【高考数学】圆锥曲线中求离心率的常见问题

1、圆锥曲线中求离心率的常见问题题型一：求离心率e 方法1:直接求生a、c,再求解离心率e当圆锥曲线的标准方程已知或者a、c易求时，可直接利用率心率公式e ;来解决。 a22例1 . 2013 高考陕西卷（文）双曲线 看21的离心率为I。 P解析：由双曲线方程不难得由a 4,b 3,c 5,故离心率x2例2. 2013 浙江卷 如图所示，F1, F2是椭圆C1：4+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A, B分别是C1C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（A.B.C.362AB227 T 1（a0，b 0），则解析：由椭圆方程知 产怎1 2后，设双曲线方程为IAF2

2、I |AFJ 4 /曰 |AF2| 2 a | AF21 | AF1 | 2" e | AF112a在Rt F1AF2中，F1AF2 90o,由勾股定理:(2 a)2(2 a)2(2封2 ,得 a 夜。故 e -a 2方法2:采用圆锥曲线的统一定义求解从“焦点-准线”的观点来看，到定点的距离与到定直线的距离的 比是常数e的点的轨迹是圆锥曲线（不包括一些退化情形） . 定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥 曲线的准线;固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与谨线 的距离比）称为圆锥曲线的离心率。 根据e的取值范围不同， 曲线也各不相同：当e 0时，轨迹为圆；当0 e 1时，

3、轨迹为 椭圆；当e 1时，轨迹为抛物线；当 e 1时，轨迹为双曲线。2 y b21 （ a 0,b 0）的右焦点为Fi,右准线为li,2例3 .设椭圆事 a若过Fi且垂直于x轴的弦的长等于点E至打1的距离，则椭圆的离心率是 解析：如图所示，AB是过E且垂直于x轴的弦，由AD 11于D 可知|AD为F1到准线11的距离，根据椭圆的第二定义，AF1AD1 AB2AD方法3 :构造a、c的齐次方程，解由e根据题设条件建立a，b，c之间的等量关系，再借助椭圆中b后c7 (或双曲线中b 4ca2 )消去b,从而构造a、。的齐次方程，进而根据离心率的定义两边同时除以 到关于e的方程，便可解方程得到离心率

4、eo例4 . 2014 江西将 过点M (1 , 1)作斜率为J 、心圆C：与4 1(a 0,b 0)相交于A, B两点，若 a ba的齐次得:的直线与椭M是线段AB点，所以x1 + X2 = 2, y1 + y2 = 2,且2 K -2 a2 X2 -2 aV12 b2V22 b21,两式作差可122/日 X1X2彳可 2 a22yy2b2(XX2)(Xi X2)(y1y2)( y1b2Viy2Xx2b22 a即kAB由题意可知,直线AB的斜率为2所以b2 a由 a2 = b2 + c2 可知 a22b2 2a2 2c2,即 a2的中点，则椭圆C的离心率等于 解析：设点A(xi, yi),点

5、B(x2, y2),点M是线段AB的中再两边同时除以a2得02；即e2 2,所以e *故选例5. 2015 新课标卷n(理)已知A, B为双曲线E的左, 右顶点，点M在E上，？ ABM为等腰三角形，且顶角为120则E的离心率为()A.、后B. 2C. <3D. <2解析：设双曲线方程为2 y b21(a 0,b 0),如图所示，|AB| |BMABM 120°,过点M作MN x轴，垂足为 N。在 RtBMN 中，|BN| a,|MN| «a ,故点 M 的坐标为 M (2a,V3a), 代入双曲线方程化简得a2 b2 a2 c2,即c2 2a2,两边同时除以a2

6、得(c)2 2即e2 2,所以e 故选D. a题型二：求解离心率e的取值范围 方法1 :运用函数思想求解离心率的范围通过已知条件分析，利用圆锥曲线的性质建立离心率的函数关系，转换为求函数值域的问题。22例6. 2008 全国卷n（理）设a 1,则双曲线/5彳 1的 离心率e的取值范围是（）A.（隹 2）B.（近娓）C. （2 D. （2,痣）解析：根据题意可知e2 （c）2 a2 （，1）2 1 （1 1）2,则可把e2看 aaa成是关于a的函数。又因对应函数在 a （1,）上单调递减，得 2 e2 5 ,即应e石，故选B。方法2：构建关于e的不等式，求e的取值范围根据已知和潜在条件构建一个关

7、于基本量a,b,c的齐次不等式（通常要借助一些不等式性质、平面解析几何知识， 函数性质与数形结合思想等来探求），再化简为e形式，便可 求得离心率范围。22例7.设P是椭圆、七1（a b 0）上一点，且 F1PF2 90 ,其 a b中F1,F2是椭圆的两个焦点，求椭圆离心率的范围。解析1:（利用二次方程有实根建立不等式）据椭圆定义可知PF1 PF2 2a , 由 F1PF2 90 得 PF-| PF2 2 F1F2I2 4c2 , 贝U 22PF1 PF2 2（a2 c2）。因此，|pF1PF21是方程X2 2ax 2（a2 c2）。的两个根，则有4a2 8c2 0 ,又因 e 1 ,解得 e

8、2,1解法2 ：（利用x或y的有界性建立不等式）可知Fi（ c,0） F2（c,0）,uuir uuu F1PF2 90o知 FiP F2P,uuruuuu设 P (x, y,则有 FiP (x c,y), F2P (x c,y)。由r uur uuuu则 FiP F2P 0,即(x c)(x c) y2 0,得 x2y2c2。2 22. 2将之与椭圆方程联立，消去y可得x2咚*，但由椭圆范围及F1PF2 90o 知 0 x2 a2,2 22. 2即0 3 a2,可得2.2cb22cac e - ac e - a故 e ,1)。例8. 2013 重庆将 设双曲线C的中心为点O,若有且只 有一对相交于点 O,所成的角为60的直线A1B1和A2B2, 使|A1B1| = |A2B2|,其中A1, B1和A2, B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）B.C.+ OO解析：由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x轴(或y轴)对称。由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30