2020年全国高中数学联赛天津赛区预赛选修1

1、2020年全国高中数学联赛天津赛区预赛选修1、选择题每题 6分，共36分1.方程3/x 1 x 43/x 2 5 x6的实数解的个数为a 3 x 1 x 4 ,b 3 x 2 5 xb 6,a3 b36 ,因此2,2a b，一 r .35 一-、,2ab 1 ,从而可得 ab 一 ,因此a,b是万程t36t35,一 0的两个实根，判不式332一 0,无解，因此选A。32.正2007边形P被它的一些不在 P内部相交的对角线分割成假设干个区域，每个区域差不多上三角形，那么锐角三角形的个数为C大于1D 与分割的方法有关只有包含正2007边形中心。的三角形是锐角三角形，因此只有一个，选3.关于参数0的

2、二次函数y ax23a 414ax R的最小值是关于a的函数f那么f a的最小值为13764以上结果都不对y的最小值为f11一 a41一,其中0 a 1。因为对称轴为 4a的最小值为2,选Ao4. a,b为正整数，a b,实数x,y满足x y4 Jx a J y b ,假设x y的最大值为40,那么满足条件的数对a,b的数目为D 7。答选C。因为u v 2 2 u2 v2 ,因此x y 4 x a , y b4. 2 x a y b2因此有 x y 32 x y 32 a b0 ,因此 x y 16 4116 2ab16 4 16-2-a-b 401其中x y的最大值当x - b a 40 2

3、1 ，什，i,，i ，人八y a b 40时取到。又因为a b,因此满足条件的数对a,b的数目为5,选C。25.定义区间c,d , c,d , c,d , c,d的长度均为d c,其中d c。实数a b,那么满11足1的x构成的区间的长度之和为。x a x bA 1BabCabD2答选D。2x a b原不等式等价于 匕x一ab 1。 x a x b当xa或xb时，原不等式等价于x2a b 2 x a b ab0。设2f x x a b 2 x a b ab,那么 fa b a 0, f b ab0。设 fx 0的两个根分不为 x1,x2 x1 x2 ,那么满足 f x 0的x构成的区间为a,x

4、2 ,区间的长度为x2 a。当b x a时，同理可得满足 f x 0的x构成的区间为 b,x1 ,区间的长度为x1 b。由韦达定理，x1 x2 a b 2 ,因此满足条件的x构成的区间的长度之和为x2 a x1 b a b 2 a b 2,因此选 D。6 .过四面体 ABCD的顶点D作半径为1的球，该球与四面体 ABCD的外接球相切于点 D , 且与平面ABC相切。假设AD 2 J3, BAD CAD 45 , BAC 60 ,那么四面体 ABCD的外接球的半径为。A 2B 2' 2C 3D 2、3答选C。过D作平面ABC的垂线，垂足为 H ,作DE AB ,垂足为E , DF AC

5、,垂足为F , 那么 HE AB, HF AC ,且有 AE AF AD cos45 J6。由于 &AEH JaFH ,那么HAE 30 , AH AE 242, DH .AD2 AH 2 2,因此 DH 为半径为 1 的球的 cos30直径，从而四面体 ABCD的外接球的球心 O在DH的延长线上，因此有r2 r 2 2 2 J2 2 , 解得r 3。、填空题每题 9分，共54分7 .假设关于x, y的方程组 ax by 1,有解，且所有的解差不多上整数，那么有序数对 x y 10a,b的数目为。答 32。因为x2 y2 10的整数解为1,3 , 3,1 , 1, 3 , 3,1 ,

6、1,3 , 3, 1 , 1, 3 , 3, 1 ,因此这八个点两两所连的只是原点的直线有24条，过这八个点的切线有 8条，每条直线确定了唯独的有序数对 a,b ,因此有序数对 a,b的数目为32。8 .方程x2 3y2 2007的所有正整数解为 。答 x 42, y 9。2因为 a 0,1 mod3 ,2007 0 mod3，因此 x 0 mod3。设 x 3x1，类似的可得y 0 mod3。设y 3y1，那么原方程化为x12 3 y12223 ,1 x1 7223,即 1x114 0因为223 1 mod3 ,因此x,1 mod3。又因为223 3mod4 ,因此x1为偶数，因此X 2,4

7、,8,10,14 ,体会证，x114, y1 3,因此 x 42, y9。或由1y1223 1-3-得1y18,又因为y,为奇数，因此体会证y13, x114。9.假设D是边长为1的正三角形 ABC的边BC上的点， ABD与ACD的内切圆半径分不为。，2,假设1那么满足条件的点 D有两个，分不设为 D1，D2 ,那么D,，D2之间的距离为设BD x ,由余弦定理得AD x2方面,另一方面,S ABDS abd - 1 x ：-' x x 12解得1，31 x6同理可得ri2有最大值，且最大值为巨，2,3 12。由于1因此19100-2 x Jx2x1 。从而有 q 6x1，x2 ,那么

8、x1x2dx1x2 24x1x2v65ox 1 x4x92x3 13.3x 43 x93x 1 x4x933x 13x 4x391的不同非零整数解的10.方程O设两个根分不为个数为答4。利用332a b abaabb243-3等价于x3 49 x4x2x 49x2x 90。方程两端同除x ,整理后得98x2288x 3850。再同除即 x2 6x 72x2 6x 55体会证x111.设集合23126x 240。x 5 x 110。7,x2 1,x35,x4 11均是原方程的根,因此原方程共有4个整数根。A&e2，%e4e5 ,B司，a2 ,a3e4包,其中a1，a2,a3,a4,a5是

9、五个不同的正整数,a1a2 a3 a4 a5,AB a。，a a410 ,假设a|J B中所有元素的和为246,那么满足条件的集合 A的个数为 答 2。2因为a1a，因此a11自 9。由于B中有9,因此A中有3。假设a3 3 ,那么a2 2因此a5 a52 146 ,无正整数解。假设a2 3,由于10 a§ 11,因此a22 a5 ,因此22a3a3a5a5152。又因为a34,当a510 时，a36 ；当 a§11 时，a34,因此满足条件的A共有2个，分不为1,3,4,9,11 , 1,3,6,9,10 。12 .在平面直角坐标系中定义两点P %,% ,Q x2,y2之

10、间的交通距离为 d P,Q X1 X2I |y1 y2。假设C x,y到点A 1,3 ,B 6,9的交通距离相等，其中实数x, y 满足0 x 10,0 y 10,那么所有满足条件的点 C的轨迹的长之和为 。答 5 72 1 o由条件得|x 1 y 3 x 6 |y 9 o当x 1,y 9时，无解；当1 x 6,y 9时，无解；当x 6,y 9时，无解；当x 1,3 y 9时，y 8.5 ,线段长为1。当1 x 6,3 y 9时，x y 9.5,线段长为5，2。当x 6,3 y 9时y 3.5 ,线段长为4。当x 1,y 3时，无解。当1 x 6,y 3时，无解。当x 6,y 3时，无解。综上

11、所述，点C的轨迹构成的线段的长之和为1 5V2 4 5 J2 1。三、论述题每题20分，共60分13 . ABC的外心为O, A 90 , P为 OBC的外接圆上且在ABC内部的任意一点，以OA为直径的圆分不与 AB, AC交于点D,E , OD,OE分不与PB,PC或其延长线交于点F,G ,求证A,F,G三点共线。证明 连AG,与BP交于点F ,由于 OE AE ,因此 GAC是等腰三角形，因此 GAC GCA , 2 BAC BOC BPC BAC GCA PBA ,因此可得PBABAG ,从而有F在AB的中垂线上。由于 OD AD ,F在AB的中垂线上，因此有F F ,即A,F,G三点共

12、线。14.数列 ann 0 满足 a00, a11 ,关于所有正整数n ,有an i 2an 2007an 1,求使彳导2008 an成立的最小正整数n。an解法一设m而,结合a01 nJCn m2, m k 0当n为奇数时,当n为偶数时,2008,0,a1ancnancnan2an得ankkCkm2C；m八3CnmIll2007an 1的特点方程为CnnCn2007 0，特点根为项式定理得n 3-2c nCnmn2n 2八 n 1-2Cn m 2。因此man m C：,即2008 n ,因此满足条件的最小正整数为2008。解法二 下面差不多上在模2008意义下的an ,那么an 1 2an

13、an 1 ,即an 1 an an an 1 ,因此数列an在模2008意义下具有等差数列的特点。又因为a。 0,a1 1,因此an n。因此有2008 n,因此满足条件的最小正整数为2008。15.排成一排的10名学生生日的月份均不相同，有n名教师，依次选择这些学生参加 n个爱好小组，每个学生恰被一名教师选择，且保持学生的排序不变，每名教师挑出的学生必须满足生 日的月份是逐步增加或逐步减少的选择一名或两名学生也认为是逐步增加或逐步减少的，每名教师尽可能多项选择学生，关于学生所有可能的排序，求n的最小值。1,2,|,10 ,当学生按生日排序为解 n的最小值为4 。假设n 3 ,不妨假设这 10

14、名学生生日的月份分不为4,3,2,1,7,6,5,9,8,10时，存在一名教师至少要选择前四名学生中的两名，由于这两名学生生日的月份是逐步减少的，且后六名学生生日的月份均大于前四名学生生日的月份，因此这名教师不 可能再选择后六名学生；在余下的不超过两名教师中，一定存在一名教师至少要选择第五名至第 七名学生中的两名，同理，这名教师不可能再选择后三名学生；余下的不超过一名教师也不可能 选择后三名学生，矛盾。下面先证明：关于互不相同的有序实数列a1,a2,|“，am,当m 5时，一定存在三个数a,aj,ak i j k 满足 ai aj ak或 a aj ak。设最大数和最小数分不为as,at ，不妨假设s t 。假设 s 1 t ，那么as,as 1,at 满足asas 1 at ； s 1