任 仃，即可得出y与x之间的函数关系式；（4）根据三角形 边长相等得出答案.7.在平面直角坐标系中，抛物线经过点, .3、m ,上人，其中心的两根，且W,达，过点月的直线|7与抛物线只有一个公共点是方程(1)(2)(3)求才、e两点的坐标；求直线口的解析式；如图2,点出是线段Md上的动点，若过点 方作卜轴的平行线 距

26、与直线1相交于点 忸，与抛物线相交于点 z,过点I作优的平行线 /与直线川式相交于点 ,求夙 的长.【答案】（1）解：:Xi、X2是方程X2-2x-8=0的两根，且X1VX2 , - xi=-2, X2=4, A （-2, 2） , C （4, 8）(2)解： 设直线l的解析式为y=kX+b (kwQ ,. A (-2, 2)在直线l上,.-2=-2k+b,b=2k+2,，直线l的解析式为y=kx+2k+2I 抛物线y=上x2，联立 化简得，x2-2kx-4k-4=0,直线l与抛物线只有一个公共点，.= (2k) 2-4 (-4k-4) =4k2 + 16k+16=4 (k2+4k+4) =4

27、 (k+2) 2=0, . k=-2,，b=2k+2=-2,，直线l的解析式为y=-2x-2;I 平行于y轴的直线和抛物线y=E x2只有一个交点， 直线l过点A (-2, 2), 直线 l: x=-2(3)解：由(1)知，A (-2,2), C (4, 8),直线AC的解析式为y=x+4,设点 B (m, m+4), C (4.8),1. BC='|m-4|= " (4-m)过点B作y轴的平行线BE与直线l相交于点E,与抛物线相交于点 D,1 .D (m, 2 m2) , E (m, -2m-2),1，BD=m+4-1 m2 , BE=m+4- (-2m-2) =3m+6

28、,1. DC/ EF,.,.BDCABEF7,3m + 6BF ).BF=6 .【解析】【分析】(1)解一元二次方程即可得出点 A, C坐标；(2)先设出直线l的解析 式，再联立抛物线解析式，用 4=0,求出k的值，即可得出直线l的解析式；(3)设出点 B的坐标，进而求出 BC,再表示出点 D, E的坐标，进而得出 BD, BE,再判断出 BD8 4BEF得出比例式建立方程即可求出BF.y轴相交于点C.8.抛物线 y=ax2+bx+3 (aw。经过点 A ( - 1, 0) , B (一，0),且与E在线段AC上，且(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点DEL AC,当4

29、DCE与4AOC相似时，求点 D的坐标.【答案】(1)解：当x=0, y=3,.C (0,3)|j设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x- E ).3将c (0, 3)代入得：-上a=3,解得a=2,，抛物线的解析式为 y=-2x2+x+3No(2)解：过点 B作BMLAC,垂足为 M,过点M作MNLOA,垂足为 . OC=3, AO=1, tanZ CAO=3, 直线AC的解析式为y=3x+3. .ACXBM,IBM的一次项系数为 。设BM的解析式为y=3 +b,将点B的坐标代入得:,解得b=1- BM的解析式为y= 芋 二:./ 1将丫=3*+3与丫=二联立解得:x=3,y= 4MC=B

30、M=. .?MCB为等腰直角三角形。/ ACB=45o. / ACB=45o点D是第一象限抛物线上一点， / ECD>45o.又. ？DCE与？AOC相似，Z AOC=Z DEC=90o,/ CAO=Z ECD.CF=AF.设点F的坐标为（a, 0）,则（a+1） 2=32+a2 ,解得a=4. F （4,0）.设CF的解析式为y=kx+3，将F （4,0）代入得4k+3=0,解得k= 一。5，CF的解析式为y= ' x+3.J/将y= ' x+3与y=-2x2+x+3联立，解得x=0 （舍去）或x= S .g O 3将x= 8代入y= x+3得y=也.F目D （石，火）

31、C的坐标代入可【解析】【分析】（1）易求得 C的坐标，利用交点式设出解析式，再把 求出；(2)过点 B作BMAC,垂足为 M,过点 M作MNLOA,垂足为 N.由tan / CAO=3先求出 直线AC的解析式，从而求出 BM的解析式，两个解析式联立求出M的坐标，再由两点之间的距离求出 MC=BM,进而得出？MCB的形状，求出答案；(3)延长CD,交x轴于点F,由？DCE与？AOC相似可得出CF=AR利用勾股定理求出 F的 坐标，由待定系数法求出 CF的解析式，再与二次函数的解析式联立求出D的坐标.二、圆的综合9.如图，四边形 ABCD内接于。O,对角线AC为。的直径，过点 C作AC的垂线交AD

32、 的延长线于点 E,点F为CE的中点，连接 DB, DF.(1)求证：DF是。的切线；(2)若 DB平分 ZADC, AB=5应，AD : DE=4 ： 1,求 DE 的长.【答案】(1)见解析；(2)石【解析】分析：(1)直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF,再求出ZFDO=ZFCO=900,得出答案即可；(2)首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用 4ADCAACE得出AC2=AD?AE,进 而得出答案.详解：(1)连接OD.OD=CD, . . / ODO/OCD. AC为。的直径，Z ADC=Z EDC=90 °.点 F 为 CE的中点，DF=CF=EF, . .

33、 / FDO/FCD, . / FDO=/FCO.又AC，CE,ZFDO=Z FCO=90°, . DF是。的切线.(2) AC 为。的直径，Z ADC=ZABC=90°. DB平分 / ADC,/ ADB=Z CDB,Ab = ?C，BC=AB=5T2 .在 RtABC 中，AC2=AB2+bC2=100.又AC，CE,ZACE=90°,AC AE ADC ACE 1-= ，AC2=AD?AE.AD AC设 DE为 x,由 AD： DE=4： 1,，AD=4x, AE=5x,.100=4x?5x,，x=75, .DE=75 .Aac2=ad?ae 是点睛：本题主

34、要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出 解题的关键.10.如图，已知 AB 是。O 的直径，点 C, D 在。O 上，BC=6cm,AC=8cm/BAD=45°.点 E在。O外，做直线AE,且/EAC玄D.(1)求证：直线AE是。的切线.(2)求图中阴影部分的面积.B【答案】(1)见解析；(2) 25 504【解析】分析：(1)根据圆周角定理及推论证得/BAE=90,即可得到AE是。的切线;(2)连接OD,用扇形ODA的面积减去4AOD的面积即可.详解：证明：(1) .AB是。的直径，/ ACB=90 ,°即 / BAC+Z ABC=90 , Z EAC玄

35、ADC, / ADC=Z ABC, / EAC玄 ABC ./BAC+/EAC =90, °即 R BAE= 90° 直线AE是。O的切线；(2)连接OD BC=6 AC=8AB、62 82 10OA = 5又 OD = OA/ ADO =/ BAD = 45/ AOD = 90 °SW = S扇形 ODA S AOD90360点睛：此题主要考查了圆周角定理和圆的切线的判定与性质，关键是利用圆周角定理和切 线的判定与性质，结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解，注意数形结合思想的应用11.如图，AB是。的直径，PA是。的切线，点C在。上，CB/ PO.（1）判断PC

36、与。的位置关系，并说明理由；3 一【答案】（1） PC是。的切线，理由见解析；（2） -452【解析】试题分析：（1）要证PC是。的切线，只要连接 OC,再证z PCO=90即可.（2）可以连接AC,根据已知先证明 ACPPCQ再根据勾股定理和相似三角形的性质 求出PC的长.试题解析：（1）结论：PC是。的切线.证明：连接OC . CB/ PO，/POA=/ B, /POC=/ OCB .OC=OB/ OCB=Z BZ POA=Z POC又. OA=OC, OP=OP .APO仁CPO/ OAP=Z OCP.PA是。O的切线/ OAP=90 °/ OCP=90 ° PC是。

37、的切线.（2）连接AC.AB是。的直径ACB=90 （6 分）由（1）知/ PCO=90 , / B=Z OCB=Z POC / ACB=Z PCO .ACBAPCO,BC AC匕七| BC 442点睛：本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与 这点（即为半径），再证垂直即可.同时考查了勾股定理和相似三角形的性质.12.如图，已知。的半径为1, PQ是。的直径，n个相同的正三角形沿 PQ排成一列, 所有正三角形都关于 PQ对称，其中第一个 AiBiCi的顶点Ai与点P重合，第二个 A2B2Q的顶点A2是BiCi与PQ的交点，最后一个 AnBnCn的顶点Bn、Cn

38、在圆上.如图1,当n=i时，正三角形的边长 ai=；如图2,当n=2时，正三角形的边长a2=;如图3,正三角形的边长 an= （用含n的代数式表示）图1图2却【答案】. 38 .3 也g131 3n2【解析】分析：（1）设PQ与B1cl交于点D,连接B1O ,得出ODnAQ-OA，用含a1的代数式表示OD,在AOBiD中，根据勾股定理求出正三角形的边长ai； （2）设PQ与B2 c2交于 点E,连接B2。，得出OE=AiE-OAi,用含a2的代数式表示 OE,在OB2E中，根据勾股 定理求出正三角形的边长 a2； (3)设PQ与BnCn交于点F,连接BnO,得出OF=AF- 0A1,用含an的

39、代数式表示 OF,在4 08口5中，根据勾股定理求出正三角形的边长 an. 本题解析：3易知AB。的高为万,则边长为5 .a1 = 3.(2)设A1B1C1的高为h,则A2O= 1-h,连结B2O,设B2C2与PQ交于点F,则有 OF= 2h 1.2cccc1 C. B2O2=O卢 + B2F2,1= (2h1)2+ -a2.2h =a2, .1=( /3 a2 1)2 + a22,解得a2= 85 .13(3)同(2),连结 BnO,设 BnCn 与 PQ 交于点 F,则有 BnO2= OF2+BnF2,2即 1 = (nh1)2+ 1an.2L2 3,1 2、, 3nan , h = an

40、) 1 = - an + 1,242解得an= *1 .3n2 113.已知P是e O的直径BA延长线上的一个动点，/P的另一边交e O于点C、D,两点1-位于AB的上万，AB =6, OP=m, sin P=-,如图所示.另一个半径为6的e 01经过点C、D,圆心距 OO1= n .(1)当m=6时，求线段 CD的长；(2)设圆心O1在直线AB上方，试用n的代数式表示 m；(3) POQ在点P的运动过程中，是否能成为以OO1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n的值；如果不能，请说明理由.JA【答案】(1)CD=2 . 5 ;(2)m= 3n81 ;(3) n2n的值为一J5或J15【解析】

41、分析：(1)过点。作OH，CD ,垂足为点H ,连接OC .解RtA POH ,得到OH的 长.由勾月定理得 CH的长，再由垂径定理即可得到结论；(2)解RtA POH ,得到OH = m.在RtVOCH和RtA QCH中，由勾股定理即可得到3结论;详解：(1)过点。作OH，CD ,垂足为点HO在弦CD同侧时，同理可得结论.，连接OC .,OH2.(3) POOi成为等腰三角形可分以下几种情况讨论： 当圆心Oi、O在弦CD异侧 时，分OP= OQ和01P= OO1 ,当圆心O1、AB =6, OC=3 .由勾股定理得：CH . 5.OH ± DC , CD 2CH 2而PO= mOH

42、U1(2)在 RtA POH 中，QsinP= , 32在 RtA OCH中，CH2= 9在 RtA OiCH中，CH 2= 36可得：362m 仁n =93m二3n2 812n(3) POOi成为等腰三角形可分以下几种情况:当圆心Oi、O在弦CD异侧时2i) OP= OO1，即 m= n ,由 n=-,解得：n=9 .2n即圆心距等于e O、e Oi的半径的和，就有e O、e O1外切不合题意舍去.m 22 m 2ii) OiP= OOi,由(n )m () =n，,33解得：m= 2n,即 2n =3n81,解得：n= 9JT5.33 2n5一 一 81 3n2当圆心Oi、O在弦CD同侧时

43、，同理可得：m= 8-3.2n2一 8i 3n. 一 9 - POOi是钝角，只能是m n,即n= 01 3n ,解得：n= J5 .2n5综上所述：n的值为9 J5或9 Ji5 .55点睛：本题是圆的综合题.考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形.解 答(3)的关键是要分类讨论.i4.如图，已知 AB是。的直径，P是BA延长线上一点，PC切。O于点C, CD± AB,垂 足为D.(i)求证：/PCA=/ABC;(2)过点A作AE/ PC交。O于点E,交CD于点F,交BC于点M,若/ CAB= 2/B, CF =J3,求阴影部分的面积.【答案】(i)详见解析；(2)63.

44、34(i)如图，连接 OC,利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得/ PCA=/ OCB,利用等量代换可得 / PCA之ABC.(2)先求出4OCA是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC CF=FM,然后分别求出AM、AC、MO、CD的值，分别求出 SA0e、S§形boe、S abm的值，利用Sfe影部分S A0E Su形BOE S ABM ,然后通过计算即可解答【详解】解：（1）证明：连接OC,如图,. PC切。O 于点 C, .-.oc± PC, / PCA+Z ACO=90o,. AB 是。的直径，Z ACB=Z ACO+OCB=90o/ P

45、CA=Z OCB, . OC=OB/. / OBC=Z OCB,Z PCA=Z ABC; ACB 中，/ ACB= 90o, / CAB= 2 / B,./ B= 30o,ZCAB= 60o/. OCA是等边三角形, . CDXAB,.1. / ACD+/ CA4 / CAA Z ABC= 90o, / ACA / B= 30o, 1. PC/ AEJ / PCA=/CAE= 30o,.,. FC=FA, 同理，CF= FM, AM = 2CF=2.73 ,RtA ACM 中，易得 AC=2V3 X =3= OC, 2 / B= /CAE= 30o,.,. /AOC=/COE=60o,/ EOB=60oJ / EAB=Z ABC=30oJ MA=MB, 连接OM,EGL AB交AB于G点，如图所示， . OA=OB,.1-