高中数学-生活中的优化问题举例练习

1、高中数学-生活中的优化问题举例练习、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 Q 3 ）1 .一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s -t -t 2t ,那么速度为零的时刻是32A. 0秒B. 1秒末C. 2秒末D. 1秒末和2秒末【解析】在某时刻的速度即位移相对于时间的嚼时变化率,数v=工+2,令3二。，解得212 .故选D.2 .现做一个圆锥形漏斗，其母线长为 20cm,要使其体积最大，则其高应为7A. "m3C. 20cm【答案】AB. 100cmD.20cm3【解析】设高为xcm,则底面半径为400 x2 cm,19所以圆锥形漏斗的体积 V

2、1冗（400 x2） x3X400x x3)3-cm3, V3400 3x2)3令V 0/1迎叵或x3空5 （舍去），则当x 20Y3cm时，体积最大.故选 A. 333 .某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为一 348 m，高为3m,如果箱底每平方米的造价为15兀,箱壁每平方米的造价为 12元，则箱子的最低总造价为B. 840 元D. 816 元A. 900 元C. 818 元【答案】D【解析】设箱底一边的长度为xm,箱子的总造价为l元，48481616根据题意，得 l 15 12 2（3x 一） 240 72（x ）（x 0） , l 72（1 ）.3 xxx令l 0,解得x 4或

3、x 4（舍去）.当0 x 4时，l 0；当x 4时，l 0；故当x 4时，l取得最小值，为816.816元.故选D.因此，当箱底是边长为 4m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为、填空题：请将答案填在题中横线上.4 .已知矩形的两个顶点位于 x轴上，另两个顶点位于抛物线 y 4 X2在x轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大者的边长为【答案】2_3和833【解析】设点已（兀则5 = 2期4一/） = -2"+阮，+令S = 0,得工=空，当。丸空时，当空工2时，0,333则当 =百回时,5=-2+8耳取得最大值,此时另一边长为：，331 35.已知某生产厂家的年利润 y（单位：万

4、兀）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为 y- x3 81x 234 ,3则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 万件.【答案】91 3【解析】由 y -x 81x 234,得 yx2 81 ,由 x2 81 0,得 X 9 （舍去），x? 9 .31 3_ _当x （0,9）时，y 0,函数y-x 81x 234为增函数；31 Q当x （9,）时，y 0,函数y -x3 81x 234为减函数， 313所以当x 9时，函数有极大值，也就是最大值，为 1 93 81 9 234 252 （万元）. 3故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算

5、步骤.6 .为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元)与隔热层厚度 x (单位：厘米)满足关系：C(x)(0 x 10),若不建隔热层，每年能源3x 5消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与 20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f (x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值.【答案】(1) k 40, f (x)8006x(0 x 10); (2)隔热层5cm厚时，总费用最小为 70万元.3x 5【解析

6、】(1)设隔热层厚度为x皿,Jr40由题设j知每年能源消耗费用为由= 解得无= 故C(#) = n，而建造混用为G(力=6H ,则隔熟层建造谓用与20年的能满消耗蕾用之和为/a)= 2(X7(而+射(冷=工0工- + 6兀=- + 6虱。/彳/L0). 3x+53x+5-2 400. ,、-一 ，、25(2) f (x) 6 2，令 f (x)。，斛得 x 5或 x(舍去).(3x 5)3 '当 0 x 5 时，f (x) 0；当 5 x 10 时，f (x) 0,故x 5是f(x)的最小值点，对应的最小值是f(5) 30 -800- 70.15 5故当隔热层修建5cm厚时，总费用达到

7、最小值 70万元.7 .请你设计一个包装盒，如图，ABC虚边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A B, C, D四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状 的包装盒.E, F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设A& FB= x(cm).(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值?(2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.1【答案】(1) 15; (2)当x 20时V取得最大值，包装盒的图与底面边长的比值为一.2【解析】设

8、包装蒿的高为h cm ,底面边长为0而由已知得。=卜二60-2x-42(3。一力，0<<30 ?(1) S= 8X3O-jc) = -8(x-15)2 +1800,所以当兀=15时-S取得最大值. V a2h 272( x3 30x2), V672x(20 x),0（舍去）或x 20.当 x (0,20)时,V 0;当 x (20,30)时,V 0.所以当x 20时,V取得极大值，也是最大值.，一h 1此时一 一，即包装盒的图与底面边长的比值为a 28.如图1, ACB 45 , BC 3,过动点A作AD BC ,垂足D在线段BC上且异于点B沿AD将4ABD折起，使 BDC 90

9、（如图2所示）.则当BD的长为多少时，三棱锥，连接AB ,A BCD 的体积最大?【答案】当BD图11时，三棱锥 A BCD的体积最大.【解析】在如题图1所示的4ABC中，设BD x(0 x 3),则CD 3由 AD BC,ACB 45知，4ADC为等腰直角三角形，所以 ADCD 3 x.由折起前AD BC知，折起后（如题图 2）,AD DC , AD BD ,且BDI DC D所以AD 平面BCD .因为 BDC 90°,口1 一VA BCD 二 AD 3 1 一 一所以 Sabcd-BD CD2c1、1S>A BCD (3 x) - x(3321 °、一 x(3

10、x).2132x) 一 (x 6x 9x) . 6,1.91令 f(x) (x3 6x2 9x),由 f (x) (x 1)(x 3) 0,且 0 x 3,解得 x 1 . 62当 x (0,1)时，f (x) 0；当 x (1,3)时，f (x) 0.所以当x 1时，f(x)取得最大值.故当BD 1时，三棱锥 A BCD的体积最大.,其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为9.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)半球形，按照设计要求容器的体积为-0立方米，且l 2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有3关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c

11、(c 3)千元.设该容器的建造费用为 y千元.(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域;(2)求该容器的建造费用最小时的r.【答案】(1) y 4 <c 2)r2 1602t,0 r 2 ； (2) r 3/-20-r. c 2【解析】(1 >设容器的容积为 匕 由题意知V三叱"十g一,又二等所以歹_4 mP-380 4420 nrJr 33 r因为1之2尸,即:言一功之2广,解得产所以 3 r所以建造费用为y - 2nr/x3 + 4w，=如r尸以3+4封，-4或工一造尸+14kt g <r <2 .(2)由(1)得 y8« 2)r160

12、冗2- r20c 2r 2),因为c 3,所以c2 0,当 r38 Kc2 r9一当0 m 2,即c 一时，令y 0 ,解得r m .22).(r、，2 m)(r一 一 2rm m ).当r (0, m)时，y 0,函数y单调递减;当r (m,2)时，y 0 ,函数y单调递增.所以r m 3 2。是函数y 4 Mc 2)r2 "艺的极小值点，也是最小值点. -c 2r9当m 2,即3 c 时，当r (0,2时，y 0,函数y单倜递减，2 ,- 一，2160 兀所以r 2是函数y 4Jc 2)r2 160的最小值点.r9综上所述，当3 c 时，该容器的建造费用最小时r 2;29 20一

13、当c 时，该容器的建造费用最小时r 3 -20_ .2, c 210.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为 r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000兀元(兀为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域；(2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.【答案】(1) V(r) -(300r 4r3) , 0 r 50; (2)见解析. 51解析】(1)因为蓄水池恻面的总成本为100为啪=20(玩治(元H底面的息成本为160m元,所以雷水池的总成本为000兀用+1啊林沅.又由题意得200兀州+ 160= 12000%所以A=(300- 4力1从而火力二炉我二：(300产一4日.因为rX),又A>0；所以可得。Cr < 5,故函数产的定义域为8. 5依).因为 V(r)=(300 r4r3) (0 r 573)