(完整版)初一数学动点问题例题集

1、初一数学动点问题集锦1、如图，已知ABC中，AB AC 10厘米，BC 8厘米，点D为AB的中点.(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.若点Q的运动速度与点P的运动速度相等, 经过1秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与 CQP全等?(2)若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿 ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在4ABC的哪条边上相遇？解：(1)t 1秒,. BP CQ 3 1 3厘米， AB

2、10厘米，点D为AB的中点，BD 5厘米.又二厘米，PC 8 3 5厘米 PC BC BP, BC 8PC BD1又 AB AC , BPDCQP（4分） Vp Vq. BPCQ又ABPD ACQPC,贝Ij BP PC 4, CQ BD 5 ,.点P,点Q运动的时间tBP3CQ 515t 443厘米/秒.（7分）(2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇,15 x由题意，得43x 2 1080 x 解得 3秒.点P共运动了803 803 厘米.p 8#(3)5 51 分580 2 28 24点P、点Q在AB边上相遇,80经过3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇.(12分)y x 62、直线 4 与

3、坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从 O点出发，同时到达A点，运动停止.点Q沿线段OA运动，速度为每 秒1个单位长度，点P沿路线O B A运动.(1)直接写出A B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，4OPQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式;485时，求出点P的坐标,并直接写出以点0、P、四边形的第四个顶点的坐标.Q为顶点的平行解(1) A (80)B (0,6)(2) Q0A 8,0BAB 108Q点Q由0到A的时间是彳8 t(秒)6 10 2点P的速度是8（单位/秒）当P在线段0B上运动（或0&t&3）时,OQ t, 0P 2tS t2 1 分当P在线段B

4、A上运动（或3 t&8）时，0Qt, AP 6 10 2t 16 2t如图，作PD 0A于点D,PD由B0APAB,得PD48 6tk, 1分S 20Q PD*2 24t（自变量取值范围写对给1分,否则不给分.Il8 24， ，5 5M212 24， ，5 512M3 ,524-53如图，在平面直角坐标系中，直线l: y= 2x8分别与x轴, y轴相交于A, B两点，点P (0, k)是y轴的负半轴上的一个动点， 以P为圆心，3为半径作。P.(1)连结PA,若PA=PB,试判断。P与x轴的位置关系，并说 明理由；(2)当k为何值时，以。P与直线l的两个交点和圆心P为顶点 的三角形是正三

5、角形？，0),55 C2> 第解：(1) OP与x轴相切.;直线y= -2x8与x轴交于A与y轴交于B (0, 8), .OA=4, OB=8.由题意，OP= k, . PB=PA=8+k.在 RtAOP 中，k2+42=(8+k)2 , .k= 3,.OP等于。P的半径， 。P与x轴相切.(2)设。P与直线l交于C, D两点，连 结PC, PD当圆心P在线段OB上时，作PE± CD 于 E.13.PCD 为正三角形，DE=2CD=2 , PD=3,3.3.PE=丁. / AOB= / PEB=90 , / ABO= / PBE,.AOBs/XPEB,33 AO昵即4=W AB

6、 PB 4 5 PB3 15 PB , 2PO BO PB 8 35 2P（0 萼 8）3 15当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得P(0-h 8),3 15 *- k= - 2 8,3 153 15 当k=h8或k=一 三一 8时，以。P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.4 (09哈尔滨) 如图1,在平面直角坐标系中，点 O是坐标原 点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为(一3, 4),点C在x轴的正半轴上，直线 AC交y轴于点M , AB边交y轴 于点H.(1)求直线AC的解析式；(2)连接BM,如图2,动点P从点A出发，沿折线ABC 方向以2个单位/秒的速度向终点 C

7、匀速运动，设 PMB的面积为 S (S? 0),点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式(要 求写出自变量t的取值范围)；(3)在(2)的条件下，当t为何值时，/ MPB与/BCO解:28.(1)过点A傕AELx轴 垂足为E(E图1)A(-3,4) .AE=4 0E=3 aOAzVAEOE1 =5丫四边形 ABCO 为菱形 t*.OC=CB=BA=OA=5 ，C(5,Q) 1分25设直线AC的解析式为炉kx+b匿六方 - 3kM=4b=一直级AC的解析式为=y=-(工+条1分 22lv由得M点坐将为(0,/) 如图1,当P点在AB边上运动时由题意得01M .HM=-，导/BPMH中544

8、,"5=2 分 2 42当P点在BC边上运动时.记为宣7Z0CM=zLBCM co=cb cm=cm/.AOMCABMC ；OM =上M0C=£MRC 划口S/PNBM4-5)年 金肛-今(*W5)知 2分上X££ 一 ，0)设0P与A心相交于点Q连接0B交AC于点KA腔乙ABC .上AOM二EABM“ MPB+ LBC0=90D L BAO/LBCO L BA()+ L AOHW ."MPB=LR0H当P点在AH边上运动时，如图27Z.MPB=rMBJ .PM=HM vMHlPB;PH=HB=2 :PA=AH-PH= 1 /.t=1 vABO

9、C ,£PAQ£OCQ j£AQP£CQO .SAQPsACQO*1*"1 1 分在 RiAAEC 申 AC= VA部+EC? = V4%g=4VT.AQ二竽1如J。*在 RtAOHB 中 0B=V阿丽=V?+4: =2V5vAClOB OK=KB AK=CKttOK=V5" AK=KC=2vT ,:QHQ=4-hE.AQ_=AL_1 ,CQ C0 'S图2.,n£0QC 喷得当P点在BC边上运动时，如图3 :£BIM=£PBM班 £MPB=£MBH，tan L M PB=ta

10、n L M BH ;8P HB.PC=B-BP=5-10 _5由 PC/SAC£L1一 AQ 3冏理可证APQCs 30QACQtJaC:仃?.QK=KC-CQ=vT,xan£OQ1分“AQ AO1分5_ 3 xu BP 2因3.琮上所述，当匕;时，上MPB与EHC0互为余角，直线0P与宜线AC所夹悦角的正切值为:当仁之时，上MPE与£耽0互为余角，直线0P与直线AC所央镜角的正切值为1 65 在 RtAABC 中，/ C=90 , AC = 3, AB =5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿 AC返回； 点Q

11、从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴 随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线 QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动， 点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).(1)当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；(2)在点P从C向A运动的过程中，求 APQ的面积S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)(3)在点E从B向C运动的过程中，四边形 QBED能否成 为直角梯形？若能，求t的值.若不能，请说明理由；(4)当DE经过点C时，请直接写出t的值.8解：（1） 1, 5;（2）作 QFLAC 于点

12、 F,如图 3, AQ = CP= t,ap 3 t.由AQFszABC, bc 西 32 4/日亚工QF -t得 4 5.514S （3 t） -t 25目 S -t2 6t即 55当DE/ QB时，如图4.能.VDEXPQ, /. PQXQB,四边形QBED是直角梯形.此时/ AQP=90 .AQ AP22324(6 t) (5 t)4 一(5 t)5545 t14 6 如图，在 RtABC 中， ACB 90°, B 60。, BC 2 .点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC 重合的位置开始，绕点。作逆时针旋转，交AB边 于点D .过点C作CE / AB交直线l于点E ,设

13、直线 1的旋转角为.(1)当度时，四边形山眈是等腰梯形，此时AD的长为当度时，四边形EDBC是直角梯形，止匕时AD的长(2)当90。时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由.解 (1)30,1;60,1.5;4 分(2)当=900时，四边形EDBC是菱形. /%=/ ACB=900 ,BC/ED. CE/AB, 四边形 EDBC 是平行四边形.6分在 RtAABC 中，/ ACB=900, / B=600,BC=2,. / A=300.AB=4,AC=2 3.ao=2ac=6 .8分在 RtAOD 中，/A=300, /. AD=2.BD=2.BD=BC.又四边形EDBC是平行四边形，四

14、边 形 EDBC 是 菱形10分7 如 图， 在 梯 形 ABCD 中AD / BC, AD 3, DC 5, AB 4叵 / B 45 .动 点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长 度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出 发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终 点D运动.设运动的时间为t秒.(1)求BC的长.(2)当MN / AB时，求t的值.(3)试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形.解：(1)如图，过A、D分别作AK BC于K, DH BC于H ,则四边形ADHK是矩形KH AD 3. 1 分AK ABgsin45BK ABgsos45在RtzXCDH中，由勾股定理得,HC .

15、52 423在 RtAABK 中,BC BK KH HC 4 3 3 10 3 分(2)如图，过D作DG / AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形MN / ABMN / DGBG AD 3GC 10 3 7 4 分由题意知，当M、N运动到t秒时，CN t, CM 10 2t.DG / MN/NMC /DGC又 /C / CAMNC sGDCCN CM.CD CG 5 分t_ 10 2t即57t 50解得， 17 6分(3)分三种情况讨论：当NC MC时，如图，即t 10 2t10（图）当MN NC时，如图，过N作NE MC于E解法一:EC MC 10 2t 5 t由等腰三角形三线合一

16、性质得22EC 5 t cosc 在 RtzXCEN 中，NC tCH 3 cosc 一又在 RtzXDHC 中，CD 55 t 3 t 5t型 解得 88分解法二：./C /C, DHC NEC 90NECsDHCNC ECDC HC5 t即53t 258 8 分FC - NC -t当MN MC时，如图，过M作MF CN于F点.22解法一：(方法同中解法一)It cosC 或3 MC 10 2t 5t 60解得 17解法二：/C /C, MFC DHC 90AMFC s/XDHCFC MC1t2即310 2tt 6017t 3综上所述，当 3、6017时，ZXMNC为等腰三角形9HC DC8

17、如图1,在等腰梯形ABCD中，ADBC, E是AB的中点，过点E 作 EF / BC 交 CD 于点 F . AB 4, BC 6 , / B 60 .(1)求点E到BC的距离；(2)点P为线段EF上的一个动点，过P作PM EF交BC于点M , 过M作MN / AB交折线ADC于点N,连结pN，设Ep x.当点N在线段AD上时（如图2） , PMN的形状是否发生改变?若不变，求出4PMN的周长；若改变，请说明理由;当点N在线段DC上时（如图3）,是否存在点P,使4PMN为等腰三角形？若存在,请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.图1AEN DM 图2图3BC图4 （备用）图5 （备

18、用）BC解(1)如图1,过点E作EG BC于点G.1分E为AB的中点，1BE AB 2.：.2在 RtzXEBG 中，/B 60,. /BEG 30.2 分BG 1BE 1, EG . 22 12、,3.2图1C即点E到BC的距离为向 3分(2)当点N在线段AD上运动时，APMN的形状不发生改变.一PM EF, EG EF, PM / EG.EF / BC, EP GM , PM EG 瓜同理MN AB 4.4分如图 2,过点 P 作 PH MN 于 H , . MN /AB,/NMC ZB 60 , /PMH 30 .ph 2 PM 学3MH PM gsos303 5NH MN MH 4 -

19、2 2PN在RtAPNH中NH 2 PH 2ZPMN的周长=PM PN MN 也折4. 6分当点N在线段DC上运动时，APMN的形状发生改变，但MNC 恒为等边三角形.当PM PN时，如图3,作 PR MN 于 r ,贝|J MRNR.3MR -类似，2. MN 2MR 3. 7 分AMNC是等边三角形,MC MN 3.此时，x EP GMBCBG MC 6 1 3 2. 8 分图3ADPEGM图4N当MPMN时,如图4,这时 MC MN MP .3.此时,x EPGM 6 1当NPNM时,如图5,/NPM /PMN 30 .贝Ij/PMN 120,又/MNC/PNM /MNC 180.因此点

20、P与F重合，PMC为直角三角形.MC PM gtan30 1.此时，xEP GM 6 114.综上所述,5 "时，PHN为等腰三角形.109如图,正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0, 10）(8, 4),点C在第一象限.动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A-B-C-D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x (长度单位)关于 运动时间t (秒)的函数图象如图所示，请写出点 Q开始运动时的 坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在(1)

21、中当t为何值时， OPQ的面积最大，并求此时P点 的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点 P沿A-B-C-D匀速 运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若 不能，请说明理由.解：(1) Q (1, 0)1 分点P运动速度每秒钟1个单位长度.2分(2) 过点B作BF±y轴于点F , BE，x轴于点E ,则BF =8,OF BE 4 AF 10 4 6在 RtAFB 中，AB 6 10过点C作CG，x轴于点G,与FB的延长线交于第ABC 90 , AB BCABF二 BCH.D3分CHFN Q E G xBH AF 6, CH BF 8OG FH 8 6 1

22、4,CG 8 4 12所求C点的坐标为(14, 12).(3) 过点P作PMy轴于点M, PNx轴于点n,则APMsZabf .AP AM MPAB AFBF£10AM MP683_4AM 3t, PM -t55PN OM 103 一3t, ON 54PM -t5设 OPQ的面积为(平方单位)c 1 ” 347, 3 ,2S (10t)(1 t) 5 t t251010(0«W10说明:未注明自变量的取值范围不扣分.473 a10 <0476时， OPQ的面积最大.69453此时P的坐标为(诬，而).7分5295.t , t ，,.(4) 当 3或 13时，OP与PQ

23、相等.9分10数学课上，张老师出示了问题：如图 1,四边形ABCD是正 方形，点E是边BC的中点.AEF 900 ,且ef交正方形外角 DCG 的平行线CF于点F,求证：AE=EF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB的中点M, 连接 ME,则 AM=EC ,易证 AAME=AECF ,所以 AE EF .在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1)小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为 “点E是边BC上(除B, C外)的任意一点”，其它条件不变，那 么结论"AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确， 写出证明过程；如果不正确，请说明理由；(2)小

24、华提出：如图3,点E是BC的延长线上(除C点外) 的任意一点，其他条件不变，结论" AE=EF”仍然成立.你认为小华 的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.22解：（1）正确. （1分）证明：在AB上取一点M ,使AM EC,连接BM BEBME45AME 135FMB E C GC2-#1DQCF是外角平分线,DCF45ECF135AMEECFQ AEBBAE 90°AEBCEF 90BAECEF AME ABCF （ASA）.（5分）AE EF（6分）（2）正确.（7分）31证明：在BA的延长线上取一点N .使AN（8分）BNBEPCE 45Q四

25、边形ABCD是正方形，AD / BE .DAE BEA .NAE CEF ANEAECF （ASA）.（10 分）AE EF（11 分）11已知一个直角三角形纸片0AB ,其中 AOB 90。，0A 2, 0B 4 .如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中， 折叠该纸片，折痕与边0B交于点C ,与边AB交于点D .(I )若折叠后使点B与点A重合，半点C的坐标；B .O A(H)若折叠后点B落在边0A上的点为B ,设OB X, 0c y.试写出y关于X的函数解析式，并确定y叫取值范围;B ,(田)若折叠后点B落在边0A上的点为B ,且使BD/0B,求此 时点C的坐标.解(I )如图，折叠后点B与

26、点A贝U ACD04BCD设点c的坐标为0，m m 0则 BC OB OC 4 m.于是 AC BC 4 m.在RtzXAOC中，由勾股定理，得AC2 OC2 OA2,22,2m 3即4 m m 2 y x 2即 86分由点B在边0A上，有0&XW 2,1v2 2 ,解析式 80WX2为所求.Q当。&x&2时，y随x的增大而减小, ,解得m 2.。,一,< y < 2y的取值范围为2.7分(田)如图，折叠后点B落在。A边上的点为B ,且BD/OB.贝（J OCB CB D又Q CBD CB D, OCB CBD ,有 CB / BA点C的坐标为 2 . 4分(n )如图，折叠后点B落在OA边上的点为B , 贝U zBCD ABCD .由题设OB % OC y,贝Ij B C BC OB OC 4 y ,在RtBOC中，由勾股定理，得BC2 OC2 OB2/2224 y y xRtACOB s RtABOAOB OC有 OA OB ,得 OC 2OB .9 分在 RtAB OC 中，设 OB Xo x 0 则 OC 2xo2x0 x o 2由（n）的结论，得 08 0,解得 xo 8 4忐Q xo 0, xo 8 475图（1）点c的坐标为o码16 . 1。