初中数学竞赛几何专题：点共线问题(含答案)

1、M、K分别是BC、初中数学竞赛 几何专题：点共线问题（含答案）1. 锐角三角形 ABC中，BAC 45, BE、CF是两条高，H为4ABC的垂心,AH的中点.证明: 解析如图，由条件 垂线上的点，故EO 故EF与OH的交点为MK、EF和OH共点，这里 O为 ABC的外心.BAE 45 ,可知4AEB和4AFC都是等腰直角三角形，而AB, FO AC,于 EF的中点.是EO / CF , FO / BE ,从而四边形O为AB、BC的中EOFH为平行四边形.CAF另一方面， M、K为BC、AH的中点，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知1 1EM MF 1BC, EK KF 1AH.即四

2、边形EKFM为菱形，所以EF与KM的交点亦是EF的中点.2 2从而命题获证.2 .四边形SPNM与PFET都是正方形，且点 S、P、T共线，点N、P、 点S在MT上的射影是点 A,点T在SE上的射影是点B ,求证：点 A、F共线，连结MT、SE,P、B共线.解析SPPT设AB与ST交于点P ,又设Saasb AS BS ,tan cotSa atbAT BTMSSTSTTE即点P与点3 .在矩形MS SPTE PT P重合.ABCD 的边 AB、BC、ATSTSE .于是由 ASBCD、DA上分别取异于顶点的 K、L、ATBN ,已知 KL / MN .证明KM与LN的交点O在矩形的对角线 B

3、D上.LONOKLO MNO .解析连结OB、OD .KI因为KL / MN , KM与LN相交于O ,所以KLO s AMNO ,可得-KLMN 又因 BC / AD ,所以 BLO DNO,则 BLK DNM ;因此 RtABLK RtADNM .BL LKLO 一综上， -,BLO DNO ,所以 ABLOs DNO,可得 BOL DON ,即 B、O、 DN NM NOD共线.4 .证明：如果一个梯形内的 n ( 2)个点到梯形四边距离之和相等，那么这 n个点共线.解析 如图，延长梯形 ABCD的腰BA、CD交于点E .设P为这n个点中的一个点，过 P作一直线，交EB、EC于点G、H

4、,使得4EGH为等腰三角形(EG EH ).E设Q是这n个点中的另一个点，我们证明Q在直线GH上.由条件Q到EG、EH的距离和等于P到EG、EH的距离和.若Q在四边形AGHD内，则& EQGSaeqh Saegh ,从而 EG d(Q, EG) EH d(Q, EH) EG d(P, EG) EH (P, EH),这里d(X,YZ)表示点X到直线YZ的距离.结合EG EH ,可得d(Q / EG) d(Q , EH) d(P, EG)d(P, EH),矛盾.类似地，若 Q 在四边形 BGHC 内，贝U d(Q , EG) d(Q, EH) d(P , EG) d(P, EH),亦矛盾.故Q在线

5、段GH上.5 .设四边形仅有一个内角是直角，且两对角线相等，则对边中垂线交点与直角顶点共线解析 如图，设四边形ABCD中， B 90 ,作矩形ABCE,则BE AC BD ,又设BC的中垂线GP 与AD之中垂线FP交于P ,则易知PE PA PD ,于是B、P均在DE中垂线上.同理AB、CD中垂 线之交点也在DE中垂线上，故而结论成立.DB G C6 .等腰梯形ABCD中AB CD .将 ABC绕点C旋转一个角度，得一个新的 4ABC.证明：线段AD、 BC和BC的中点共线.解析 如图，设AD、BC、BC的中点分别为 X、Y、Z , W为CA的中点.并设 ACA , ABC ,1 11则 ZW

6、 / AB , WX / CD ,且 ZW -AB -AB -CD WX ,即 AXWZ 为等腰三角形，并且 XWZ2 22等于180减去A B与CD所成的角.注意到，1XZW -(180(180XWZ)ZB- AX)2180所以， XWZ 3602, 从而90 .于是 2CZX XZW 90 -. 2另一方面，YZ / BB ,而1CBB 1（180） 90 ,故 CZY 90-.222综上， CZX CZY .故X、Y、Z共线.7 .直角三角形 ABC中，AB是斜边，CH为斜边上的高，以A为圆心、AC为半径作OA.过B作OA 的割线，交 OA于点D和E ,交CH于点F （ D在B与F之间）

7、.在。A上取一点 G ,使得ABG ABD，且G与D不在AB的同一侧.证明：E、H、G三点共线.解析 延长EH交OA于点G ,我们证明G与G重合，即证 GBA DBA.由 ACB 90知BC为OA的切线，故BC2 BD BE .再在Rt ABC中，CH为高，从而由身影定理可 知 BC2 BH BA,所以 BD BE BH BA,故 E、D、H、A 共圆，因此 EDA EHA BHG .注意到EA DA,故 EDA DEA DHB （这里再次用到 E、D、H、A共圆），结合前面的结果， 可知 BHD BHG .由圆的对称性，即得HBG HBD.8 . 设锐角三角形 ABC, AD、BE、CF为高

8、，H是垂心，M、N分别在BF、AE上，且 MHF NHE , 求证：BM、CN的中垂线之交点在 BC上.解析 如图，若设 BM、CN中垂线分别交 BC于K、K （ K、K在图中未画出），只要证明 BK CK BC,即知结论成立.由于 BK -BM- , CK2cosBCN BF CEBC BC,而2cosc2cosB 2cosC 22BC,故只需证明BM2cosBCN2cosCBF2cosB由条件知 MFH s ANEH ,故MF FHnE HEAHsin BAD cosB .结论证毕. AH sin CAD cosC9.4ABC的内切圆切边AC、BC于点M、N ,直线l与该内切圆切于劣弧 ?

9、N内一点，l分别交NC、MC于点P、Q.T为AP与BQ的交点.证明：T在线段MN上.CE - NE MF 或即可.2cosC cosC cosB解析 设AP交MN于点T-zABC的内切圆切l与AB于点X、Y . AP交XY于点T2,先证：T1与T2重合.由正弦定理,PTisin CNMAT1sin AMN可知PNsin PT1NAMsin AT1M结合 PTiN一一 一，PT1AT1M , AMN 180 CMN 180 CNM ,可知一1 ATiPN 一.同理可证:AMPT2 PXAT2 AY所以，由PX PN及AM AY,可知PTAT1PT2r ,一“、.,即Ti与T2重合.这表明AT2A

10、P过MN与XY的交点.类似可知，BQ与MN与XY的交点.所以，AP与BQ的交点在线段 MN上.10.在ABC中， A 90 , AB AC.D、E、F分别为边BC、CA、AB上的点，使得四边形 AFDE为正方形.设1a为过A所作4ABC的外接圆的切线.证明：BC、EF和1a三线共点.E .只需证明E与E重合.解析 设1a交直线BC于点G ,连GF延长交AC于点记4ABC的三边长分别为a、b、c,而正方形AFDE的边长为x.则由DF 匡，可知人 AC AB bbcb cBDBC2 acacabcGC22b cb c,22 ,b cDA?可知BD GDGB b2VGB 2 cab2二.所以b2 c

11、2DFCEGDGc而 CE b x bb2b c bcb cb2b c.所以CECE ,故E与E重合，命题获证ABBGAG十日gbBGAG2AG2 cGB22于是了，即），从而GB夕士 XX.995一 口口CAAGGC GCAGGCCAa GBb222b c由AG为ABC外接圆的切线，得BAGC ,而 AGC为公共角，故 4ABG s ACAG ,从而11. AC、BD均为圆的切线,AB是该圆的一条能弦， CD与圆交于点Q、P,已知AP BP,点M为AB中点，求证：点 M、R、Q共线，这里R为AD与BC的交点.解析连结 MC、MR、MD,易知题目无非是要证明S CMRCQS DMR. DQ易知S,acmr- Sa acr， Sk dmr1一AC2一Sa bdr ， CQ, DQ22CP2BD2DP，SAACR于是问题转变为求证Sabdr_ 2AC BD2BD CP& ACRAR CRSA