2020年福建省厦门一中高考数学二模试卷(二)(有答案解析)

1、第7页，共19页2020年福建省厦门一中高考数学二模试卷（二）、选择题（本大题共 12小题，共60.0分）1 .全集 U = R, A=x|y=log20i9(x-1) , H = yy = x2 + © + 8),则 An( ?uB)=()A.(1, 2)B.(1, 2C.1 , 2)D. 1,22 .已知i为虚数单位，若 点二口 + bi(at力E4，则ab=()A.1B.1C.D. 23 .下列说法中，正确的是（）A.命题“若am2bm2,则avb”的逆命题是真命题B.命题 “ ？xo>0, x02-x0>0” 的否定是：“ ？x>0, x2-xWcTC.命题

2、pq为真命题，则命题 p和命题q均为真命题D.已知xeR,则“x>1”是“ x>2”的充分不必要条件4 .设函数门外二则f dog 26）的值为（）A. 3B. 6C. 8D. 12O为坐5 . 圆x2+y2=1的一条切线与圆x2+y2=4相交于A（x1，y1）, B（x2,y2）两点,标原点，则 x1x2+y1y2=（）A.卜£Y：B. -2C. 2D.6 .已知抛物线x2=4y,斜率为一:的直线交抛物线于 A, B两点.若以线段 AB为直径的圆与抛物线的准线切于点P,则点P到直线AB的距离为（）A.B. C.D.7 .我国南宋时期的数学家秦九韶（约 1202-1261

3、 ）在他的著作（数书九章）中提出了 多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例.若输入的n=5, v=1 , x=2,则程序框图计算的结果为（）A. 15B. 31C. 63D. 1278 .某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图.若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1，佗；平均数分别为S2,则下面正确的是()A. m1 > m2, s1 >s2B. m1>m2, sk s2C. mvm2, S1 < S2D.

4、 mK m2, S1 > S29. 已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则四棱锥 P-ABCD外接球的表面积是 ( )俯视图A. 20 兀B. ?C. 25 兀D. 22 兀10 .已知双曲线；一（=1（。>% b>0）的右焦点为F,直线l经过点F且与双曲线的一 条渐近线垂直，直线l与双曲线的右支交于不同两点A, B，若*;=3项,则该双曲 线的离心率为（）A BB. C-C. 宁11 .如图，四边形 ABCD内接于圆O,若AB=1, AD=2, BDCOS= BDcosZDBC+CDsinZBCD,贝U Szbcd 的最大值为 （ ）BCD32.A.12 .已知函数f（

5、x） =e-ax有两个零点xi, x2,则下列判断：ave；xi+x2< 2；xi?x2>1;有极小值点 xo,且x1+x22xo.则正确判断的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D.1个二、填空题（本大题共 4小题，共20.0分）j 3x2yb 三13 .设x, y满足约束条件苕裾回p z=x-2y的最小值是 .14 .若（x+a） 9=a0+a1 （x+l） +a2 （x+l） 2+- +a9 （x+l） 9,当 a5=126 时，实数 a 的值为15 .在那BC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c,且a=1, A=；,若当b、c变化时, g (b, c) =b+ c,存

6、在最大值，则正数入的取值范围是 .16 .已知 f (x) =tanx,数歹U an满足：对任息 nCN , an (0,),且 ai= , f (an+i)二1)，贝U使得sinai?sina2sinakv ：成立的最小正整数k为三、解答题(本大题共 7小题，共82.0分)17 .已知等差数列an满足(n+1) an=2n2+n+k, kCR.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=,求数列bn的前n项和Si.18 .如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，B1A1B面 ABCD, BB1=BC=2AB, ZABC=60°.(1)求证：AB必Q;(2)求二面角A-A1D

7、-C的余弦值.19.某保险公司对一个拥有 20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A, B, C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000, 6000, 2000,由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表(并以此估计赔付概率)：工种类别ABC赔付频率1a已知A, B, C三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的 固定支出为每年10万元.(1)求保险公司在该业务所或利润的期望值；(2)现有如下两个方案供企业

8、选择：方案1:企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2:企业与保险公司合作，企业负责职工保费的 70%,职工个人负责保费的 30%, 出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.20.已知椭圆C:+=1 (a>b>0)的四个顶点组成的四边形的面积为经过点(1, ；) .(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的下顶点为P,如图所示，点 M为直线x=2上的一个动点，过椭圆 C的右焦点F的直线l垂直于OM,且与椭圆C交于A, B两点，与OM

9、交于点N, 设四边形AMBO和ONP的面积分别为S1, S2,求S1S2的最大值.21.已知 f (x) =x-； (lnx) 2-klnx-1 (k CR).(1)若f (x)是(0, +8)上的增函数，求 k的取值范围；(2)若函数f (x)有两个极值点，判断函数 f (x)零点的个数.22 .在平面直角坐标系 xOy中，以坐标原点 。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标 系，曲线M的极坐标方程为 p=2cos,9若极坐标系内异于 O的三点A ( 明力，B(%怙,)，C (但，代)(pi, p2,3>0)都在曲线M上.(1)求证：=32+= P2+ 但；括'工=2 rt(2)

10、若过B, C两点直线的参数方程为(t为参数)，求四边形 OBACV = ?的面积.23 .已知函数 f (x) =|x-2|-|x+a|,其中 a>0.(1)求函数f (x)的值域;(2)对于满足b2+c2+bc=l的任意实数b,c,关于x的不等式f (x) >3 (b+c)恒有解，求a的取值范围.答案与解析1.答案：A解析：解：A = xx>lf 8 = yy = g + 2尸 + 4=丫92. 2B=y|yv2;An (?uB) = (1, 2).故选：A.可求出集合A, B,然后进行补集、交集的运算即可.考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，配方法求二次函数值域的方

11、法，以及交 集、补集的运算.2 .答案：C解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题.利用复数相等的条件列式求得a, b的值，则答案可求.【解答】解： 9 =(卜:二广； + ! =. R = B =彳)故选：C.3 .答案：B解析：【分析】本题考查命题真假的判断，问题涉及不等式性质、复合命题真假判断、全称命题及特称命题、命题的否定、充要条件等，考查面较广，是基础题.A先写出逆命题再利用不等式性质判断；B中“？xCR, x2-x>0”为特称命题，否定时为全称命题；C命题“ pVq”为真命题指命题“ p”或命题“ q”为真命题，只要有一个为真即可；D应为必

12、要不充分条件.【解答】A "若am2Vbm2,则avb”的逆命题是“若 avb,则am2vbm2” , m=0时不正确；B中“？xCR, x2-x> 0”为特称命题，否定时为全称命题，结论正确；C命题“ pVq”为真命题指命题“ p”或命题“ q”为真命题，只要有一个为真即可，错 误；D应为必要不充分条件.故选：B.4 .答案：D解析：解：根据题意，函数2 V log26V 3,则 f (log26) =f (log26+1) =f (Iog2l2) =2"°"'=12；故选：D.根据题意，由于2 v log26v 3,结合函数的解析式可得

13、 f(log26)= f(log26+1)= f (log 212), 进而计算可得答案.本题考查分段函数的应用，涉及函数值的计算，属于基础题.5 .答案：B解析：解：根据题意，设AB与圆x2+y2=1相切于点P,分析可得 |OP|=1, |OA|=|OB|=2,又由 OPSB,则/BOP=60°,则 /AOB=120° ,又由 A (xi, yi) , B (X2, y2),贝Ug】?OW=XiX2+yiy2=|OA|OB|cos120 =-2,则 XiX2+yiy2=-2 ；故选：B.根据题意，设AB与圆x，y2=i相切于点P,由两个圆 的方程分析可得|OP|二i, Q

14、A|=|OB|=2,进而可得/AOB=i20° ;结合数量积的计算公式? =xiX2+yiy2,计算可得答案.本题考查向量数量积的计算，涉及直线与圆以及圆与圆的位置关系，属于基础题.6 .答案：B解析：解：设直线AB的方程为y=-'x+b并代入x2=4y得x2+2x-4b=0 ,设 A (xi, yi) , B (x2, y2), 111则 xi+x2=-2, xix2=-4b, yi+y2=-jxi+b-x2+b=i+2b,iabi=；i4河n而=苕不痂因为以线段AB为直径的圆与抛物线的准线切于点P,所以=+i=/y°即i+i=W',即 b2-2b+i=0

15、,解得 b=i ,所以直线AB的方程为y=-：x+i, P (-i, -i),点P到直线AB： x+2y-2=0的距离为|皿 =后.故选：B.设直线AB的方程为y=-：x+b,根据以线段AB为直径的圆与抛物线的准线切于点P可得b=i,从而可得直线 AB的方程和P的坐标，再根据点到直线的距离可得. 本题考查了抛物线的性质，属中档题.第8页，共i9页7 .答案：C解析：【分析】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的i, v的值是解题的关键，属于基础题.由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i, v的值，当i=-1时，不满足条件i>0,跳出循环，输出 v的值

16、为63,即可得解.【解答】解：模拟程序的运行，可得n=5, v=1, x=2, i=4满足条件i>Q执行循环体，v=3, i=3满足条件i>Q执行循环体，v=7, i=2满足条件i>Q执行循环体，v=15, i=1满足条件i>Q执行循环体，v=31, i=0满足条件i>Q执行循环体，v=63, i=-1不满足条件i>Q退出循环，输出v的值为63.故选：C.8 .答案：C解析：解：由频率分布直方图得：甲地区40, 60)的频率为：(0.015+0.020) X10=0.35, 60, 70)的频率为 0.025 X0=0.25,0 5-035甲地区用户满意度评

17、分的中位数mi=60+ x 10=66,甲地区的平均数Si=45X0.015 10+55 X0.020 10+65 >0.025 10+75 >0.020 10+85 >0.010 10+95 >0.010 10=67 .乙地区50, 70)的频率为：(0.005+0.020) M0=0.25, 70, 80)的频率为：0.035 >10=0.35,.乙地区用户满意度评分的中位数m2=70+ (jJ?- X10=77,.1乙地区的平均数S2=55 X0.005 10+65 X0.020 10+75 >0.035 10+85 >0.025 10+95 &

18、gt;0.015 10=77.5. m1< m2, S1VS2.故选：C.利用频率分布直方图分别求出甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数和平均数，由此能求出结果.本题考查平均数、中位数的求法与比较，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.9 .答案：B解析：解：因为三视图复原的几何体外是四棱锥，/V顶点在底面的射影是底面矩形的长边4 ! 的中点，底面边长分别为4, 2,/ 满足侧面 PAD1B面 ABCD,APAD 为/等腰直角三角形，且高为 小,可知底/' , 、面外接圆心/；为对角线的交点，三角形PAB的外接 力%二：界3手弋二二邓圆O,

19、半径为r,/ 二飞第 9 页，.19 页7则(-r) 2+4= r2.解得r=,底面外接圆E的半径为AE*i"73%回.可求得球。的半径为：R=J«5y+ 回学=浅.外接球O的表面积为：47r x (揶产等.故选：B.几何体为四棱锥，根据三视图判断四棱锥的一个侧面与底面垂直，判断各面的形状及三视图的数据对应的几何量，求出外接球的半径，可得答案.本题考查了由三视图求四棱锥外接球的半径，根据三视图判断几何体的结构特征是关 键.10 .答案：B解析：解：如图,不妨设直线l的斜率为Vy=-f(x-c)，联立b2-a2).直线l的方程为第ii页，共i9页c2y2-2ab3cy+a2b

20、4=0.a- My =n'k由题意，方程得(b2-a2)c2y2-2ab3cy+a2b4=0 的两根异则a>b,此时<0,匕-a1 b'劭=面7%>0. a2=4b2=4 ( c2-a2) , 4c2=5a2,即 e= j =菱故选：B.不妨设直线l的斜率为微,直线l的方程为y=(x-c),联立直线方程与双曲线方程,化为关于y的二次方程，求出两交点纵坐标，由题意列等式求解.本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题.11 .答案：C 解析：【分析】由题意利用正弦、余弦定理，结合图形求出ABCD的面积表达式，再求面积的最大值.本题考查了三角恒等变换以及三角

21、形面积计算问题，是中档题.【解答】解：在 ABCD 中，由正弦定理得 点sin/BDC=/Ssin/BCDcos/DBC+sin/DBC?sin/BCD, 又/BDC = ti- (/DBC+/BCD),所以 Q号sin (/DBC + /BCD)="Gsin /BCD cos/DBC+sin /DBC sin /BCD ,展开整理得 <3sinZDBCcosZBCD=sin ZDBCsinZBCD ,因为 sin/DBCwO,所以 tan/BCD=/3,故/BCD=；又四边形ABCD内接于圆,所以ZA=在 AABD 中，由余弦定理得 BD2=AB2+AD2-2AB?ADcos

22、A=1+4-2 1>2><Cos' =7, 因止匕BD="7;在 ABCD 中，由余弦定理得 BD2=BC2+CD2-2BC?CDcos；=BC2+CD2-BC?CD,7=BC2+CD2-BC?CD >BC?CD-BC?CD=BC?CD ,BC?CDW7,当且仅当BC=CD=）时"二”成立；所以 SzBcD=：BC?CD?sin/BCD=mBC?CD?sin：=；BC?CD,所以SzBCD的最大值为半故选：C.12 .答案：D 解析：【分析】本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，是难题.利用函数的导数，

23、判断函数的单调性，对四个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：对于， 才(x) =ex-ax,. f' (x) =ex-a,令 f' (x) =ex-a>0,当awo时，f' (x) =ex-a>0在xCR上恒成立，. f (x)在R上单调递增.当 a>0时，f' (x) =ex-a>0, .ex-a>0,解得 x>lna,- f (x)在(-°°, ina)单调递减，在(Ina, +°°)单调递增.,函数f (x) =ex-ax有两个零点xi、x2,. a>0, f (lna

24、) < 0,.elna-alna<0,. a>e,所以错误；对于，xi+x2=ln (a2xix2)=2lna+ln (xix2)> 2+ln (xix2),取 a='i f(2) =e2-2a=0,x2=2, f (0) =i>0,Ovxivi, .xi+x2>2,所以错误;对于，由题意， :三口知产二町所以小'=%设1二)则,所以町十】所以令所以17巧t>i ,n. i i i3 H人所以限7）<加1）=0,所以 Inf - tJ- < I）,p /7 hli又> m 5十 xi,£ - It - I所以

25、%血一 1<0,所以勺9 <4所以不正确；对于，f （x）在（-8, Ina）单调递减，在（lna, +8）单调递增, 有极小值点 xo=ln a,因为 |X/ < 1,所以 xi+x2=2lna+ln （xix2） < 2lna=2xo,所以正确.综上，正确的命题序号是.故选D.13 .答案：-2 解析：解：由z=x-2y得y=：x-,作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）由图象可知当直线 y=£x-2,过点B时，直线y= 9-二的截距最大，此时z最小,平移直线y=：xq,（X4y + H = 0 口 由工+箕2 = 0，解得B（0, 2）代入目标

26、函数 z=x-2y,得 z=0-2=-2，目标函数z=x-2y的最小值是-2.故答案为：-2.作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求即可.利用本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,数形结合是解决问题的基本方法.14 .答案：0或2 解析： 解：(x+a) 9= (x+1) + (a-1) 9=ao+ai (x+l) +a2 (x+l) 2+ a9 (x+l) 9, a5=Cg?( a-1) =126,.实数 a=0,或 a=2,故答案为：0或2.根据：（x+a） 9=（x+1） + （a-1） 9,按照二项式定理展开， 可得a5的值，再根据

27、a5=126, 求得a的值.本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基 础题.15 .答案：（；2）解析：解：由正弦定理得：二二三二二二；所以 b+Zc= ： （sinB+入 sirC） J"2杆=-sin B+ 入 sin（ -B）二；J （1-；） sinB+'cosB（A一"十）（B+a）其中tan蕾，由 B W （0.；）,b+入C存在最大值，即 B+ a玄有解，即长 ；）所以;4<2,故答案为：（2） 2由正弦定理得 b+Zc= ； （ sinB+入siC）由辅助角公式得：b+入c4J（l-乎+半）in （B+a）其

28、中tan*:，b+入c存在最大值,即B+y有解，即尤（:，二）即察得解本题考查了正弦定理、辅助角公式、函数有解问题，属中档题.16 .答案：298>一,_ 一 ,. Jim ,tDJ X + tin*X>解析：解：f (X) =tanx=.“f ( x) =1 + 3也，. f (an+1) W" 则 tanan+1=.J + tan%,g/&一= 1rf T BL1的等差数列.数列tan2an是以3为首项，公差为tana =,.an (0,），+ 245-fe14 2f 3 '1. sina1?sina2sinak=b 7 6=布.? k>297,

29、则使得sinai?sina2sinakv 成立的最小正整数 k为298.故答案为：298.? tan ati 十= 1 .可= 1 + tan2x.可得 tanan+i=h+7o£% ,得 I tinaK =雨 + 2, sinan=贝U有 Wnajsina2sinak=J?J二m 二岛焉.解得k即可.本题考查了函数与数列的综合应用，属于难题.17 .答案：解：（1）等差数列an满足（n+1） an=2n2+n+k, kCR.令 n=1 时，口 = -4-, 山卜人n=3 时，町=丁，由于 2a2=a1+a3,所以+ = 丁+丁，解得k=-1 .由于+ 1）册=+ 九-1= （2n-

30、1） （n+1）,且 n+10,则 an=2n-1;（2）由于 3 长=1 + £=1+尸+ ；（上一意），所以 Sn=+* | 4 + 1 + ；&_；+ +1 + （2-2777）1111I I=2（1-3 + 3-5+十罚一71+ 门=2（1TT + n2n； + 2h=Zrt4 1裂项相消法在数列求和中解析：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用, 的应用.（1）直接利用等差数列的性质求出数列的通项公式.（2）利用裂项相消法求出数列的和.18.答案：（1）证明：面ABCD,AB?平面ABCD, . ABXB1A,在 RtAABB1中，BB1=2AB, . .B

31、BA=60°,. BC=BB1, ZABC=ZB1BA=60°,.ABB1MBC, .zBAC=ZBAB1=90°, . AB SC, 又 AB1 HAC=A,. AB1面 AB1C,又 B1C?平面 AB1C,. ABXB1C, “J -.A1B1-AB, AB-CD,第15页，共19页+12X104=4604?. AiBi CD 一 ,.四边形Ai BiCD是平行四边形，. AiD /BiC, . ABLAiD.（2）以A为原点，以AB, AC, ABi为坐标轴建立空间直角坐标系A-xyz,设 AB=i,则 AC=ABi=用,于是 A （0, 0, 0） ,

32、Ai （-i, 0,小），D （-i,巾，0） , C （0,0）,/= （1 廓 0），9=（0，志，十），|/=（1，0，0），AiCD的法向量为rj=（X2,平,22）,设平面AAiD的法向量为=（xi, yi, zi）,平面令yi=i可得（褥，i, i）jTI工|平？i = 0 j/3y2-V3z2 - 0即| 一勺+寸与=0，j 无Z=0,令 y2=i 可得/ (0, i, i) .cos<面角A-AiD-C的余弦值为 亭第17页，共19页解析：（i）根据四边形 AiBiCD是平行四边形可得 AiD/BiC,证明AB1平面ABiC可得ABXBiC,故而 ABlAiD；（2）建立

33、空间坐标系，求出平面 AAiD和平面AiCD的法向量，通过计算法向量的夹角 得出二面角的大小.本题考查了线面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题.19 .答案：解：（i）设工种A、B、C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X、Y、E (Y) =25 X ( i+ (25-i00 i04)Z,则X、Y、Z的分布列为：X2525-i00 i04P11.而i10sY2525-i00 i04P210sZ4040-50 W4P110*. E (X) =25 X (i-商)+ (25-i00 W4) %=i5,铲5,E (Z) =40 X (/) + (40-50 i04)导=-i0保险公司的

34、利润的期望值为i2000Xi5+6000X 5-2000 M0-i00000=90000 ,.保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元.（2）方案i：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为:12000 X100M04*+6000 M00 M04 哈+2000X50M04方案2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为: ( 12000X25+6000X25+2000X40) >0.7=37.1 ¥04,46M04>37.1 >104,建议企业选择方案 2.解析：本题考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的计算，属于较难题.(1)分别计算保险公司在三种

35、工种的利润的数学期望，从而可得出保险公司的总利润 期望；(2)分别计算两种方案的企业支出费用，从而得出结论.20 .答案：解：(1) 口 舄在椭圆C上，.(CT又遍圆四个顶点组成的四边形的面积为2显，2Hx 2b=2包 岫=2,解得 a2=2, b2=1,.椭圆C的方程为：+ / = 1.(2)由(1)可知 F (1, 0),设 M (2, t) , A (%, y1)，B (x2, y2),则当two时，所以知吕=一口 直线 AB 的方程为 ¥ 二 一："-1),即 2x+ty-2=0 (tQ ,/；2：工?0得(8+t2)x2-16x+8-2t2=0，则上(-16) 2

36、-4 (8+t2)(822) =8 (t4+4t2) >0,町 +町二言.，叼二言，当t=0时，直线.当t=0时，(岑1*2，山5 二9 解析：(1)由(I.孝)在椭圆c上，可得*+今=1；又椭圆四个顶点组成的四边形的 面积为2收，可得：1x2ax2fi=2x2,联立解出即可得出.(2)由(1)可知 F (1, 0),设 M (2, t) , A (刈，y1), B (x2, y2),则当 two时,OM ：y = %,直线AB的方程为2x+ty-2=0 (20),与椭圆方程联立：(8+t2)x2-16x+8-2t2=0,利用根与系数的关系、弦长公式可得 |AB|,再利用三角形面积计算公

37、式 即可得出.本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题.1 ? *21 .答案：解：(1)由 f (x) =x-Wnx)?-R殖，,得 f' (x)=,由题意知f' (x) >0恒成立，即x-lnx-k>0,设 F (x) =x-lnx-k, F' (x) =1-： xC (0, 1)时 F' (x) v 0, F (x)递减；xC (1, +8)时，F' (x) >0, F (x)递增；故 F (x) min=F (1) =1-k>Q. k<

38、l,故k的取值范围是：(-8, 1；(2)当 kwi时，f (x)单调，无极值；当 k>1 时，F (1) =1-k<0,一方面，F (e-k) =e-k,且 F (x)在(0, 1)递减，F (x)在区间(e-k, 1)有一个零点，另一方面，F (ek) =ek-2k,设 g (k) =ek-2k (k>1),贝U g' (k) =ek-2>0,从而 g (k)在(1, +°0)递增，则 g (k) >g (1) =e-2>0,即 F (ek) >0,又 F (x) 在(1, +°0)递增，. F (x)在区间(1, ek

39、)有一个零点，因此，当k>1时，f (x)在(e-k, 1)和(1, ek)各有一个零点，将这两个零点记为x1 , x2 (x1< 1 < x2),当 xC (0, x1)时 F (x) > 0,即 f' (x) >0；当 xC (x1, x2)时 F (x) v 0,即 f (x)V 0;当 xC (x2, +oo)日F (x) > 0,即 f (x) >0,从而f (x)在(0, x1)递增，在(x1, x2)递减，在(x2, +8)递增；于是x1是函数的极大值点，x2是函数的极小值点，下面证明：f(x1)>0, f (x2)v 0,

40、由 f (x1)=0 得 x1-lnx1-k=0 ,即 k=x1-lnx1，由(巧)=工 1)之一收必1一1 得二巧一；(也孙)之一 (巧一加打)出工厂1I2=工1 +式皿1)一常11呻- 1,令,+则 m' (x) =1,当 xC (0, 1)时 m' (x) < 0, m (x)递减，则 m (x) > m (1) =0,而 x1< 1,故 f (x1)> 0；当 xC (1, +8)时 m' (x) < 0, m (x)递减，则 m (x) v m (1) =0,而 x2> 1,故 f (x2)< 0；一方面，因为 f (e-2k) =e-2k-1 <0,又 f (x)>0,且 f (x)在(0, x1)递增，. f (x)在(e-2k, x1)上有一个零点，即 f (x)在(0, x1)上有一个零点.另一方面，根据 ex>1+x (x>0)得 ek> 1 + k,则有 f (e4k) =e4k-12k2-1> (1 + k