高中数学平面向量习题及答案

1、幡品iVcrrtf第二章平面向量、选择题)B. DE与CB共线D. AD与BD相等1 .在4ABC中，AB=AC, D, E分别是 AB, AC的中点，则（A. AB与AC共线C. AD与AE相等2 .下列命题正确的是（A.向量AB与BA是两平行向量B.若a, b都是单位向量，则 a=bC.若AB = DC ,则A, B, C, D四点构成平行四边形D.两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3 .平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3, 1） , B（ -1, 3）,若点C满足OCOA+ OB ,其中C R ,且+ = 1,则点C的轨迹方程为（)A. 3x+2y11 = 0B. (

2、x1)2+(y 1)2=5C. 2x-y=0D. x+2y-5=04.已知a、b是非零向量且满足（a2b） La, （b-2a） ±b,则a与b的夹角是（)5.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC ±（不包括端点 A,C)，则 AP =()A. X AB + AD )长(0,1)B. X AB + BC ),衣（0,C. X AB - AD )/(0,1)D. X AB - BC ),衣（0,£)二)26. ABC 中，D巳F分别是AB,BC, AC的中点，则DF =（A.EF + EDB. EF - DEC.EF + ADD. EF + AF7.F面向量a

3、与b的夹角为60°,| b| =4, (a+2b) (a- 3b) =- 72,则向量模为（A. 2B. 4C. 6D. 12 OA,A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点9.在四边形 ABCD中，AB=a+2bBC =-4a- b, CD=5a 3b,其中a, b不8 .点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足 OA OB = OB OC = OC则点O是 ABC的（共线，则四边形 ABCD 1（A.平行四边形B.矩形C.梯形D,菱形10.如图，梯形ABCD中,|AD |=|BC|EF / AB / CD则相等向量是（A. AD

4、与 BCB.OA 与 OBC. AC 与 BDD.EO 与 OF二、填空题)11 .已知向量 OA = (k, 12) , OB = (4, 5) , OC =( -k, 10)，且 A, B, C 三点共线，则 k =.12 .已知向量 a=(x+3, x2-3x-4)与 MN相等，其中 M( -1, 3), N(1, 3),则 x13 .已知平面上三点 A, B, C 满足 | AB | =3, | BC | =4, | CA | =5,则 AB BC +bC - cA + cA aB 的值等于.14 .给定两个向量 a=(3, 4), b = (2, 1),且(a+ mb) ±

5、(a-b),则实数 m 等15 .已知A, B, C三点不共线，O是 ABC内的一点，若 OA+OB + OC = 0,则O是a ABC的.16 .设平面内有四边形 ABCD和点O, OA = a, OB = b, OC = c, oD=d，若a+c = b+d,则四边形ABCD的形状是三、解答题17 .已知点 A(2, 3) , B(5, 4) , C(7, 10),若点 P 满足 AP = AB + 入AC (入C R),试求入为何值时，点P在第三象限内？18 .如图，已知 ABC, A(7, 8), B(3, 5), C(4, 3) , M, N, D 分别是 AB, AC,BC的中点，

6、且MN与AD交于F,求DF .(第18题)幡品iVcrrtf19 .如图，在正方形 ABCD中，E, F分别为AB, BC的中点，求证：AFLDE(利用向量证明).口"A E H（第19题）20 .已知向量a=(cosasin。，向量b= ( J3 , 1),则| 2ab|的最大值.、选择题1. B向.参考答案解析：如图， AB与AC, AD与AE不平彳T, AD与BD共线反2. AD四点解析：两个单位向量可能方向不同，故 B不对.若AB = DC ,可能A, B, C共线，故C不对.两向量相等的充要条件是大小相等,方向相同，故3. D解析：提示：设OC=（x,y), OA=(3,

7、1)OB = ( 13) , OA = ( 3OB =(- , 3 ),又 OA +OB=(3 ,. . (x, y)=(3 - ,+3), x=3 y=+3，又+ =1,由此得到答案为D.（第#题）4. B解析：:(a2b) La, (b-2a) ±b,(a -2b) - a = a22a -b=0, (b2a), b= b22a , b= 0,a2= b2,即 | a| = | b| .|a|2=2|a|b| cos 仁 2| a| 2cos q,解得 cos10= - 2a与b的夹角是5. A解析：由平行四边形法则,AB + AD =AC ,又 AB + BC = AC ,由入

8、的范围和向量DF = DE + EF = EF + AF .B数乘的长度，/（0,1）.6. D解析：如图，: AF = DE ,噂品Wb,O是4ABC的三条图的交点.9. C解析：. AD = AB + BC + CD四边形ABCD为梯形.10. D解析：aD与BC, AC与bD,二、填空题11. - 2 .3解析：A, B, C三点共线等价于7. C 解析：由(a+ 2b) (a 3b) = 72,得 a2-a - b-6b2=- 72. 而|b| = 4, a - b= | a| b| cos 60 = 2| a| , . | a| 22| a| 96= 72,解得 | a| =6. 8

9、. D 解析：由 OA .OB = OB .OC = OC OA,得 OA OB = OC OA, 即 OA -(oc - ob) =o, 故 BC oA = o, Be ± oa ,同理可证 ac ± OB , =-8a-2b=2BC , . . AD / 玩且 |刀 |w | BC |. OA与OB方向都不相同，不是相等向量.AB , BC共线，AB = OBOA = (4, 5) - (k, 12) =(4-k, 7),BC = OC - OB =( - k, 10)-(4, 5)=(k 4, 5),又A, B, C三点共线， 5(4-k) =- 7( -k-4) ,

10、 k =-. 312. - 1.解析：. M( 1, 3), N(1, 3),MN =(2, 0),又 a= MN ,x+3= 2x=-1-2解得 什 ，x -3x-4= 0x= 1 或x=413. 25.解析：思路1:二AB =3BC| =4,问=5,AABC为直角三角形且/ABC =90°,即 KB，BC ,AB - BC =0,AB BC + BC CA +CA - AB=BC CA + CA AB=CA - ( BC + AB )= -(CA)2CA=-25.思路 2:AB =3AB cos/ CAB =CA根据数积定义，结合图BC - CA = IbCBC=4, pA =

11、5, / ABC=90°,cos/ BCA=BCCA 5(右图)知 AB BC =0, CA cos/ACE = 4X5X(4) = 16, 5CA - AB = |ca| - |ab|cosZ BAD = 3X5X( 3 ) = 9.AB - BC + BC - CA + CA - AB =0169=- 25.2314.3解析：a+mb=(3+2m, 4 m), ab=(1, 5).( a+ mb) (a b) = (3+2m) x1 + (4 m) X5=023 m=315.答案：重心.解析：如图，以OA , OC为邻边作DAOCF交AC于（第15题）幡品iVcrrtf点 E,则

12、 OF = OA+OC,又 oA + OC =- OB ,OF = 2OE =- OB , O 是 ABC 的重心.16.答案：平行四边形. B解析：a+ c= b+d,ab=dc, . BA = CD .四边形ABCD为平行四边形.三、解答题17. K - 1.解析：设点 P 的坐标为(x, y),则 AP =(x, y) (2, 3) = (x 2, y3).Ab + aAC =(5, 4)(2, 3)+ 入(7, 10) (2, 3)= (3, 1 ) + X5, 7)= (3+5% 1 + 74.AP = AB + 入AC , ( x- 2, y3) =(3+5入 1 + 7 .x 2

13、 3 5x 5 5即y 3 1 7y 4 7 550要使点P在第三象限内，只需解得入v - 1.（第18题）4 7018. DF =( 7 , 2). 4解析： A(7, 8), B(3, 5), 0(4, 3),AB =(-4, 3), AC =(-3, 5).又D是BC的中点，AD = -(aB+AC) = -(-4-3, 35) 22=-(-7, -8)=(-, -4).22又M, N分别是AB, AC的中点，F是AD的中点，DF= FD= 1AD= 1(1，4)=(1，2). 222419. 证明：设 AB = a, AD = b,则 AF = a+ b, ED = b a.22AF , ED = (a+ b) , (b a) = b2 a2+ a, b. "工/2 22 2 4又 AB AD ,且kB卜 AD ,a2=b2, a - b=0.A E B AF - ED =0,AF ± ED .(第e题)本题也可以建平面直角坐标系后进行证明.20.分析：思路 1: 2a-b= (2cos 0- J3 , 2sin。+ 1),| 2a b| 2= (2cos 0於)2+ (2sin 0+ 1) 2= 8+ 4sin 0 4 V3 cos 8又