中考数学专题动态几何问题

1、学科教师辅导讲义年 级：辅导科目：数学课时数：3课 题动态几何问题教学目的教学内容一、【中考要求】1、熟练掌握初中所学数学基础知识；2、巧妙利用平移、旋转和翻折的知识来解决相关的问题二、【考点知识梳理】动态几何问题综合性较强，涉及三角形、四边形、函数、圆等知识.在中考命题中一般设置为压轴题.解决的一般思路是化动为静，数形结合.分析此类题时要明确运动的起始点、运动方向和过程、终点，最后结合所求问题程.三、【中考典例精析】，例1如图所示，点 A、B在直线MN上，AB =11 cm, OA>。B的半径均为1 cm, O A以每秒2 cm的速度自 左向右运动，与此同时，O B的半径也在不断增大，

2、其半径 r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r=1+t(t>0),当点A 出发后 秒两圆相切.【点拨】 本题重点考查在整个运动过程中，两圆有几次相切的情况.分析好运动过程，就能迎刃而解.【解答】两圆相切可分为如下四种情况：(1)当两圆第一次外切时，由题意可得11-2t=1 + 1 + t, t=3;(2)当两圆第一次内切时，由题意可得11-2t=1 + t-1 , t=-；3(3)当两圆第二次内切时，由题意可得2t-11 = 1 + t-1 , t=11；(4)当两圆第二次外切时，由题意可得2t-11 = 1 + t+1, t= 13.所以当点A出发后3秒、11秒、11秒、13秒两圆相

3、切.34例2机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆心 O出发，先沿北偏西67.4方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走 14米至点B处，最后沿正东方向行走至点 C处，点B、C都在。上.(1)求弦BC的长；(2)求。O的半径长.(本题参考数据:sin67.4 年, cos67.4 77, tan67.4)13135【点拨】根据方向角确定平行线是解题的关键，在圆中与弦有关的计算一般要考虑垂径定理.【解答】（1）如图，过点。作ODLAB,则/ A = / AON =67.4 :在 RtAAOD 中，OA = 13,AD =OA- cos/A = 13X -5-=513

4、OD= OAsin/A = 13xH=12. 13又 ; AB ±BC, OEXBC, .AB / OE, BE = OD = 12,BC= 2BE = 24(米).(2)如图，连结 OB,由题意 OE = DB=AB AD= 14 5=9.在 RtABOE 中，OB = Qoe2+BE2 = 92+122 = /225 = 15(米).即。的半径长为15米.四、【课堂训练】x的变1 .如图，夜晚，小亮从点 A经过路灯C的正下方沿直线走到点 B,他的影长y随他与点A之间的距离 化而变化，那么表示 y与x之间函数关系的图象大致为 （）解析:y随x增大逐渐变小再逐渐变大，且y是x的一次函

5、数.根据中心投影的性质，小亮的影长答案：A2 .如图，点 A、B、C、D为。的四等分点，动点 P从圆心O出发，沿。一C-D-O的路线做匀速运动.设 运动时间为t秒，/ APB的度数为y度，则下列图象中表示 y与t之间函数关系最恰当的是()解析：当点P在O点时，/APB = 90°当点P在OC上运动时，ZAPB从90°逐渐减小到45°当点P在弧CD 上运动时，ZAPB =45为定值；当点P在DO上运动时，/ APB从45逐渐增加到90 .答案：C3 .如图，点 G、D、C在直线a上，点E、F、A、B在直线b上，且a/ b, Rt GEF从如图所示的位置出发， 沿直线

6、b向右匀速运动，直到 EG与BC重合，运动过程中 RtGEF与矩形ABCD重合部分的面积(S)随时间变化 的图象大致是()1解析：点F在AB上时，若设 AF = t, GF交AD于点M ,并设AM =mt,则S重合=mt2是关于t的二次函数； 当EF在AB上时，S重合= Sfg不变；当F在AB的延长线上时，同理可得 S重合也是关于t的二次函数，所以可确 定B项正确.答案：B4 .如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC , E 是 BC 的中点，AD = 5, BC= 12, CD = 4>/2, / C=45°,点 P 是 BC 边上一动点，设 PB的长为x.(1)当x的值

7、为 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形.(2)当x的值为 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形.(3)点P在BC边上运动的过程中，以 P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由.解：(1)3 或 8 (2)1 或 11(3)由(2)知，当BP=1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形.当 BP=1时，PE=5,过点D 作 DFLBC 于 F, CD = 42, /C=45°, /. DF = FC = 4.EF=2.在 RtADEF 中，DE = EF2+DF2 =2&wPE,.此时以P、A、D、E为顶点的四边形不是菱形当 B

8、P = 11 时，EP=5.在 RtDFP 中，DP = VFP2+DF2 = 32+ 42 = 5= EPjt匕时以 P、A、D、E 为顶点的四边形 是菱形.所以在点 P的运动过程中，以 P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形.5 .如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边分别在 x轴和y轴上，OA=8« cm, OC=8 cm,现有两动点P、Q分别从O、C两点同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒J2 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上 沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动设运动时间为t秒.fiQ(1)用t的式子表示 OPQ的面积S;(2)求证：四边形 OPBQ的面积

9、是一个定值，并求出这个定值； 1c(3)当4 OPQ与 PAB和 QPB相似时，抛物线 y=彳*2+ bx+ c经过B、P两点，过线段 BP上一动点M作y轴 的平行线交抛物线于 N,当线段MN的长取最大值时，求直线 MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比.(1)解：. CQ = t, OP=mt, CO = 8,OQ= 8-t,SaOPQ =2(8 - t)啦t=察2 + 4媳t(0<t<8).(2)证明：: S 四边形 opbq = S 矩形 abco SPAB SCBQ = 8 X 8V2-1X 8X (872V2t)8/2t = 322(cm2), 22四边形OPBQ的面积

10、是一个定值，且等于32山cm2.(3)解：当 OPQ与 QPB相似时， QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是/QPB=90 °.又 BQ与A0不平行，/ QPO不可能等于/ PQB,/APB不可能等于/ PBQ.，根据相似三角形的对应关系只能是OPQs PBQAABP ,理解得t = 4(t=8舍去).8经检验，t= 4是方程的解且符合题意(从边长关系和速度)，此时P(4、/2, 0). B(8>/2, 8)且抛物线y = $2+bx + c经过b、P两点，抛物线的解析式是 y = ：x2242x + 8,直线BP是y=J2x 8.设 M(m , >/2m-8)、N(

11、m , 4m2-2/m+8), M 在 BP 上运动，442wmW8，2.P、B两点且抛物线的顶点是P加-6历+2, 2. yi = 1x22>/2x+8 与 y2=6x8 交于 I 4 当 4/wmW 8V2时，yi<y2, . . |MN| =- 当m = 6啦时，线段MN的长有最大值是此时M(6亚，4). 又直线BQ是y=*x+4,设MN与BQ交于H点，则易得H(6a/2, 7). Sabhm =2X 3x 272= 3 也,Sabhm : S 五边形 qopmh = 3*/2 : (32"/2 32) = 3 : 29.当线段MNM勺长取最大值时两部分面积之比是3

12、 : 29.五、【课后强化作业】1、如图，D、E为AB、AC的中点，WAABC沿线段 分析：本题考查了翻折变换，而且点 A恰好落在点DE折叠，使点A落在点F处，若/ B=50°,则/ BDF 二 F处，这是一种特殊位置，要以此为突破点2、如图，在矩形ABCD中，AB 边上移动时，直角边 MP始终过点4, BC 6,当直角三角板A,设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点QBPx, CQ y那么y与x之间的函数图象大致是（MPN的直角顶点P在BCMADNQCBPOO6OC3 D36BOA2.253、已知：如图， ABC 中，/C= 90° , 向沿 ABC的边运动.当点Q运

13、动到点 秒，设点P运动时间为t （秒）.（1）当时间t为何值时，以P、CAC= 3厘米，CB= 4厘米.2.25两个动点A时，P、Q两点运动即停止.点P、P、Q分别从A C两点同时按顺时针方Q的运动速度分别为 1厘米/秒、2厘米/Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米2；（2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化.设PQ与 ABC围成阴影部分面积为 S （厘米2）,求出S与时间t的函数关系式，并指出自变量 t的取值范围;（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由. 一 1 一斛：(1) Sapcq= PC21CQ (3 t

14、)22t = (3t)t = 2,，当时间t为(2)当当当(3)有;ti，t2秒或2秒时,Sa pcq= 2厘米2;0< t <2 时，S=2vtw3时，S=t24t2 53V t w 4.5 时，S=在0v tw2时，当在2v t W3时，当t = 3,一.,9在3< t <4.5时，当t = 一23t =18 t5A27t54253 一 一一,S有取大值,239一；2015.4, 一一 12S有取大值，S2= ;5.一 ，八15,S有取大值，S3=；- SkS2<S3t=9时，S有最大值,B4q 15S最大值=4CHHA QQ B4、如图，抛物线y1=ax2

15、2ax b经过A( 1,0),C(2,)两点,与x轴交于另一点B;求此抛物线的解析式；若抛物线的顶点为M,点P为线段OB上一动点(不与点B重合)，点Q在线段MB上移动，且 MPQ=45 ,设线段OP=x, MQ=22y2,求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量OyMAB xx的取值范围;在同一平面直角坐标系中，两条直线 x=m, x=n分别与抛物线交于点E, G,与(2)中的函数图像交于点F, H。问四边形EFHG能否为平行四边形？若能, 请说明理由。m,n之间的数量关系；若不能,解：(1)二.抛物线yi=ax2 2ax b经过A(1, 0), C(02a323b=2,抛物线的解析式为1x2

16、 x 2(2)作 MN AB,垂足为No由y1二1 x22N(1, 0), A(MBN=45 。1, 0), B(3, 0)根据勾股定理有 .AB=4,3易得M(1 2MN=BN=2BM 2 BN 2=PM 2 PN2),MB=2 ， 2.MPQA MBP,PM2=MQ MB=2y2 242 由、得 y2=；x2x 5。=。x<3,.y2与x的函数关系式为2y2=- x2(3)四边形EFHG可以为平行四边形,m、n之间的数量关系是 .(2&)2 22=PM2= (1 x)2，又 MPQ=45 = MBP为 F(m,)m2 m21 m22EF= 1m2 m232), G(n, m

17、j), H(n 5 ( 1m2 i 22n2 n 3)。221 n2 n 5)。223、2 ,-)=m 2mF、H坐标丁四边形EFHG是平行四边形，EF=GH 由题意知 m n, m n=2 (0 m 2,且 m 因此，四边形EFHG可以为平行四边形，GHn22m2 2m 1=n2 2n 1,1)。m、n之间的数量关系是-)=n2 2n 1。2 . (m n 2)(m n)=0。m n=2 (0 m 2,且 m 1)。m n=2(0 m 2,且 m 1)。丁点 E、G 是抛物线 y1=分别与直线x=m, x=n的交点，点E、G坐标为5、如图，在平面直角坐标系中，,。为原点，四边形 OABC是矩

18、形，A (10, 0), C (0, 3),点D是OA的中点,点P在BC边上运动，当 ODP是腰长为5的等腰三角形时，点 P的坐标是。6、已知二次函数 y ax2 bxc的图象经过点 A(3, 0), B(2, -3), C(0, -3).(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段 BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动.设运动时间为t秒.当t为何值时，四边形 ABPQ为等腰梯形；设PQ与对称轴的交点为 M,过M点作x轴的平行线交 AB于点N,设四边形ANPQ的面积为S,求面积S关 于时间t的函数解析式，并指出 t的取值范围；当t为何值时，S有最大值