第四章谐振子

1、第四章第四章 谐振子谐振子4.1 微分方程的幂级数解微分方程的幂级数解)10. 2(02222Emdxd) 1 . 4(0)()( 2xycxy辅助方程辅助方程icscs022当辅助方程的根是纯虚数时，得到的三角函数形式的解：当辅助方程的根是纯虚数时，得到的三角函数形式的解：) 2 . 4()sin()cos(cxBcxAy4.1 微分方程的幂级数解微分方程的幂级数解) 3 . 4()sin(ecxDyyxyxyxsincoscossin)sin(两和的正弦公式两和的正弦公式 用幂级数法解用幂级数法解（4.1），假设解可在），假设解可在 附近用台劳附近用台劳级数展开，即级数展开，即) 4 .

2、4()(3322100 xaxaxaaxaxynnn 将（将（4.4）微分，得，）微分，得，) 5 . 4(32)( 112321nnnxnaxaxaaxy0 x4.1 微分方程的幂级数微分方程的幂级数) 6 . 4() 1() 2( 32)( 2232nnnxannxaaxy将（将（4.4）和（）和（4.6）代入（）代入（4.1），得，），得，)7 . 4(0) 1(2022nnnnnnxacxann 合并（合并（4.7）中的两个和，）中的两个和，)8 . 4()(000jjjjjjjjjjxcbxcxb 可将（可将（4.8）用于（）用于（4.7），所以需将（），所以需将（4.7）中第一项的

3、求）中第一项的求和指标做一次变换，令和指标做一次变换，令2 kn4.1 微分方程的幂级数微分方程的幂级数)10. 4() 1)(2() 1()9 . 4() 1)(2() 1(02220222nnnnnnkkknnnxannxannxakkxann 因为求和指标是哑变量，所以用什么字母来表示此变因为求和指标是哑变量，所以用什么字母来表示此变量并无什么不同。量并无什么不同。 将（将（4.10）代入（）代入（4.7）中，在求和得，）中，在求和得，)13. 4(0) 1)(2(022nnnnxacann 若（若（4.134.13）对所有的）对所有的 值是正确的，那么每一幂次值是正确的，那么每一幂次的

4、的 的系数必为零。如，的系数必为零。如，xx4.1 微分方程的幂级数微分方程的幂级数)14.4(00jjjxb 在（在（4.14）中假设）中假设 ，则表明，则表明 。取（。取（4.14）对对 的一阶导数，然后使的一阶导数，然后使 ，则表明，则表明 。取。取 阶导阶导数，并使数，并使 ，则，则 。于是由（。于是由（4.13），有），有)16. 4()2)(1()15. 4(0) 1)(2(2222nnnnanncaacann0 x0nb0 x0 x00b01bx0a 像（像（4.16）这样的等式叫做递推关系式。运用该式，若知）这样的等式叫做递推关系式。运用该式，若知 的值，可求的值，可求 。若知

5、。若知 ，可求，可求 。,642aaa,753aaa1an4.1 微分方程的幂级数微分方程的幂级数)17. 4(,10BcaAa 因为对一因为对一 和和 的值无限制，它们是任意的常数，可令的值无限制，它们是任意的常数，可令代入到（代入到（4.16），求得系数），求得系数)19. 4(, 2 , 1 , 0,)!12() 1(,! 7,2345,32,)18. 4(, 3 , 2 , 1 , 0,)!2() 1(,! 6,1234,21,12127755331226644220kkBcaBcaBcaBcaBcakkAcaAcaAcaAcaAakkkkkk0a1a4.1 微分方程的幂级数微分方程的

6、幂级数)20. 4()!12() 1()!2() 1(012120224, 2, 05 , 3 , 10kkkkkkkknnnnnnnnnkxcBkxcAyxaxaxay于是，于是， （4.20）中的两个级数是对于）中的两个级数是对于 与与 的台劳级的台劳级数；因而与（数；因而与（4.2）一致，有）一致，有)21. 4()sin()cos(cxBcxAy)cos( cx)sin( cx4.2 一维谐振子一维谐振子)22. 4(kxFxxFx 经典力学的处理。有一质点为经典力学的处理。有一质点为 的粒子被一力引向原点，的粒子被一力引向原点，此力正比于离开原点的位移：此力正比于离开原点的位移：是作

7、用于粒子的是作用于粒子的分量。分量。由牛顿第二定律给出，由牛顿第二定律给出，)23. 4(22dtxdmkx t是时间。是时间。m4.2 一维谐振子一维谐振子00222222xmkdtxdkxdtxdmdtxdmkx) 1 . 4(0)()( 2xycxymkc 2可以看出（可以看出（4.23）与（）与（4.1）一样，有）一样，有) 3 . 4()sin(ecxDy （4.1）的解（）的解（4.3）如下，）如下，4.2 一维谐振子一维谐振子v)24. 4()2sin(22,)sin(221bvtAxvmkvwmkwmkwbtmkAx于是（于是（4.23）的解为，）的解为，振动频率振动频率是，是

8、，)25. 4()(2121mkv 是力常数。是力常数。k4.2 一维谐振子一维谐振子 三维情况下，势能三维情况下，势能 与力的分量有关，与力的分量有关，)26. 4(,zVFyVFxVFzyx)27. 4(kxdxdvFx（4.26）式也是势能的定义。在一维中，有）式也是势能的定义。在一维中，有对（对（4.27）积分，有）积分，有)28.4(212CkxVv4.2 一维谐振子一维谐振子)29. 4(2212222mxvkxV选选 ，于是势能，于是势能 为为动能动能 是是)30. 4()(212dtdxmT v0cT4.2 一维谐振子一维谐振子总能是，总能是，)31. 4(2212)2(sin

9、)2(cos2)2(sin2)2(cos421)2(cos4)()2cos(2)2sin()2sin(2)(2122222222222222222222222222222mAvkAVTEmAvbvtbvtmAvbvtmAvbvtvAmVTEbvtvAdtdxbvtvAdtbvtAddtdxbvtAxmxvdtdxmVTE4.2 一维谐振子一维谐振子量子力学处理。其哈密顿算符是量子力学处理。其哈密顿算符是)33. 4 (2)32. 4 ()(2)4(22222222222222222222222222vmaxadxdmxmvdxdmmxvdxdmVdxdmVTH4.2 一维谐振子一维谐振子22m

10、EH 在乘以在乘以 后，薛定谔方程后，薛定谔方程为，为，)34. 4(0)2(02)(2(20)(2022222222222222222xamEdxdEmxadxdmmExadxdmEHEH4.2 一维谐振子一维谐振子)36. 4 ()()()( 2)( )( )()()35. 4 ()(2222222222xfxaxafxaxfxfexfexfaxexfeaxaxaxax为解（为解（4.34）我们需要一个代换，）我们需要一个代换，即即将（将（4.35）和（）和（4.36）代入（）代入（4.34）中，得中，得)37. 4 (0)()2 ()( 2)( 2xfamExaxfxf4.2 一维谐振子

11、一维谐振子)40. 4() 1)(2() 1)(2() 1()( )39. 4()( )38. 4()(02022201110nnnjjjnnnnnnnnnnnnxcnnxcjjxcnnxfxncxncxfxcxf 现在对现在对 试以级数解，试以级数解，)( xf4.2 一维谐振子一维谐振子)41. 4(0)2(2) 1)(2(0)2(2) 1)(2(20202002nnnnnnnnnnnnnnxcamEanccnnxcamExncaxcnn将（将（4.38），（），（4.39）和（）和（4.40）代入到（）代入到（4.37）中，得）中，得和（和（4.13）式一样，使）式一样，使 的系数为零，

12、有的系数为零，有)42. 4()2)(1()22(22nncnnmEanac这是所要求的两项和的递推关系式。这是所要求的两项和的递推关系式。nx4.2 一维谐振子一维谐振子)43. 4()(02224, 2, 022222lllaxnnnaxaxxcexcexfe （4.42）与（）与（4.16）的形式一样，因此，知）的形式一样，因此，知 可计可计算算 ；所以有两个任意的常数：；所以有两个任意的常数： 和和 。若。若令令 ，则将有只含，则将有只含 的偶次幂的幂级数乘以指数因的偶次幂的幂级数乘以指数因子的解：子的解： 若若 ,则将有只含则将有只含 的奇次幂的幂级数乘以指数因的奇次幂的幂级数乘以指

13、数因子的解子的解 ，)44. 4(012122, 3 , 1222lllaxnnnaxxcexcenc2nc0c1c01cx00cx4.2 一维谐振子一维谐振子)5 . 2(2211ycycy由薛定谔方程的通解由薛定谔方程的通解，可得，可得，)45. 4(002221212222llllaxllaxxcBexcAe 现在看是否有什么波函数的边界条件导致解的任何限制。现在看是否有什么波函数的边界条件导致解的任何限制。为了看这两个无穷级数在为了看这两个无穷级数在 大时的表现，我们需要检查每个大时的表现，我们需要检查每个级数的相继系数之比。级数的相继系数之比。x4.2 一维谐振子一维谐振子 在第二个

14、级数中，在第二个级数中， 和和 的系数之比，我们可的系数之比，我们可令（令（4.42）式中的）式中的 ，)46. 4()22)(12(24)42. 4()2)(1()22(222222llmEalacccnnmEanaclnnl22 lxlx2ln24.2 一维谐振子一维谐振子la)47. 4()2)(2(4222大时llallalccll 假定对于大的假定对于大的 值，级数中后面的那些项是占优值，级数中后面的那些项是占优势势 的，我们看到在的，我们看到在 值大时（值大时（4.46）的比值：）的比值： 在（在（4.42）中，令）中，令 ，我们可求得对于大，我们可求得对于大的的 ，第一个级数中相

15、继系数之比也是，第一个级数中相继系数之比也是 。12lnllx4.2 一维谐振子一维谐振子2axe)49. 4()!1(!1)48. 4(1!22122220lxalxaaxezznzellllaxnnz现在考虑对于函数现在考虑对于函数的幂级数展开。运用的幂级数展开。运用 在此级数中在此级数中 与与 系数之比为系数之比为）（大时50. 41!) 1(1llalalalall22 lxlx24.2 一维谐振子一维谐振子将保证将保证 变为无穷大时变为无穷大时 趋趋2axe2axe22axe 所以在解（所以在解（4.45）中，每个无穷级数的相继系数之比，）中，每个无穷级数的相继系数之比，与级数与级数

16、在在 大时的情况一样的。大时的情况一样的。 若每个级数趋于象若每个级数趋于象 那样，于是（那样，于是（4.45）表明，对）表明，对于大的于大的 ， 的行为如同的行为如同。当。当 趋于无穷大时，波函数趋于无穷大时，波函数将变为无穷大，而非平方可积。若能设法在一些有限项之后将变为无穷大，而非平方可积。若能设法在一些有限项之后中段此级数，那么因子中段此级数，那么因子22axe0lim202axpxex式中的式中的 是任意有限次幂。是任意有限次幂。lxx于零。于零。px4.2 一维谐振子一维谐振子 为了得到这两个级数中的一个在有限项之后级数中断，为了得到这两个级数中的一个在有限项之后级数中断，递推关系

17、式（递推关系式（4.42）中）中 的系数对某一的系数对某一 值必须为零，值必须为零，譬如说譬如说 时。这使得时。这使得 都为零，以及都为零，以及（4.45）中的一个级数将有有限数目的项。在递推关系式）中的一个级数将有有限数目的项。在递推关系式（4.42）中，有一个量的值尚未确定，但可以调节它使）中，有一个量的值尚未确定，但可以调节它使 为零，那就是能量为零，那就是能量 。在（。在（4.42）中令）中令 的系数为零，的系数为零，得，得，ncnvn ,42vvccvcvcE4.2 一维谐振子一维谐振子)51.4(,2, 1 ,0)21(2)12(2)33.4(2022122vhvvEvmvmEvm

18、amEava，而递推关系式（而递推关系式（4.42）变为）变为)52. 4()2)(1()(2)42. 4()2)(1()22(222nnnncnnvnaccnnmEanac4.2 一维谐振子一维谐振子 按（按（4.51）使能量量子化，则使得一个级数在有限）使能量量子化，则使得一个级数在有限项后中断。为了去掉（项后中断。为了去掉（4.45）中另一个无穷级数，必须）中另一个无穷级数，必须使任意常数乘之后等于零。这就剩下一波函数为使任意常数乘之后等于零。这就剩下一波函数为 乘以只含乘以只含 的偶次幂或奇次幂（分别依赖于的偶次幂或奇次幂（分别依赖于 是偶或是偶或奇）的有限幂级数。奇）的有限幂级数。

19、量子数量子数 必须是非负整数，以及有一系列相等间必须是非负整数，以及有一系列相等间隔的能级。象箱中粒子那样，边界条件迫使能量量子化。隔的能级。象箱中粒子那样，边界条件迫使能量量子化。 能量最低的态叫做基态（或正常态）。谐振子基态能量最低的态叫做基态（或正常态）。谐振子基态能量不是零；此能量能量不是零；此能量 叫做零点能。这是双原子分子叫做零点能。这是双原子分子在绝对零度的振动能）零点能可以从测不准原理来理解。在绝对零度的振动能）零点能可以从测不准原理来理解。22axehv21xvv4.2 一维谐振子一维谐振子xpxx 若最低态能量为零；其势能与动能（是非负的）两者若最低态能量为零；其势能与动能

20、（是非负的）两者均将为零。零动能意味着动量确切为零，所以均将为零。零动能意味着动量确切为零，所以 为零。为零。零势能意味着粒子总是局限在原点，所以零势能意味着粒子总是局限在原点，所以 为零。但为零。但是不能有是不能有 与与 两者均为零。所以要求非零的基态能。两者均为零。所以要求非零的基态能。 寻求最低能级的波函数。对于基态，寻求最低能级的波函数。对于基态， ，在多，在多项式中无项式中无 的奇次幂，以及递推关系式的奇次幂，以及递推关系式（4.52）指明）指明 。于是，。于是，xp0vx042cc)57.4()43.4(2004,2,0222axnnnaxecxce4.2 一维谐振子一维谐振子利用归一化确定利用归一化确定 ：0cdxecdxecaxax020202221 利用附录中的积分（利用附录中的积分（A.5），若选归一