2018年高中数学微专题复习合辑(可编辑)

1、专题复习(一)数列65(一)知识梳理1、等差数列(其中m,n,p,q, k N )(1) 等差数列的通项公式：an a1 (n 1)d推广形式：an am (n m)d(2) 等差数列的前n项和公式：Sn n(a1 an) na1 n(n 1)d22a c (3) a, b, c成等差数列2b a c或b 2(4) 已知an为等差数列，若 m n p q,则am an ap aq.特别地，若m n 2k ,则am an 2ak.(5) 若an为等差数列，前n项和为则Sn , S2n Sn, S3n S?n ,也成等差数列.(6) 等差数列的判定：定义法：an 1 an d (常数)数列an为等

2、差数列等差中项法：2an an 1 an 1 数列an为等差数列.(7) 等差数列前n项和Sn na1 n(n 1)d ,则使Sn最大(或最小)的序号 n的求法:2方法一：前n项和公式可以写成 Sn dn2 (a1 d)n , 22因此可以利用二次函数来求n的值；an 0方法二：当a1 0, d 0时，前n项和有最大值，由求得n的值；an 10an 0当a10, d 0时，前n项和有最小值，由 n 求得n的值.an 102、等比数列(其中m,n, p,q, k N )(1)等比数列的通项公式：an a1qn 1推广形式：an amqn m(2)等比数列的前n项和公式：Snna1，qn、一a1(

3、1 q )亘1 q*q1 q,q(3) a, b, c成等比数列b2 ac或bVac(4)已知 an为等比数列，若 m n p q,则amgan apgaq.2特别地，右 m n 2k ,则amgan ak.(5)若an为等比数列，前n项和为Sn,则Sn, S2nSn, S3nS2n,也成等比数列(6)等比数列的判定:定义法：a_1 q (常数)an数列an为等比数列等比中项法：a： an igan 1数列an为等比数列3、求数列通项公式的常用方法(1)已知数列an的前n项和Sn_ 22n n 1,求数列 an的通项公式S,n 1 分析：可以利用公式 an进行求解.2(n 1)2 (n 1)

4、1nSn Sni,n 2解：当 n 2时，an Sn Sn 1 2n2 n 1_2_2-2n n 1 (2n 4n 2 n 1 1)_ 2_ 2_2n2 n 1 2n2 3n 24n 1 当n 1时，a S 4不适合式4,n 1数列an的通项公式为an4n 1,n 2(2)已知数列 an的前n项和Sn 2an 3,求数列 an的通项公式S.n 1分析：可以利用公式 anJ'进行求解.nSn Sn1,n 2解：当 n 2时，anSnSn 12an 3(2an 13)2an2an1an2an 1 即g-2(n 2)an 1当 n 1 时，a1 S1 2al 3a13n 1 ，数列an是首项

5、为 3,公比为2的等比数列.an3 2 (n N )(3)已知数列 an中，ai 1,且ani an 2n,求数列 为的通项公式.分析：形如an i anf(n)可以利用累加法进行求解解：Q an 1 an2na2 a12a3 a22a4 a32n 1 /an an 1 2 (n 2)2 (1 2n 1)-将以上各式累加，得 an a12 22 23L 2n 12 ()2n 21 2an 2n 2 12n 1(n 2) 显然a1 1适合式数列an的通项公式为an 2n 1(n N )(4)已知数列 an中，a11,且引ann,求数列 4的通项公式.n 1a分析：形如 f(n)可以利用累乘法进行

6、求解an解：Q a_L。ann 1a21a12a32a23a43a34an 1 n将以上各式累乘，得a2gaga4L al a2 a3anan 11 2 3lU,即电2 3 4 n a1n1 ，C、_"，< 人、an (n 2) 显然a1 1适合式n, 一一，1 ,一数列an的通项公式为an (n N )n(5)已知数列 an中，a11 ,且an 1 2an 3,求数列an的通项公式分析：形如an 1 man k可以通过构造一个等比数列an p进行求解.解：Q an 1 2an 3 设 an 1P 2(an p)即 an1 2an p P 3an 1 3 2(an 3)an 3

7、又 Q a1 3 1 3 4数列an是首项为4,公比为2的等比数列.n 1an 3 4 2ann 123(n N(6)已知数列 an中,a11,a anan2an 1an的通项公式.分析：通过取倒数进行求解解：Q an 1an2an 1两边取倒数,/曰 1得一 an2anananan 1工2 an而工a1数列是首项为1,公差为2的等差数列.(n 1)an2 2n 11an"2n 1(n N )求数列通项公式练习题(1)已知数列an的前n项和Sn3n2n ,求数列an的通项公式.(2)已知数列an的前n项和Sn3an4,求数列an的通项公式.(3)已知数列an中,ai1,an 1an

8、2n,求数列an的通项公式.(4)已知数列an中,1,an 1anan的通项公式.(5)已知数列an中,a11,且an4an 1 3(n2),求数列an的通项公式.(6)已知数列an中,a11,且anan1(n3an 1 12)，求数列an的通项公式.4、数列求和的常用方法<1>分组求和法：就是将数列的项分成二项，而这两项往往是常数或是等差（比）数列，进而利用等差数列或等比数列的求和方法分别求和，然后再合并，从而得到该数列的和例题：若数列 an的通项公式为an2n 2n,求数列 an的前n项和Sn.解：Sn a1 a2 a3 L an2121 222 2232 3 L 2n 2n(

9、21 22 23 L 2n) 2(1 2 3 L n)2(12n) 2n(1n)1 222n 1 2 n(n 1)<2>裂项相消法：将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和一次因式的乘积.的目的.适用范围：通项公式是一个分式的形式，并且分母是两个常见裂项公式:1n(n 1)(2n 1)(2n 1)12n 1)11一(2 2n 1n(n k)例题：已知数列 an的通项公式为ann(n,求数列2）an的前n项和Tn.解：Q an n(n2)2)3)(21) (1 1)43 5（六1) n（；)(1 n12(11n 2)23n 5n4(n 1)(n 2)&

10、lt;3>错位相减法：列出前 n项和乘公比错位相减整理得到前n项和的值适用范围：适用于 an是等差数列,bn是等比数列，求数列 an*n的前n项和Tn .例题：已知数列an的通项公式为解：QTn12 1221221231231242Tn1122 231，一，一an ng2n ,求数列 an的刖n项和Tn.L (n 1)g21T ng2nL (n 1)g1T ng21T 1 1、112(1 2n)1>1才 ng2F7 1 ng2 1 21 2n2n 1n 22n 1Tn（二）历年高考真题训练1、（2011年高考全国卷I ）等比数列an的各项均为正数，且2a1 3a2 1 , a3 9

11、a2a6.（i）求数列 an的通项公式;(n)设 bnlog 3 a1 log3 a2 . log 3 an,求数列1 ， 一 一 的刖n项和 bn2、（2014年高考全国卷I）已知数列an的前n项和为Sn ,a 二 1 ,an0 ,3n3n 1Sn1,其中为常数.（I）证明：an 2 an;（n）是否存在 ，使得 an为等差数列？并说明理由 .3、（2014年高考全国卷n）已知数列斗 满足 a1二1, an 1 3an 1.1 an的通项公式;(I)证明 an 1是等比数列，并求2一 1113(n)证明,'l3.aa2an23.24、(2015年局考全国卷I)Sn为数列an的前n项和

12、，已知an 0, an 2an=4 Sn(i)求 an的通项公式；(n)设bn -一,求数列 bn的前n项和.anan 15、(2016年高考全国卷出)已知数列a 的前n项和Sn 1an,其中 0(I)证明 an是等比数列，并求其通项公式;31(n)若 S5 3-,求32历年高考真题训练参考答案1、解：（I）设数列 an的公比为q,由a3 9a2% ,得比 9“2 a, -2 a3(n )bnbn1 bl由已知可得an0,故q由 2al 3a2 1 ,得 2al数列log 3 ai2 n(nb21数列 bn3aqaian的通项公式为an知，anlog3 a21)1bn1(1)n31313n 1

13、3n.log 3 anlog313 (1 2 n(n,1,log3T2 L31)n)2(- n(12nn 1的前n项和为2、解：（i）证明：当 n 2时,2nn 1anan 1an 1an13)1(一nS：二-，得anan 1an冏Q an0an 1an 1，即 an 2 anan an 1an 1an理由如下：假设存在，使得an为等差数列，则有2a2 a1+a3由已知有 a1=l, a1a2S1 1a2由（i）知，a3an 2On数列a2 n 1 是首项为1,公差为4的等差数歹U,a2n 11 (n 1) 4 4n 3=2(2 n 1) 1数列a2 n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n3

14、 (n 1) 4 4n 1=2 (2n) 1对于任意的n Nan 2n1 又 Qan1 an数列an是首项为1,公差为2的等差数列.假设成立，故存在4使得数列an为等差数列.3、解：（I ）（法一）证明:Q an 13an设an 13(an（法二）证明:anan又Q a1数列an数列Q an 1an 1an数列3ananan3(an2 =1an 1an 2是首项为3的等比数列.n30n 13一3122的通项公式为3an1212an3an 1 121an 2an是首项为3(4 2)1 an 23的等比数列.(n )证明：由（3na1a14、解:(n )5、解:an数列1 3na?a2(I)当 n

15、Q a2an1时,313n322的通项公式为3n 123n1ananan30 13n 13n113nananJ .1 + + 右 +L3 323n 13n 12223n 1223n 113n 12 _一 一 一a1 2a1 4S1 3 4a1 +32an=4Sn 32时,2an 1 2an 1=4 Sn 1322-，仔 an 2an (an 1 2an 1) 4an(anan1 )( anan 1)2( anan 1 )Q an数列an由（I）知,anbnan an 1=2是首项为3,公差为(n 1)2 2n 1.anan 1(2n 1)(2n数列bn前n项和为:b1b2Lbn（I ）由题意得

16、 a11 1-(2 3S115）(5a17）a111(1 厘)3a12的等差数列3或a111(一3)2 2n31-(1)23n12n 3)2n 31 （舍去）1 1)(一2 32n 3n6n 9Q Sn2 时，Sn1 1an 1，得ananan(1)an 1由ai0,0得anan 1an-，、口，1数列an是首项为1,公比为的等比数列11an 一1(-)5(n )由(i)得 sn31由S 得132()n1 1 ()n113132即()51,解得321.专题复习（二）三角函数（一）知识梳理1、角度制与弧度制的互化1o rad180d 人 1801rad0.01745rado57.30°

17、弧度制R2弧长l_ 、一一一 1扇形面积S= 21(为弧度)-1R22、扇形公式弧长l U（n为角度）角度制180 2扇形面积S=n-R-360sinJ2 cos sin2cos21 cos,12 sin（其中“ ”由所在象限确定）sin3、同角三角函数恒等式tan cos1cos,2推论1 tan（其中“”由所在象限确定）tansin、2-1 tan2sin( 2k ) sinsin() sin公式一 cos（ 2 k ） cos 公式二cos() costan( 2k ) tantan()tansin( ) sinsin()sin公式三 cos（ ） cos公式四cos() costan(

18、 ) tantan() tan4、诱导公式sin( 一 ) cossin(-)cos公式五2公式六2cos(一 ) sin 2cos(2) sin. ,3sin()cos建 sin() cos推论12推论223cos() sin23 cos(2)sincos() cos cos sin sincos() cos cos sin sin .sin() sin cos cos sin .正余余正号相同5、差（和）角公式 sin() sin cos cos sin,、 tan tantan()1 tan tantan tantan()1 tan tancos22cos2 sin6、二倍角公式（倍角公

19、式）ccoO1 2sin2- 2 sin1 cos22cos222cos12cos1 cos22tan22 tan1 tan2absin A sin Bcsin C2R（M ABC外接圆的半径）a 2RsinA,b 2Rsin B,c 2Rsin C7、正弦定理及推论absin A , sin B , sin C 2R2Rc2Ra : b: c sin A:sin B: sinCa sin A asin Absin B2 a,b sin B csinC 'csinCb222c a2bc22b c 2bc cosAcosA8、余弦定理及推论b2a2 c2 2accosBcosB2 a22

20、c b2ac2 c2 a22b c2, 2a b 2ab cosCcosC2abSa ah（a为底，h为高）9、三角形面积公式S1-r（a b c）（r为ABC内切圆的半径）11S= - absin C 一 22acsin B1-bcsin A 210、求最小正周期的公式y Asin( x y Acos( x)k【)k）最小正周期为T=、y Atan( x）k的最小正周期为T =sin 2 2sin cossin cossin 2 211、正弦函数y=sinx(1定义域：R ,值域：11在 一+2k , 2k ,k Z单调递增;22(2)单调性在 +2k ,3- 2k ,k Z单调递减. 22

21、当且仅当 x= 2k (k Z)时，ymax 1;最值 2当且仅当 x=-, 2k (k Z)时，ymin1.周期性：周期为2k (k Z且k 0),最小正周期为2 (5)奇偶性：y sinx为R上的奇函数.(6)对称性为轴对称图形，对称轴为x=- 为中心对称图形，对称中心为(k ,k Z;k ,0), k 乙尸二皿乐K(1定义域：R ,值域：1,1在 +2k ,2k(2)单调性在 2k , 2k,k Z单调递增;,k Z单调递减.曰/士当且仅当x=2k (k(3)最值r r12、余弦函数y=cosx当且仅当x= 2kZ)时，ymax1；(k Z)时，ymin1.(4)周期性：周期为2k (k

22、 Z且k0),最小正周期为2奇偶性：y cos以R上的偶函数.(6)对称性为轴对称图形，对称轴为x=k ,k Z;为中心对称图形，对称中心为(一+k ,0), k Z.2周期:(5)对称性， k是中心对称图形，对称中心为(,0), k乙14、简谐运动y Asin( x )相位:初相:f= 1 一T 2 x+ x=0时的相位(其中A 0,0, x0,15、三角恒等变换之辅助角公式(其中a 0) asinx bcosa2b2 sin()(其中tan a sinx b cos' a2 b2 cos()(其中tan-) aab)(1定义域：x|x - k ,k Z ，值域：R2(2)单调性：在

23、开区间(-+k， k ),k Z单调递增. 2213、正切函数y=tanx (3)周期性：周期为k (k Z且k 0),最小正周期为.(4)奇偶性：y tan x为奇函数.不是轴对称图形；t=2辅助角公式的证明如下:证明：asin x+bcosx= a2b2 (a一:sin、a2 b2+ -.- cosa2b2x),b=cos ,a2b2=sin贝U asin x+bcosx= a2b2 (sinxcos +cos xsin )= Ja2b2 sin( x+ )(其中btan =)a令 ,aa2 b2b=sin ,Ja2b2=cos ，贝Uasin x +bcosx= a2 b2 (sinXs

24、in+cosXcos)注：其中 的大小可以由= a2 b2 cos(x-),(其中tansin 、cos的符号确定b 一的象限，再由tan的值求出；或由tan 二一和a（a,b）所在的象限来确定.例：化简 y 3sin 2xcos2x.法一：逆用差（和）角公式y .3sin2x cos2x、32(sin2x21-、-cos2x) 22(sin 2xcos cos2xsin ) 2sin(2 x 一)法666二：应用辅助角公式y . 3sin2x cos2x2sin(2x -)（其中tan（二）考点剖析考点一：正、余弦定理，三角形面积公式的应用例 1:在4ABC 中，C = 2B,祟=4AC 3

25、求cos B;（2）若 BC=3,求 Sabc.解：（1）由C=2B和正弦定理得6)ACsin C= 2sin Bcos B = 2 Asin C cos BAB 2- cos B=2AC=3(2)设 AC=3x,则 AB = 4x.由余弦定理得(3x)2=(4x)2+322X4xX3cos B,即 9x2=、16x2+916x 7x216x+9=0解得x=91 或 x= 一7当 x=1 时，AC = 3,AB = 4S”BC=1BA 汨Cxsin 3 =1刈>3耳=24223当 x=7 时，ac=27,36AB=y1J 365 18 -Sa abc = 2BA >BC Kin B

26、= 2*7 X3 ><3=5考点二：利用正、余弦定理判断三角形的形状例 2:在 4ABC 中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，且 2asin A= (2b+ c)sin B+(2c+ b)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin B + sin C= 1,试判断 ABC的形状.解：(1)Q 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C由正弦定理得 2a2= (2b+c)b+(2c+ b)c,即 a2= b2+c2+bc由余弦定理得 a2= b2+ c2 2bccos A1-2bccos A bc cos A 一又 Q 0 A2(2)由得

27、sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C又Q sin B+sin C= 1 一 一 1sin B= sin C =-2又Q0 B ,0 C 22考点三：三角恒等变换之辅助角公式：B = C ABC是等腰三角形.a sin xbcos x 07b2 sin( x )(其中 tan -) a例3:已知函数f (x)22sin xcosx 2cos x, x R(1)求f(x)的最小正周期及最大值;(2)求函数f(x)的单调递增区间； (3)若x 0,求函数f(x)的值域2解：f (x) 2sin xcosx 2cos2 x sin2x cos2x 1 2sin(2x ) 142-(

28、2)由一2k2得3r k(1) f(x)的最小正周期为T ，最大值为f(x)max J2 1.2x 2k , k Z4 2x k ,k 8函数f(x)的单调递增区间为3 k , k ,k Z88(3)Q0x 2x -)1.2 14244 4一 sin(2x -) 10,2sin(2x24函数f(x)的值域为 0,J2 1即时训练：已知函数 y (sin x cosx)2 2、,3cos2x3 , x R(1)求函数f(x)的最小正周期、最小值及单调递减区间；(2)当0 x 一时，求函数f(x)的值域.2(三)历年高题真题训练1、( 2012年高考全国卷I)已知a,b,c分别为 ABC的三个内角

29、A, B,C的对边，acosC x 3a sin C b c 0.(I)求 A;(n)若a 2, ABC的面积为J3 ,求b, c.2、（2013 年高考全国卷 I ）如图，在 ABC 中，Z ABC = 90 °, AB = J3 , BC = 1,P 为 ABC 内一点，/ BPC=90 °.（I ）若 PB = 1 ,求 PA;2（口）若/ APB = 150°,求 tan / PBA.3、(2013年高考全国卷n) ABC在内角 A、B、C的对边分别为 a, b, c,已知a=bcosC+csinB。(I)求 B;(n )若b=2 ,求 ABC面积的最大值

30、。4、(2015年高考全国卷n) ABC中，D是BC上的点，AD平分/ BAC , ABD面积是 ADC面积的2倍.sin / Bsin / C'2 -1()若AD = 1, DC=求BD和AC的长.5、( 2016年高考全国卷I ) VABC的内角A , B , C的对边分别别为a , b , c,已知2cosc(a cos B+b cos A) c.(I )求 c；(n )若c J7,VABC的面积为33 ,求VABC的周长.22a6、(2017年高考全国卷I ) 4ABC的内角A,B,C的对边分别为 a, b, c,已知 ABC的面积为 3sin A(I )求 sinBsinC;

31、(n)若 6cosBcosC=1 , a=3,求 ABC 的周长 .7、(2017年高考全国卷n)ABC的内角A B、C所对的边分别为a,b,c ,B已知 sin A C 8sin , 2(i)求 cosB ；(n)若a c 6 , ABC的面积为2 ,求b .8、(2017年高考全国卷出)ABC的内角A B、C所对的边分别为a,b,c ,已知 sin A 73 cos A 0, a 2 耳,b 2 .(i)求 c；(n)设D为BC边上一点，且 AD LAC,求 ABD的面积.历年高题真题训练1、解：（I）由正弦定理得:acosC 3asinC b c 0sin AcosC3sinAsinC

32、sinB sinCsin AcosC3sin AsinCsin AcosC3sin AsinCsin(A C)sin AcosCsinCcosAsinCsinC3sin Asin C cosAsinC sinC 3sin A cosA 12sin(A 6)11sin(A 6) 2又Q0 A- A -666A A 6 63(n)由(i)知， A 一 3bcsin 一23bc 4由余弦定理，得：即 22 b2 c2 22, 22a b c 2bc cos 31224 b2 c2 82bc 4b22、解：(I) QBPC90o,PB2，BC 1BCPo30PBCo60PBA 90o 60oo30在

33、PBA中，由余弦定理得:_2_22_PA AB PB 2ABoPBcos30PCB在VPBC中，由正弦定理得PBsinBCsin90oPBsin4在VPBA中，由正弦定理得ABsin150oPB sin(30osin150化简彳导,3 cos 4sintantan3、解：(I) Q a=bcosC+csinB由正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinCsinBsin(B+C)=sinBcosC+sinCsinBsinBcosC+cosBsinC= sinBcosC+sinCsinBcosBsinC= sinCsinB又Q sinC>0cosB=sinB又Q 0VB<180oB

34、=45 o(n)由b=2及余弦定理可得:b2 a2 c 2accos45o 2ac 、2acac 2(2 J2),当且仅当a c等号成立.c 1. rS acsin B22(2.2)呈、,5 12sinsin(30 )PBA J4 ABC面积的最大值为 <2 1.-14、解：(I) Sabd = 2AB AD sin Z BAD ,-1Sadc = ?AC AD sin / CAD .Q Sa ABD = 2s*DC, / BAD = / CADSVABDSVADCABAC2 AB 2AC由正弦定理可得:sin / B AC 1sin/C =Ab = 2.（n） q SVABD-BDSv

35、ADCDC2 , DC =乎BD = V2在ABD和ADC中，由余弦定理得： AB2=AD2+ BD2-2AD BDcos/ADB, AC2=AD2+ DC2-2AD DCcos/ADC.AB 2+ 2AC2= 3AD 2+ BD2+ 2DC2= 6.由（I ）知 AB = 2AC AC= 1.5、解：（I） Q 2cosC acosB bcosA c由正弦定理得:2cosC sin A cosB sin B cos A sin C2cosC sin A B sinC2cosC sinC sinC1又Q sinC 02cosC 1 cosC 一2一 _ a又 ; C 0,兀 . C 3（n）由

36、（i）知，c -3S 2absin C1 ,33 ,3 3ab ab 2242ab 6由余弦定理得:22,2c a b 2ab cosC即7 a2 b2 2 6 1 a2 b2 13222a ba2 b2 2ab 13 2 6 25又Qa b 0 a b 5 .ABC 的周长为 a b c 5 J7.6、解：（I ）由题意可得 S abc1a2_2-bcsin A ,化简可得 2a 3bcsin A ,23sin A222由正弦th理得：2sin A 3sin BsinCsin A sin BsinC 一.32_1（n）由（I）得 sin BsinC - cosBcosC 一 36: A B

37、CTt:cos A cos 7tBecos BC sin B sinC1 cos BcosC 一2又：A 0,Tt60sinA-3八1 cosA -2由余弦定理得222bccosA b cbc由正弦定理得a .一 sinsin AB,ac sin Csin A2 , a bc 2 sin Asin Bsin C由得b c 33 ABC7、解：（I）由题设及A B的周长为333.，2 B得 sin B 8sin -2()由1 cosB sin B 8 2上式两边平方，整理得15斛得 cosB= 17_15,口一cosB=得 sin B171S abc -acsin B2由余弦定理及b222a c

38、(a+c)236 28、解：（4( 1 cosB)217cos B-32cosB+15=0,cosB = 1 (舍去)1b4 ac 2172ac cos B2ac(1 cosB)1715(1)17I) sin A,3 cos A 0 A由余弦定理可得b2即(2 . 7)222整理可得c22c 24a 2",81717 ac 一 2，tan A , 32c2bc cos A1(2)解得c 4或cB6 （舍去）.cosC2ab(2,7)2 22422,1 72 2-7 27又Q 0 CsinC .1 cos2C ,1 (2_J)2 -21sin C tan C - cosC.21王立2.

39、727在 RtVACD中， tanC 但 9, AC 2 AD 73AC 2Svacd -AC AD - 2.3.322又 Q SVABc - AB AC sin BAC -423 2.3 222SvABDSv ABCSv ADC23 .33.专题复习(三) 一一立体几何(一) 知识梳理1 .多面体的结构特征棱柱底面：互相平行侧面：都是四边形，且每相邻两个侧面的公共边都平行且相等(2)棱锥底面：是多边形侧面：都是有一个公共顶点的三角形(3)棱台：棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面之间的部分.2 .旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形一条直角边所在的直线

40、圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线3 .直观图(1)画法：常用斜二测画法.(2)规则：原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x'轴，y轴的夹角为45°（或135°）, z轴与x轴和y轴所在平面垂直.原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.平行于 x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于 y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.4 .三视图（1）几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.（2）三视图的画法基本要求：长对正，高平齐，宽相等.画法规则：正侧一样高，

41、正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线.6.空间几何体的表面积与体积公式几卷?表面积体积柱体（棱柱和圆柱）S表面积=S侧+ 2s底V= S 底 h锥体（棱锥和圆锥）S表面积=S侧+S底1VfS底 h3台体（棱台和圆台）S表面积=S侧+ S上+ S下V=；（S 上+ S 下+4s± S下）h球S= 4 兀 R2V=：tR3 37 .几个与球有关的切、接常用结论正方体的棱长为a,球的半径为R,正方体的外接球，则2R= V3a；正方体的内切球，则2R= a；球与正方体的各棱相切，则2R= 2a.（2）长方体的同一顶点的三条棱长分别为a, b, c,外接球的半径为 R,则2R= a2+b2

42、+c2.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3 ： 1.8 .平面的基本性质(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.(2)公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线(4)公理2的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.9 .空间中两直线的位置关系平行共面直线位置关系的分类相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角定义：设a, b是两条异面直线，经过空间任

43、一点O作直线a 7/ a, b/b,把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成白角(或夹角).范围：0, 2(3)平行公理和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.10.空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系图形语言何语日公共点相交1a Cl a= A1个直线 与中回平行4/ /口a/ a0个在平卸内7a? a无数个平囿与平平行/ / / /a/ 30个面相交aCl 3= l无数个11.直线与平面平行的判定与性质判定性质13.直线与平面垂直的判定与性质图形条件结论判 士 7En2anZ21a±b, b? a （b为a内的任意直线）a± aLaa± m , a± n, m、n? a, m An = Oa± afezLi ha " b, a± ab _L a:11/性 质LaL_a_L a, b? aa± ba ba_L a, b_L aa / b_u14.平面与平面垂直的判定与性质文字语百图形语言何语日判士 7E如果一个平囿经过另一个 平面的一条垂线，那么这两 个平向互相垂直ZJ卜 夕1? 3? a_L 311 a性 质如果两个平囿