高二数学函数的单调性与导数测试题

1、选修 2-21.3.1 函数的单调性与导数一、选择题1,设f(x)= ax3 + bx2+ cx+ d(a>0),则f(x)为R上增函数的充要条 件是 ()A b2 4ac>0B b>0， c>0C. b=0, c>0D. b2 3ac<0答案 D解析.a>0, f(x)为增函数，f' (x) = 3ax2 + 2bx+ c>0 恒成立， = (2b)2- 4x 3ax c= 4b?- 12ac<0, - b 3ac<0.2. (2009广东文，8)函数f(x)=(x3)ex的单调递增区间是()A.(一巴 2)B. (0,3)

2、C. (1,4)D. (2, +s)答案 D 解析 考查导数的简单应用f' (x)=(x3)' ex+(x3)(ex)' =(x2)ex,令f' (x)>0,解得x>2,故选D.3.已知函数y=f(x)(x6 R)上任一点(X0, f(x0)处的切线斜率k= (xo 2)(x0 1)2，则该函数的单调递减区间为()A. 1, +s)B.(巴 2C. ( s, 1)和(1,2)D. 2, +s)答案 B解析令kW0得x0w2,由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(一00 , 2.4.已知函数y=xf' (x)的图象如图(1)所示(其中f&#

3、39; (x)是函数f(x) 的导函数)，下面四个图象中，y= f(x)的图象大致是()答案C解析当 0<x<1 时 xf' (x)<0 .f (x)<0,故y=f(x)在(0,1)上为减函数当 x>1 时 xf' (x)>0,f' (x)>0,故 y=f(x)在(1, 十°°)上为增函 数，因此否定A、B、D故选C.5 .函数y = xsinx+ cosx, x6(兀，nt的单调增区间是()a.兀,-2 朋 o, 2jb. -2,。，和 0 2r I 兀D.12,n n兀01口 0兀1答案解析y'

4、=xcosx,当一x x< 一cosx<0, .y' =xcosx>0,当 0<x<2W, cosx>0,y' =xcosx>0.6 .下列命题成立的是()A.若f(x)在(a, b)内是增函数，则对任何x6 (a, b),都有f' (x)>0B.若在(a, b)内对任何x都有f' (x)>0,则f(x)在(a, b)上是增 函数C.若f(x)在(a, b)内是单调函数，则f' (x)必存在D.若f' (x)在(a, b)上都存在，则f(x)必为单调函数答案B解析若f(x)在(a, b)内是增

5、函数，则f (x)>0,故A错；f(x)在(a, b)内是单调函数与f' (x)是否存在无必然联系，故 C错；f(x) =2在(a, b)上的导数为f' (x)=0存在，但f(x)无单调性，故D错.7 . (2007福建理,11)已知对任意实数x,有f( x)= f(x), g( x)=g(x),且 x>0 时，f' (x)>0, g' (x)>0,则 x<0时()A. f' (x)>0, g' (x)>0B. f (x)>0, g' (x)<0C. f' (x)<0,

6、g' (x)>0D. f' (x)<0, g' (x)<0答案B解析f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，.”<0时，f' (x)>0, g' (x)<0.8 . f(x)是定义在(0, +s)上的非负可导函数，且满足xf' (x) +f(x)w0,对任意正数a、b,若a<b,则必有()A. af(a)<f(b)B. bf(b)<f(a)C. af(b)<bf(a)D. bf(a) < af(b)答案C解析. xf' (

7、X)+f(X)W0,且 x>0, f(X)A0,-f (x)<-f(x),即 f(x)在(0, +°°)上是减函数, x又 0<a<b, af(b)< bf(a).9.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x1)f' (x)A0,则必 有()A. f(0) + f<2f(1)B. f(0) + f(2)<2f(1)C. f(0) + f(2)>2f(1)D. f(0) + f(2)>2f(1)答案C解析由(x1)f' (x)A0得f(x)在1, +8)上单调递增，在(一8, 1上单调递减或f(x)恒为常

8、数，故 f(0)+f(2)A 2f(1).故应选 C.10 . (2010江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水 面垂直)匀速地开出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为 S(t)(S(0) = 0),则导函数y=S' (t)的图像大致为答案A解析由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增 一减一增一减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选 A.二、填空题11 .已知y=1x3 + bx2+(b+2)x+ 3在R上不是单调增函数，则b 3的范围为.答案b< 1或b>2解析若 V, =x2+2bx+b+2>0 恒成立，则 = 4b24(b +2)<

9、0,. -1<b<2,由题意b< 1或b>2.12 .已知函数f(x)=axlnx,若f(x)> 1在区间(1, +-)内恒成 立，实数a的取值范围为.答案a>1解析由已知a>=在区间(1, +8)内恒成立. x1 + lnxgx设 g(x)= 则 g' (x) = /<0 (x>1), xx1 + Inx：g(x)=-在区间(1, +00)内单调递减， xg(x)<g(1),.g(1)=1,1 + lnx一<1在区间(1, +OO)内恒成立， x a n 1.13.函数y=ln(x2 x 2)的单调递减区间为 .答案(

10、 s, 1)解析函数 y= ln(x2 x2)的定义域为(2, +oo)u(-oo, - 1),令 f(x) = x2x 2, f' (x) = 2x1<0,得 x<2，函数y=ln(x2x2)的单调减区间为(一, 1).14 .若函数y = x3-ax2+ 4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是答案3, +8)解析y' =3x2 2ax,由题意知3x2 2ax<0在区间(0,2)内恒成立，一 3即a>2x在区间(0,2)上怛成立，-.a>3.三、解答题15 .设函数f(x) = x3-3ax2 + 3bx的图象与直线12x+y1 = 0相

11、切于点(1, 11).(1)求a、b的值;(2)讨论函数f(x)的单调性.解析(1)求导得 f' (x) = 3x2 6ax+ 3b.由于f(x)的图象与直线12x+y1=0相切于点(1, 11),所以f(1) = 11, f (1)=- 12,f1-3a+3b=-11即，3-6a+3b=- 12解得 a= 1, b= - 3.(2)由 a=1, b= 3 得f' (x)=3x2 6ax+ 3b=3(x2-2x- 3)= 3(x+1)(x-3).令 f' (x)>0,解得 x<1 或 x>3;又令 f' (x)<0,解得1<x<

12、;3.所以当x6 (s, 1)时，f(x)是增函数；当x6(3, +s)时，f(x)也是增函数；当x6(-1,3)时，f(x)是减函数.116 .求证：方程x 2sinx=0只有一个根x=0.、一 、r1证明 设 f(x) = x sinx, x (°°, +°°),一 ，1贝U f (x) = 1 2cosx> 0,.f(x)在(°°, + °°)上是单调递增函数.而当 x= 0 时,f(x)=0,1方程x /sinx=0有唯一的根x=0.17 .已知函数y=ax与y= b在(0, +-)上都是减函数，试确

13、 x定函数y=ax3+bx2 + 5的单调区间.分析可先由函数丫=2乂与y=b的单调性确定a、b的取值 x范围，再根据a、b的取值范围去确定y=ax3+ bx2 + 5的单调区间.解析:函数y=ax与y= b在(0, 十°°)上都是减函数， ax<0, b<0.由 y=ax3+bx2 + 5 得 y' =3ax2 + 2bx.2b令 y >0,得 3ax2 + 2bx>0, 一的<乂< 0.f 2 2b > 二当xs 10 ,时，函数为增函数.令 V, <0,即 3ax2 + 2bx<0, x< 一2b3a

14、'或 x> 0.二在10°, 正(0, 十°°)上时，函数为减函数.18 . (2010 新课标全国文，21)设函数 f(x) = x(ex1) ax2.1(1)若a = 2,求f(x)的单调区间；(2)若当x>0Bt f(x)>0,求a的取值范围.1 一.1 O解析(1)a = 2时，f(x) = x(ex1) 2/，f' (x)=ex 1 +xexx=(ex- 1)(x +1).当 x6( s, 1)时,f' (x)>0;当 x6 (1,0)时，f' (x)<0;当 x6(0, + s)时，f (x)>0.故f(x)在(一8, 1, 0, +8)上单调递增，在 1,0上单调递 减(2)f(x) = x(ex-1-ax).令 g